广西壮族自治区贵港市港南区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出四个选项中只有一个是正确的．考生用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1．（2024八上·港南期末）﹣3的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·港南期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≠2 C．x≤2 D．x≥2
3．（2024八上·港南期末）已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·港南期末）已知，则以下对m的估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·港南期末）小王网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小王让他们猜.喜欢数学的甲同学说：“至少20元.”对数学感觉一般的乙同学说：“至多15元.”讨厌数学的丙同学说：“至多12元.”小王说：“你们三个人都说错了”.则这本书的价格 （元）所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·港南期末）对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1=∠2．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B．，
C．， D．，
7．（2024八上·港南期末）如图所示的交通标志为一条公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·港南期末）近日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在今年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完．学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则x满足的不等关系为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024八上·港南期末）“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重和公民的文明素质．如图，在某路口的斑马线路段中，米．当绿灯亮时，小刚通过共用时10秒，其中通过的速度是通过速度的1.3倍，求小刚通过的速度．设小刚通过的速度为米/秒，则根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024八上·港南期末）我国建造的港珠澳大桥全长公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ）
A．三角形的内角和为 B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
11．（2024八上·港南期末）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024八上·港南期末）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024八上·港南期末）25的算术平方根是 ．
14．（2024八上·港南期末）如果分式的值为零，则m的值是 ．
15．（2024八上·港南期末）证明“若a的绝对值等于它本身，那么a是正数”是假命题的反例可以是 ．
16．（2024八上·港南期末）不等式组的解集为，则的取值范围为 ．
17．（2024八上·港南期末）如图，长方形内有2个相邻的正方形，面积分别为9和，那么阴影部分的面积为 ．
18．（2024八上·港南期末）对于正实数a，b作新定义：，在此定义下，若，则x的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（2024八上·港南期末）计算：．
20．（2024八上·港南期末）解不等式组
21．（2024八上·港南期末）先化简，再求值：，其中．
22．（2024八上·港南期末）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：．
23．（2024八上·港南期末）阅读下面的文字，解答问题：
我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？
事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分．
例如：，即，
的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）已知是的整数部分，是的小数部分，求的值
24．（2024八上·港南期末）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前了天完成了这一任务．
（1）用含的代数式填表（结果不需要化简）
工作效率（万平方米天） 工作时间（天） 总任务量（万平方米）
原计划 _________
实际 _________ _________
（2）求（1）的表格中的的值．
25．（2024八上·港南期末）任务一：阅读材料
在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如，，
这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；
．
像这样，把代数式中分母化为有理数的过程叫做分母有理化．
任务二：解决问题
将下列式子进行分母有理化：；．
26．（2024八上·港南期末）阅读并填空．将三角尺（，）放置在上（点P在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：若，则______度；______度；
（2）类比探索：求，，的关系，并说明理由；
（3）变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在外，三角尺的两边、仍恰好经过点B和点C，求，，的关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0。因此－3的相反数是3。故答案为：D。
【分析】根据相反数的定义只有符号不同的两个数是相反数解答即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x-2≥0，
解得，x≥2，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得被开方数x-2≥0，解不等式即可.
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，可知，选项A错误；
B、由，可知，选项B错误；
C、由，可知，选项C错误；
D、由，可知，选项D正确；
故选：D．
【分析】结合不等式的性质1-3逐项判断即可．
4．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据， 可得， 进而求解.
5．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】甲同学说：“至少20元.”，乙同学说：“至多15元.”，丙同学说：“至多12元.”而三个人都说错了，
则 ，
，
故答案为：C.
【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组求出x的取值范围，即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
B、，，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意；
C、，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
D、，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】判断一个命题是假命题的反例，需要反例满足命题的条件，不满足命题的结论，据此可对各选项进行判断．
7．【答案】D
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意，有：，
故选：D．
【分析】根据题意直接列不等式即可．
8．【答案】C
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地x m2，
根据题意可得：，
故选：C．
【分析】设他们在剩余时间内每小时平整土地x m2，根据题意列出不等式即可．
9．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意可列方程．
故选：B．
【分析】根据AB=2BC=10米，即可求得BC=5米，再由通过的速度是通过的1.3倍，可得出小刚通过的速度为米秒，利用时间路程速度，即可得出关于的分式方程．
10．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：观察图形可知，斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性，
故选：B．
【分析】根据三角形的稳定性即可求解．
11．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过作于，
则，，
，
，
，
故选：B．
【分析】过作于，根据邻补角的性质求出，根据含度的直角三角形性质求出，即 乘电梯从点到点上升的高度 ．
12．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：由题意可知，AD=3×2=6cm，BE=7×2=14cm，
∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴；
∴，，
∴，
故选：C．
【分析】根据题意先求得AD和BE的长，再由已知条件可知，根据直角三角形的性质和邻补角的性质可推出，进而利用全等三角形的判定定理AAS可证得，再根据全等三角形的性质求出EC和DC的长，即可求出DE的长．
13．【答案】5
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5．
故答案为：5．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．
14．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由分式的值为零，得，且，
解得，
故答案为：1．
【分析】要使分式的值为0，分式必须分子的值为0并且分母的值不为0，即，且，求解出m的值即可.
15．【答案】
【知识点】举反例判断命题真假；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：证明“若a的绝对值等于它本身，那么a是正数”是假命题的反例可以是：，
故答案为：
【分析】根据绝对值是本身的数为正数和0即可举反例.
16．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由得：，
由且不等式组的解集为，
知，
解得，
故答案为：．
【分析】解第一个不等式得，根据不等式组的解集可得，计算求解即可．
17．【答案】
【知识点】整式的加减运算；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：因为长方形内有2个相邻的正方形，面积分别为9和，所以阴影部分中的小长方形的长为3，宽为，
因此，阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】根据正方形的面积公式可知两个相邻的正方形的边长分别为3和x，再结合图形求出阴影部分中的两个小长方形的长与宽，利用长方形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
18．【答案】16
【知识点】一元一次方程的其他应用；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得．
故答案为：．
【分析】根据对，的新定义，可把，变形为，解方程求出x的值即可．
19．【答案】解：原式
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】结合二次根式的性质，先算乘方，再算乘，最后再进行加减运算即可求得结果
20．【答案】解： ，解得
故不等式组的解集是：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别将两个一元一次不等式进行求解，再求出公共解集即可求得不等式组的解集．
21．【答案】解：
，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】运用分式的混合运算进行化简，再代入求值即可。
22．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵在中，，，
∴，
连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作垂线的方法， 作出所求的线段的垂直平分线 即可；
(2)连接，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，推出，利用垂直平分线的性质可推出，进而得到，再利用含度角的直角三角形的性质，可知，进而可证得.
23．【答案】（1）2；
（2）解：，
，
∴
是的整数部分，是的小数部分，
，，
．
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：(1)，
，
的整数部分为2，小数部分为，
故答案为：2；；
【分析】（1）先估算的范围，再结合题意即可求出的整数部分和小数部分；
（2）先估算的范围，即可估算8+的范围，再结合题意先求出8+的整数部分和小数部分，即可知x和y的值，代入x-y即可求得答案．
24．【答案】解：（1）；；；
（2）依题意得：，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：表格（1）中x的值为.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：(1)因为原计划工作时每天的工作效率为x(万平方米/天)，则实际工作时每天的工作效率为(1+25%)x(万平方米/天)，原计划工作时间为(天)，实际工作时间为(天)，
故填：；；；
【分析】（1）根据原计划工作时每天的工作效率为x，即可求出实际工作时每天的工作效率，根据工作时间=总任务量÷工作效率求出原计划工作时间和实际工作时间；
（2）根据题意原计划工作时间-实际工作时间=30，列方程求解即可得到x的值.
25．【答案】解：；
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【分析】将分子分母都乘以，再根据二次根式的性质计算即可；
将分子分母都乘以()，根据平方差公式和二次根式的性质计算即可；
26．【答案】（1）90；40
（2）解：结论：，
理由如下：，
，
，
．
（3）解：结论：，
理由如下：设交于，如图
，
，即，
，
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：(1)，
，
，
，
∴
故答案为：90；40；
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，，结合图形可知 即可求出的度数 ．
（2）利用三角形的内角和定理和直角三角形的性质即可求得，，的关系 ．
（3）通过构造辅助线和同角定理即可求得，，的关系 ．
广西壮族自治区贵港市港南区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出四个选项中只有一个是正确的．考生用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
1．（2024八上·港南期末）﹣3的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0。因此－3的相反数是3。故答案为：D。
【分析】根据相反数的定义只有符号不同的两个数是相反数解答即可.
2．（2024八上·港南期末）若二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜2 B．x≠2 C．x≤2 D．x≥2
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】由题意得，x-2≥0，
解得，x≥2，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得被开方数x-2≥0，解不等式即可.
3．（2024八上·港南期末）已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，可知，选项A错误；
B、由，可知，选项B错误；
C、由，可知，选项C错误；
D、由，可知，选项D正确；
故选：D．
【分析】结合不等式的性质1-3逐项判断即可．
4．（2024八上·港南期末）已知，则以下对m的估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据， 可得， 进而求解.
5．（2024八上·港南期末）小王网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小王让他们猜.喜欢数学的甲同学说：“至少20元.”对数学感觉一般的乙同学说：“至多15元.”讨厌数学的丙同学说：“至多12元.”小王说：“你们三个人都说错了”.则这本书的价格 （元）所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】甲同学说：“至少20元.”，乙同学说：“至多15元.”，丙同学说：“至多12元.”而三个人都说错了，
则 ，
，
故答案为：C.
【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组求出x的取值范围，即可得出答案.
6．（2024八上·港南期末）对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1=∠2．”能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、，满足条件，满足条件和结论，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
B、，，满足条件，不满足结论，可作为说明原命题是假命题的反例，符合题意；
C、，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意；
D、，，不满足条件，不能作为说明原命题是假命题的反例，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】判断一个命题是假命题的反例，需要反例满足命题的条件，不满足命题的结论，据此可对各选项进行判断．
7．（2024八上·港南期末）如图所示的交通标志为一条公路某路段上汽车的最高时速不得超过，若某汽车的时速为，且该汽车没有超速，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意，有：，
故选：D．
【分析】根据题意直接列不等式即可．
8．（2024八上·港南期末）近日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在今年9月份开学开始正式施行．某学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完．学校要求完成全部任务的时间不超过3小时，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则x满足的不等关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：设他们在剩余时间内每小时平整土地x m2，
根据题意可得：，
故选：C．
【分析】设他们在剩余时间内每小时平整土地x m2，根据题意列出不等式即可．
9．（2024八上·港南期末）“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重和公民的文明素质．如图，在某路口的斑马线路段中，米．当绿灯亮时，小刚通过共用时10秒，其中通过的速度是通过速度的1.3倍，求小刚通过的速度．设小刚通过的速度为米/秒，则根据题意列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意可列方程．
故选：B．
【分析】根据AB=2BC=10米，即可求得BC=5米，再由通过的速度是通过的1.3倍，可得出小刚通过的速度为米秒，利用时间路程速度，即可得出关于的分式方程．
10．（2024八上·港南期末）我国建造的港珠澳大桥全长公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥．如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是（ ）
A．三角形的内角和为 B．三角形的稳定性
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：观察图形可知，斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性，
故选：B．
【分析】根据三角形的稳定性即可求解．
11．（2024八上·港南期末）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过作于，
则，，
，
，
，
故选：B．
【分析】过作于，根据邻补角的性质求出，根据含度的直角三角形性质求出，即 乘电梯从点到点上升的高度 ．
12．（2024八上·港南期末）王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．则两堵木墙之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：由题意可知，AD=3×2=6cm，BE=7×2=14cm，
∵，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴；
∴，，
∴，
故选：C．
【分析】根据题意先求得AD和BE的长，再由已知条件可知，根据直角三角形的性质和邻补角的性质可推出，进而利用全等三角形的判定定理AAS可证得，再根据全等三角形的性质求出EC和DC的长，即可求出DE的长．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024八上·港南期末）25的算术平方根是 ．
【答案】5
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5．
故答案为：5．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．
14．（2024八上·港南期末）如果分式的值为零，则m的值是 ．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由分式的值为零，得，且，
解得，
故答案为：1．
【分析】要使分式的值为0，分式必须分子的值为0并且分母的值不为0，即，且，求解出m的值即可.
15．（2024八上·港南期末）证明“若a的绝对值等于它本身，那么a是正数”是假命题的反例可以是 ．
【答案】
【知识点】举反例判断命题真假；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：证明“若a的绝对值等于它本身，那么a是正数”是假命题的反例可以是：，
故答案为：
【分析】根据绝对值是本身的数为正数和0即可举反例.
16．（2024八上·港南期末）不等式组的解集为，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由得：，
由且不等式组的解集为，
知，
解得，
故答案为：．
【分析】解第一个不等式得，根据不等式组的解集可得，计算求解即可．
17．（2024八上·港南期末）如图，长方形内有2个相邻的正方形，面积分别为9和，那么阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：因为长方形内有2个相邻的正方形，面积分别为9和，所以阴影部分中的小长方形的长为3，宽为，
因此，阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】根据正方形的面积公式可知两个相邻的正方形的边长分别为3和x，再结合图形求出阴影部分中的两个小长方形的长与宽，利用长方形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
18．（2024八上·港南期末）对于正实数a，b作新定义：，在此定义下，若，则x的值为 ．
【答案】16
【知识点】一元一次方程的其他应用；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意可知，，解得．
故答案为：．
【分析】根据对，的新定义，可把，变形为，解方程求出x的值即可．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（2024八上·港南期末）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】结合二次根式的性质，先算乘方，再算乘，最后再进行加减运算即可求得结果
20．（2024八上·港南期末）解不等式组
【答案】解： ，解得
故不等式组的解集是：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别将两个一元一次不等式进行求解，再求出公共解集即可求得不等式组的解集．
21．（2024八上·港南期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
，
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】运用分式的混合运算进行化简，再代入求值即可。
22．（2024八上·港南期末）如图，在中，，．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵在中，，，
∴，
连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作垂线的方法， 作出所求的线段的垂直平分线 即可；
(2)连接，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，推出，利用垂直平分线的性质可推出，进而得到，再利用含度角的直角三角形的性质，可知，进而可证得.
23．（2024八上·港南期末）阅读下面的文字，解答问题：
我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？
事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分．
例如：，即，
的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）已知是的整数部分，是的小数部分，求的值
【答案】（1）2；
（2）解：，
，
∴
是的整数部分，是的小数部分，
，，
．
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：(1)，
，
的整数部分为2，小数部分为，
故答案为：2；；
【分析】（1）先估算的范围，再结合题意即可求出的整数部分和小数部分；
（2）先估算的范围，即可估算8+的范围，再结合题意先求出8+的整数部分和小数部分，即可知x和y的值，代入x-y即可求得答案．
24．（2024八上·港南期末）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前了天完成了这一任务．
（1）用含的代数式填表（结果不需要化简）
工作效率（万平方米天） 工作时间（天） 总任务量（万平方米）
原计划 _________
实际 _________ _________
（2）求（1）的表格中的的值．
【答案】解：（1）；；；
（2）依题意得：，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：表格（1）中x的值为.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：(1)因为原计划工作时每天的工作效率为x(万平方米/天)，则实际工作时每天的工作效率为(1+25%)x(万平方米/天)，原计划工作时间为(天)，实际工作时间为(天)，
故填：；；；
【分析】（1）根据原计划工作时每天的工作效率为x，即可求出实际工作时每天的工作效率，根据工作时间=总任务量÷工作效率求出原计划工作时间和实际工作时间；
（2）根据题意原计划工作时间-实际工作时间=30，列方程求解即可得到x的值.
25．（2024八上·港南期末）任务一：阅读材料
在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如，，
这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；
．
像这样，把代数式中分母化为有理数的过程叫做分母有理化．
任务二：解决问题
将下列式子进行分母有理化：；．
【答案】解：；
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；分母有理化
【解析】【分析】将分子分母都乘以，再根据二次根式的性质计算即可；
将分子分母都乘以()，根据平方差公式和二次根式的性质计算即可；
26．（2024八上·港南期末）阅读并填空．将三角尺（，）放置在上（点P在内），如图①所示，三角尺的两边、恰好经过点B和点C．我们来探究：与是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：若，则______度；______度；
（2）类比探索：求，，的关系，并说明理由；
（3）变式探索：如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在外，三角尺的两边、仍恰好经过点B和点C，求，，的关系，并说明理由．
【答案】（1）90；40
（2）解：结论：，
理由如下：，
，
，
．
（3）解：结论：，
理由如下：设交于，如图
，
，即，
，
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：(1)，
，
，
，
∴
故答案为：90；40；
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，，结合图形可知 即可求出的度数 ．
（2）利用三角形的内角和定理和直角三角形的性质即可求得，，的关系 ．
（3）通过构造辅助线和同角定理即可求得，，的关系 ．
