2024年秋学期期末调研九年级数学试卷
分值：150分 考试时间：120分钟
一、单选题（每小题3分，计24分）
1．如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．将一元二次方程化成一般形式后，则一次项的系数是（ ）
A． B．2 C． D．4
3．如表是长沙市一中现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（ ）
年龄/岁 15 16 17 18
频数/名 5 6
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
4．如图，在中，为直径，点C，D是圆上的点，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知方程的两根分别为、，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2024
6．关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．9
第7题
7．如图，的直径的长度为定值a，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于点D，C两点，设，，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为（ ）
A．60° B．75° C．90° D．135°
二、填空题（每小题3分，计24分）
9．为了调查某厂生产的一批袋装茶叶的质量是否达标，从这批装装茶叶中抽出袋进行称量，得出与标准质量上下波动的数据如下：，，，，，，，，，．则在这组数据中：平均数为；中位数是；极差是；众数是；方差为，以上说法不正确的是 （只填序号）．
10．在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字，0，，4．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ．
11．已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积S＝ ．
12．为了丰富全县学生的业余生活，县文体中心图书馆计划三个季度购进新书21000册，已知第一个季度购进5000册，求文体中心图书馆后两个季度购书的平均增长率，若后面两个季度购书的平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ．
13．△ABC的三边分别为a，b，c，有b+c＝8，bc＝a2﹣12a+52，按边分类，则△ABC是 三角形．
14．开口向上的抛物线y＝a（x+2）（x﹣8）与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，若∠ACB＝90°，则a的值是 ．
15．已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m，0）．若－4＜b＜1，则m的取值范围是 ．
16．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2AB，D是BC上一点，且AB＝AD．若BD＝1，则AB的长为 ．
三、解答题（共11题，计102分）
17．（6分）解方程：(1)
(2)
18．（6分）某学校与山区学生开展“手拉手”活动，该校一部分学生捐献自己的书籍给山区的学生，将捐书情况制成了不完整的统计图如下．
各捐书数量对应人数占捐书总人数的百分比
(1)求出参加捐书的学生总人数，并补全条形统计图；
(2)求这些学生捐书数量的中位数；
(3)若统计人员在统计时漏掉1名学生捐书的数量，现将他捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则漏掉的那个学生捐书数量最少是________本．
19．（8分）一个袋子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球．它们的重量、大小都相同，其中红球有6个，黄球有5个，并知任意摸出1个黄球的概率是．问：
（1）袋子里蓝球有多少个？
（2）任意摸出1个红球的概率是多少？
20．（10分）已知关于x的一元二次方程ax2+x﹣a﹣1＝0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）设方程的两个根分别为x1，x2，求（x1﹣1）（x2﹣1）的值．
21．（10分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一边靠墙（墙的长度为），其他边均用栅栏围成，中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，如图所示．已知栅栏的总长度为，设较小矩形中与墙平行的一边长为．
(1)填空：
①养殖场中每一条与墙垂直的边长均可用含的代数式表示为 ；
②的取值范围是 ；
(2)矩形养殖场的面积能否达到 如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由．
22．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作EF∥BC，交AB的延长线于点F．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF＝9，EF＝15，求AD的长．
23．（8分）香醋受百姓喜爱，某商场平均每天卖出600份香醋礼盒，卖出1份礼盒的利润是10元，经发现，每份礼盒售价每涨1元，平均每天少卖10份，为了使每天获取的利润更多，该商场决定将售价上调．
（1）如果每份礼盒售价上涨x元，那么每份礼盒的利润为 元，该商场平均每天可卖出礼盒 份；（结果用含x的代数式表示）
（2）为了控制价格，要求一份礼盒获利不超过20元，则每份礼盒售价上涨多少元时，该商场每天获得的利润最大？
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．
25．（10分）如图，已知在△ABC中，∠A＝90°
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的周长．
26．（12分）如图1，C，D是半圆ACB上的两点，点P是直径AB上一点，且满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是弧CD的“幸运角”，如图，
（1）如图2，若弦CE⊥AB，D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P，连接CP．求证：∠CPD是弧CD的“幸运角”；
（2）如图3，若直径AB＝2，弦CE⊥AB，弧CD的“幸运角”为90°，求CD的长．
27．（12分）如图1，C，D是半圆上的两点，点P是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图，
(1)如图2，是的直径，若弦，D是弧上的一点，连接交于点P，连接．
①求证：是的“相望角”；
②设弧的度数为n，请用含n的式子表示弧的“相望角”度数为 ；
(2)如图3，若直径，弦，的“相望角”为，
①求弦的长．
②当时，则 ．
参考答案
1-5ACCCB 6-8CCC
9． 10． 11． 12．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝21000 13．等腰
14. 15．－2＜m＜3 16.2
17.(1),
(2),
18.（1）解：参加捐书的学生总人数人，捐8本书的有人，
补全条形统计图如下：
（2）解：这100人捐书的本数，按从小到大的顺序排序，中位数是第50和第51个数据的平均数，由条形图可知，第50和第51个数据都是6，
这些学生捐书数量的中位数为：；
（3）解：这100名学生捐书数量的平均数为：，
平均数增大了，
漏掉的那个学生捐书数量最少是7本，
故答案为：7．
19.解：（1）设蓝球有x个，则，解得，x＝9．
故篮球有9个．
（2）任意摸出1个红球的概率是．
20.（1）证明：∵Δ＝12﹣4×a×（﹣a﹣1）＝1+4a2+4a＝（2a+1）2≥0，
∴方程总有实数根．
（2）解：∵方程的两个根分别为x1，x2，
∴，，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+10．
21.（1）解：①因为中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，
所以，
因为栅栏的总长度为，所以与墙垂直的边长，
故答案为：；
②因为墙的长度为，所以，
解得．
故答案为：
（2）解：矩形养殖场的面积能达到；
根据题意列方程得，，
解得，，（舍去），
答：矩形养殖场的面积能达到，．
22.解：（1）直线EF是⊙O的切线．理由如下：
连接OE，OC，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴，
∴∠COE＝∠BOE，
∵OC＝OB，
∴OE⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）在Rt△OEF中，由勾股定理得：
OE2+EF2＝OF2，
∵OE＝OB，
∴OE2+EF2＝（OE+BF）2，
即：OE2+152＝（OE+9）2，
解得：OE＝8，
∴⊙O的半径为8；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠OEF＝90°，
∴∠BEF＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∴∠BEF＝∠BAE，
∵∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴，
∴AEBE，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，即BE2+（BE）2＝162，
解得：BE，
∴AE，
∵BC∥EF，
∴，即，
∴AD．
23.解：（1）如果每份礼盒售价上涨x元，那么每份礼盒的利润为（10+x）元，该商场平均每天可卖出礼盒（600﹣10x）份；故答案为：（10+x），（600﹣10x）；
（2）设每份礼盒售价上涨x元时，该商场每天获得的利润为y元，根据题意得，y＝（10+x）（600﹣10x）＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x2﹣50x﹣600）＝﹣10（x﹣25）2+12250，
∵获利不超过20元，∴当x＝10时，商场每天获得的利润最大．
24．（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，
∴∠EAC＝∠BAC，∠AEC＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠ACO＝∠EAC，∴OC∥AE，
∴∠AEC+∠ECO＝180°，∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接OF，过点O作OG⊥AE于点G，
∵∠BAC＝15°，∴∠BAE＝2∠BAC＝30°，∠COF＝2∠EAC＝2∠BAC＝30°，
∵OA＝2，∴OG＝OA＝1，AG＝，∵OA＝OF，∴AF＝2AG＝2，
∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，∴CD＝OC＝1，OD＝，
∴AE＝AD＝AO+OD＝2+，∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝1，
∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF＝×（2﹣+2）×1﹣×π×22＝2﹣﹣π．
25.解：（1）如图，⊙P为所作；
（2）过P点作PD⊥BC于D点，如图，
∵⊙P与AB，BC两边都相切，PA⊥AB，∴PA、PB为⊙P的半径，BP平分∠ABD，
∴∠ABP＝∠ABC＝30°，在Rt△ABP中，∵∠ABP＝30°，
∴AP＝AB＝×3＝，∴⊙P的周长为2π×＝2π．
26.解：（1）∵AB是直径，CE⊥AB，∴AB平分CE，∴△CEP是等腰三角形，
∵CE⊥AB，∴∠CPA＝∠EPA，∵∠EPA＝∠BPD，∴∠CPA＝∠BPD，∴∠CPD是弧CD的“幸运角”；
（2）如图，连接OC，OD，∵弧CD的“幸运角”为90°，
∴∠CPD＝90°，∴，
∵CE⊥AB，∴∠CED＝90°﹣45°＝45°，∴∠COD＝2∠CED＝90°，
∵AB＝2，∴，∴，即CD的长为．
27.（1）①证明：∵是的直径，弦，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的“相望角”；
②解：∵弧的度数为n，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴弧的“相望角”度数为，
故答案为：n；
（2）解：①连接，，设与交于点F，如图，
∵的“相望角”为，
∴，
∴，
∵是的直径，弦，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴；
②∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或8．故答案为：6或8．
