浙江省杭州市 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷（乙卷）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.已知集合 = { | = , ≤ 1}， = { | 2 2 3 < 0}，则 ∩ = ( ) 2
1 1 1
A. ( 1, ) B. ( 1,3) C. [ , +∞) D. [ , 3)
2 2 2
5
2.复数 ( 为虚数单位)的共轭复数是( )
2 1
A. 1 2 B. 1 + 2 C. 1 2 D. 1 + 2
3.已知 > 0且 ≠ 1，数列{ }各项均为正实数，设甲：{ }为等比数列；乙：{log }为等差数列，则甲
是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.一个笔盒中装有6支笔，其中3支黑色，2支红色，1支蓝色．若从中任取2支，则“恰有1支黑色”的概率
是( )
3 3 1 1
A. B. C. D.
5 10 5 10
2 2 2 2 2√ 5
5.设椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)与双曲线 2 2 = 1的离心率分别为 1， 2，双曲线渐近线的斜率小于 ， 5
则 1的取值范围是( )
2
2√ 5 2√ 5 1 1
A. (0, ) B. ( , 1) C. (0, ) D. ( , 1)
5 5 3 3
1
6.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( )，且 (1) = ，则∑2025 =1 ( ) = ( ) 2
1 1
A. 1 B. C. 1 D.
2 2
7.已知sin 50°(1 + tan 10°) = 1，则 =( )
A. 1 B. √ 2 C. √ 3 D. √ 3
8.如图，曲线 这种造型被称为双纽线，在纺织中作为花纹得到广泛应用．已知曲线 上的点满足到点
1( 2,0)与到点 2(2,0)的距离之积为4，则曲线 上点的纵坐标的最大值为 ( )
1
A. B. 1 C. √ 4√ 5 8 D. 2
2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数的求导运算正确的是( )
1 ′ 1 1
A. ( + ) = 1 + B. (tan )′ =
2 2
ln(2 ) ′ 1+ln(2 )
C. [ ] = 2 D. [(3 + 1)
2 3 ]′ = (3 27 2) 3
( +1)(2 +1)
10.在数列{ }和{ }中， = = 1， = + 1，{ }的前 项和 = ， ∈ 1 1 +1 ，则6
下列说法正确的有( )
A. =
2 B. 64 < 2025
1C. 36是{ }与{ }的公共项 D. ∑ =1 < 2 +1 +1
11.一条动直线 1与圆
2 + 2 = 1相切，并与圆 2 + 2 = 4相交于点 、 ，点 为定直线 2： + 4 = 0上
动点，则下列说法正确的是( )
A. 存在直线 1，使得以 为直径的圆与 2相切
B. | |2 + | |2的最小值为24 8√ 2
C. 的最大值为4√ 2 6
D. | | + | |的最小值为2√ 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知空间向量 = (1, 2,3)，则向量 在坐标平面 上的投影向量是 ．
13.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，过点 ( 1,0)作斜率为 的直线在第一象限与 交于 、 两点，且
为∠ 的平分线，则 的值为_________．
14.定义：已知一个点集 及一点 ，任取点集 中一点 ，线段 长度的最小值称为点 到点集 的距离，
记作 ( , ).现已知空间中一点 ，平面上一个长为2、宽为1的矩形及其内部的所有点构成点集 ，则点的集
合{ | ( , ) ≤ 1}所表示几何体的体积为_________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 sin = cos ( )．
6
(1)求 的大小；
2√ 3
(2)若 = 2 ，△ 的面积为 ，求△ 的周长．
3
16.(本小题15分)
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已知函数 ( ) = ln + 2 ．
(1)若 = 4，求 = ( )在点(2, (2))处的切线方程；
(2)若 = ( )的图象关于点( , 3)中心对称，求 ， 的值．
17.(本小题15分)
如图，多面体 是由一个四棱锥 与一个三棱锥 拼接而成，底面 是棱长为2的
菱形，∠ = 60°， = = √ 10， = 2√ 3， // ．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
1
(2)若 = ，求平面 与平面 所成角的余弦值．
2
18.(本小题17分)
2 2 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)，左顶点 ( 2,0)，离心率 = ， 为第一象限内椭圆上一点，过 作 2
椭圆的切线交直线 = 2于点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 且平行于 的直线与椭圆的另一个交点为 ，直线 交 延长线于点 ，记△ ，△ ，△
的面积分别为 △ ， △ ， △ ．
(ⅰ)证明： △ = 2 △ ；
3√ 3
(ⅱ)当 = 时，求直线 的方程． 4
19.(本小题17分)
已知数列{ }是斐波那契数列{1,1,2,3,5,8,13,21,34,…… }，这一数列以如下递推的方法定义： 1 = 1， 2 = 1，
+2 = +1 + ( ∈ ).数列{ }对于确定的正整数 ，若存在正整数 ，使得 + = + 成立，则
称数列{ }为“ 阶可分拆数列”．
(1)已知数列{ }满足 = + ( ∈ , , ∈ )，若对 ∈ ，数列{ }为“1阶可分拆数列”，求出
符合条件的实数 的值；
(2)已知数列{ }满足 = 3 + + ( , ∈
)，若{ }为“ 阶可分拆数列”，记正整数 的最小值为
( )，求∑ =1 ( )；
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(3)若数列{ }满足 = ( ∈ )，其前 项和为 ，求证：当 ∈
且 ≥ 3时， <
2
1 +
2
2 +
2
3 + …+3
2 +1 + 1成立．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】(1, 2,0)
√ 3
13.【答案】
2
13
14.【答案】4 +
3
15.【答案】解：(1)由正弦定理 = 得 = ，所以 = ( )，
6
√ 3 1
所以 = cos( ) = + ，整理得 = √ 3 ，
6 2 2
因为 ∈ (0, )，所以 > 0，因此 > 0，所以 = = √ 3，
所以 = ；
3
2√ 3 1 2√ 3 8
(2)由△ 的面积为 ，得 = ，解得 = ，
3 2 3 3
2 4
又 = 2 ，则 = √ 3， = √ 3，
3 3
2 2 2 16 4 8由余弦定理得 = + 2 = + = 4，解得 = 2， + = 2√ 3，
3 3 3
所以△ 的周长为2√ 3 + 2．
1 1
16.【答案】解：(1)当 = 4时， ( ) = ln + 2 ， ′( ) = + + 2，∴ ′(2) = 3
4 4
又 (2) = 4，所以 = ( )在点(2, (2))处的切线方程为3 2 = 0．
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+
(2)由题意可得， ( + ) 3 = ln + 2 + 2 3为奇函数，
= 2 3
则{ ，得 = 3， = ．
2 3 = 0 2
17.【答案】(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，∵ = = √ 10，∴ ⊥ ，
在 中， = 3， = √ 3， = 2√ 3，∴ ⊥ ，
∩ = ， ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ．
// 1
(2)由题可得： = ，∴ 是平行四边形，∴ // ，由(1)得 ⊥平面 取 中点 ，
2
连接 ，则∠ = 90 ，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
1 √ 3 1 √ 3
则： ( 1, √ 3, 0)， ( , , 3)， = ( , , 3)， = (2,0,0)，
2 2 2 2
1 √ 3
设平面 的法向量 1 = ( , , )，则{
+ 3 = 0,
2 2 得 1 = (0,2√ 3, 1)，
2 = 0
2√ 3 2√ 39
平面 的法向量 2 = (0,1,0)，∴ cos < 1 ， 2 >= = √ 13 13
2√ 39
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ．
13
√ 3 2
18【. 答案】解：(1)由题意得 = 2，离心率 = = ， = √ 2 2 = 1，则椭圆 的标准方程为 + 2 = 1．
2 4
4
(2)( )设直线 : = 2，代入到椭圆方程，化简得( 2 + 4) 2 4 = 0，故 = ． 2+4
= 2
2 2
设 ( 0, 0)( 0 > 0, 0 > 0)，联立直线 ， 的方程{ = 0 , (
0 , 0 )，
0 0 0 00
4 2
切线 : 0 + 0 = 1，又 // ，则 =
0.故 = ，
4 20 +4
所以： = 2 ，即 为线段 中点.由 // 与中点 ，则 △ = △ = 2 △
3 +2
( )由中点 得 △ = 2 △ = √ 3，将 = 2代入直线 :
0 + 0 = 1，可得 ( 2,
0 ).
2 4 2 0
1 +2 2 3√ 3
△ = | || + 2| =
0 ． = ( + 2) = ，
2 0
2+4 0 0 2
2 2 27则 0 ( 0 + 2) = ，即(4
2
0)( 0 + 2)
2 = 27，则( 1)20 (
2
0 + 6 0 + 11) = 0， 0 = 1． 4
故 = 2√ 3，则 : + 2√ 3 + 2 = 0．
19【. 答案】解：(1)由题意得，存在正整数 ，使 1+ = 1 + 对 ∈ 成立，即 1+ + = 1 + + +
，
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化简得 +1 = + 1 + ，
所以当 = 0时，存在正整数 = 2，使 3 = 2 + 1对 ∈ 成立，
1
当 ≠ 0时，若取 = 2 ，则 +1 = + 1 + ， 2
∵ +1， ， 1 ∈ ，∴等式不成立，
综上， = 0；
(2)由题意得：对于确定的正整数 ，存在正整数 ，3 + + + 3 + + = 3 + + + + ，
即 = 3 + 3 3 = (3 1)(3 1) 1，
当 = 1时， 最小，
所以 ( ) = 2 3 3，则∑ +1 =1 ( ) = ∑ =1( 2 3 3) = 3 3 3；
(3)证明：∵ = + ，( ∈ +2 +1 )，
可得当 ≥ 2时， 2 = ( +1 1) = +1 1，
∴ 21 +
2
2 +
2 2
3 + +
= 21 + ( 2 3 2 1) + ( 3 4 3 2) + ( 4 5 4 3) + + ( +1 1)
= 21 2 1 + +1 = +1，
∴ 2 + 2 2 21 2 + 3 + + +1 + 1 = 1，
∵ = ， 3
∴ =
1 + 2 + 3 + + 1 + ①，
31 32 33 3 1 3
1
= 1 + 2 + 3 + + 1
2 3 4 + +1，② 3 3 3 3 3 3
2
① ②得： = 1 + 2 1 + 3 2 + 4 3 + + 1
1 1 2 2
3 1 2 3 4 3
+1 = +3 3 + 4 + + 3
=
3 3 3 3 3 3 3 3 +1
1 1 1 1
+ ( 1 2 2
3 32 31
+ 2 + + 2) 3 3 3 +1
= +
3 2 2
3 3 +1
，
∵ 2 < ，
> 0，
3 +1
2 1 1 1 1
∴ = + 2 2
+1 < + 2 ， 3 3 3 3 3 3
3
∴ < < 1，即，当 ∈
且 ≥ 3时， <
2 2
1 + 2 +
2
3 + +
2
5 +1 + 1成立．
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