期中复习卷
一、单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。）
1．下列各式计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．以下由线段a、b、c组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD与AB交于点E，DF平分∠ADC与AB交于点F，若，，则CD长为（ ）
A．8 B．10 C．13 D．16
4．下列四个命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形一定是平行四边形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；④一组对角互补的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知的三边之长分别为2、5、m，则等于（ ）
A． B． C．10 D．4
6．如图，中，，点D，E分别是边的中点，点F在线段上，且，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
8．如图：在菱形中，，过点A作于点E，交于点F，点G为的中点．若，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
9．在如图所示的正方形网格中，和的顶点都在网格线的交点上，则与的和为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
10．如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，就变成了如图所示的形状，若继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．1
11．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第行从左至右第个数是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，长方形中，对角线，，将长方形沿折叠，得，点是线段上一动点．当的值最小时，的长为（ ）
A． B． C． D．
第II卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
13．如图，在四边形中，分别是的中点，要使四边形是菱形，四边形还应满足的一个条件是 ．
14．已知且，化简二次根式的符合题意结果是 ．
15．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次综合实践活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，则小正方形的面积是 ．
16．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，P为上一点，连接，若四边形的面积为，纸条的宽为3，，则的长是 ．
17．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于，若，，则 ．
18．如图，四边形和四边形均为正方形，点D为的中点，若，连接，则的长为 ．
三、解答题（本题共8小题，共66分．第19-20题每题6分，第21-23题每题8题，其他每题10分．）
19．计算：
(1)； (2)．
20．先化简，再求值，其中，．
21．如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)直接写出的长为________；
(2)请用无刻度的直尺画图：在格点上找点E，连接，使，垂足为H；
(3)是直角吗？判断并说明理由．
22．如图，的对角线、相交于点，且、、、分别是、、、的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的周长．
23．仅用无刻度直尺完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．保留作图痕迹，不写作法．
(1)如图1，已知四边形为平行四边形，在上画点M，使直线平分平行四边形的周长和面积；
(2)如图2，已知点E在边上，四边形是矩形，请你在图中画出的平分线；
(3)如图3，已知四边形是平行四边形，且，点E为上一点，请在上画点G，使；
(4)如图4，已知四边形是平行四边形，且，，连接，点P为上的一点，请以为边画一个菱形．
24．如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接、．
(1)求证：；
(2)当D在中点时，请解答下面两个问题：
①证明：四边形为菱形．
②当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由．
25．无人机目前广泛应用于各个行业，在某地有A，，三个无人机起降点（三个起降点在同一水平面上），其中A在的北偏东54°方向上，与的距离是800米，在的南偏东36°方向上，与的距离是600米．
(1)求点A与点之间的距离；
(2)若在点的正上方高度为480米的空中有一个静止的信号源，信号覆盖半径为500米，每隔2秒会发射一次信号，此时在点的正上方同样高度处有一架无人机准备沿直线向点A飞行，无人机飞行的速度为每秒10米．
①若计划无人机在飞往A处的过程中维持高度不变，飞行到点A的正上方后再降落，试求无人机在飞行过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．
②无人机在按原计划飞行12秒后，因紧急情况需要飞到点处，请直接写出此时无人机飞到点需要的最短时间为______秒．
26．在正方形中，点P在对角上，点E，F分别在边，上，．
(1)特例发现：如图1，当点P在对角，的交点处时．求证：．
(2)探究证明：如图2，当点P不在对角，的交点处时．判断与的数量关系，并说明理由．
(3)拓展运用：若，连接，请直接写出 PEF的面积．
答案
一、单选题
1．D
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据进行求解是解题的关键．
【详解】解：A、，原式错误，不符合题意；
B、，原式错误，不符合题意；
C、，原式错误，不符合题意；
D、，原式正确，符合题意；
故选D．
2．D
【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】A、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意；
B、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意；
C、，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，此选项不符合题意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，此选项符合题意；
故选D．
3．C
【分析】先根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定可得，再根据线段的和差即可得．
【详解】解：四边形是平行四边形，且，
，
，
平分，
，
，
，
同理可得：，
，
，
，
故选：C．
4．C
【分析】根据平行四边形的判定和矩形的判定进行判断即可．
【详解】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故①为假命题；
②如图：在四边形中，，平分，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴四边形为平行四边形；
∴一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形一定是平行四边形，是真命题；
③对角线互相平分且相等的四边形是矩形，为真命题；
④根据平行四边形的对角相等和一组对角互补，可得，平行四边形的一个内角为直角，所以一组对角互补的平行四边形是矩形．是真命题；
故选C．
5．A
【分析】根据三角形的三边关系可得出，再根据二次根式有意义的条件即可将原式化简求值．
【详解】 的三边之长分别为2、5、m，
即
，
故选A．
6．A
【分析】利用三角形中位线定理得到．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．
【详解】解：∵点D、E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴．
∵，D是的中点，，
∴，
∴．
故选：A．
7．D
【分析】根据题意可设折断处离地面的高度是x尺，折断处离竹梢是尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．
【详解】解：设折断处离地面的高度是x尺，折断处离竹梢是尺，
由勾股定理可得：
即：，
解得：，
故选：D．
8．D
【分析】
根据菱形的性质得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理解，即可求解．
【详解】
解：∵四边形为菱形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵点G为的中点，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
故选：D．
9．C
【分析】连，可得是等腰直角三角形，过点C作，则有，即，，解题即可．
【详解】连，过点C作，
则，
∴，，
由网格可知：，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选C．
10．A
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，推而广之即可求出“生长”2023次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【详解】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即．
“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；
“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，
“生长”3次后，所有的正方形的面积和是，
…
“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．
故选：A．
11．B
【分析】找到数的排列规律：行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，如果n是奇数，则符号为负，如果n是偶数则符号为正（第1个数除外），根据此规律可求得结果．
【详解】解：由题意得，行数与该行数的个数相同，且所有数是从1开始的自然数的算术平方根，如果n是奇数，则符号为负，如果n是偶数则符号为正（第1个数除外），
第1行到第9行共有：个数，即第9行最后一个数为，因此第11行从开始，则此行第5个数为；
故选：B．
12．C
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，作于点，交于点，作于点，由矩形的性质得到，，又有折叠可证到是等边三角形，求出，根据得到，进而得到，等量代换即可得到，由此得到当点于点重合时，取得最小值，故可以求出的长，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【详解】解：作于点，交于点，作于点，则，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
由折叠得，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴当点于点重合时，取得最小值，最小值为，
∴，
故选：．
二、填空题
13．
【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形还应满足的一个条件是等．答案不唯一．
【详解】解：条件是．
∵分别是的中位线，
∴，，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
故答案为：
14．
【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知必须异号，而，易确定的取值范围，也就易求二次根式的值．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
又，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】在中，先根据勾股定理求出的长，再根据4个直角三角形是全等的，得出，从而得到小正方形的边长，进一步求出面积．
【详解】解：在中，由勾股定理得，
个直角三角形是全等的，
，
小正方形的边长，
小正方形的面积，
故答案为：．
16．
【分析】如图：过作 ,过B作,则；由三角形的面积可得，运用勾股定理可得，再运用勾股定理可得，最后运用勾股定理即可解答
【详解】解：如图：过作 ,过B作,
由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．100
【分析】由得，由勾股定理可得，，，，由，可得，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，，，，
，
，
故答案为：100．
18．
【分析】连接，让绕点顺时针旋转，此时与重合，得到，连接，根据旋转的性质得到，再证明，可得三点共线，根据三线合一得到的值，最后利用角度的等量转换得到，再根据勾股定理，即可解答．
【详解】解：如图，连接，让绕点顺时针旋转，此时与重合，得到，连接，
四边形和四边形均为正方形，
，
根据旋转的性质，可得，，，
，
，
，
，
，
，
可得三点共线，
，
，
点D为的中点，
，
设，则，
根据勾股定理可得，，
即，
解得（舍去负值），
，，
，
，
，
，
,
故答案为：．
三、解答题
19．（1）解：原式；
；
（2）解：原式
；
20．
，
∵ ， ，
∴．
21．（1）
由勾股定理得：，
故答案为：
（2）
如图所示：点E即为所求；
（3）
是直角，理由如下：
如上图，连接，，
又，，
∴，
∴，
∴是直角．
22．（1）解：证明：四边形是平行四边形，
，，
、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形；
（2）、分别是、的中点，
，
，
，
，
的周长．
23．（1）解：如图1，直线即为所求；
（2）如图2，射线即为所求；
（3）如图3，点G即为所求作．
（4）如图4，如图，四边形即为所求作．
24．（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）①∵D为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，D为中点，
∴，
∴四边形是菱形；
②当时，
∵，
∴，
由①可知，四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
25．（1）解：依题意有：，，，
∴
在中，由勾股定理得：
∴（米）
答：点A与点之间的距离为1000米
（2）①过作于
∵
∴（米）
∵
故分别在和上找点和点使
在中，由勾股定理得：
∴（米）
同理得：（米）
当无人机处在段时能收到信号，由无人机的速度为
则无人机飞过此段的时间为：（秒）
∴无人机收到信号次数最多为：（次）
②无人机飞到点E后再沿飞行到C，此时飞行的时间最短，
由勾股定理得：(米)，(米)，
无人机飞行的距离为（米），飞行的最少时间为：（秒）．
故答案为：72．
26．（1）解：∵四边形是正方形，
∴．
∴都是等腰直角三角形．
∴．
∵，
∴．
∴，
即．
在和中
∴．
∴．
（2）过点P分别作的垂线，垂足分别为M，N ．
∵四边形是正方形，
∴．
∴四边形是矩形．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形是正方形．
∴．
∴即．
在和中
∴．
∴．
（3）连接，
由（2）知：，，
∴
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
