2024-2025学年江苏省宿迁市宿城区新区教学共同体九年级（上）1月期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.歌唱比赛有二十位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做，肯定不会对所有评委打分的哪一个统计量产生影响( )
A. 平均分 B. 众数 C. 中位数 D. 极差
3.如图，是的直径，弦，若的度数为，则的度数为( )
A. B. C. D.
4.如图，点是正五边形的中心，连接，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.下列说法正确的是( )
A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的距离
C. 垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦 D. 平分弦的直径垂直于弦
7.某公司今年月的营业额为万，按计划第季度的总营业额要达到万元，设该公司，月的营业额平均增长率为，根据题意列方程( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与交于、两点，若的半径为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ．
10.圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，圆锥底圆半径为 ．
11.不透明的袋中装有只有颜色不同的个小球，其中个红色，个白色，从袋中任意摸出一个球是红球的概率是 ．
12.若圆弧所在圆的半径为，所对的圆心角为，则这条弧的长为 ．
13.如果是一元二次方程的一个根，那么的值是 ．
14.如图，在一边靠墙墙足够长的空地上，修建一个面积为的矩形临时仓库，仓库一边
靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，若设栅栏的长为，依据题意可列方程 ．
15.已知圆的一条弦把圆周分成两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 ．
16.一组数据：，这组数据的方差是 ．
17.如图，四边形是的内接四边形，的半径为，，则弦的长为 ．
18.如图，在中，，，，将绕点旋转，得到，点的对应点为，为的中点，连接在旋转的过程中，线段长度的最大值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.用适当的方法解下列方程：
；
；
；
．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点、、，
经过，，三点的圆弧所在圆的圆心点的坐标为． ；
的半径为． ，的度数为 ；
点是第一象限网格中的一个格点，直线与相切，点的坐标为 ．
21.本小题分
某商店在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件．
如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出 件；
要想平均每天销售这种童装盈利元，那么每件童装应降价多少元？
22.本小题分
如图，在中，，，点在的边上，以为圆心，为半径的经过点，交于点．
求证：与相切；
若，求与重叠部分的面积．
23.本小题分
在一只不透明袋子中装了个大小、质地都相同的乒乓球，乒乓球球面上分别标有数字、、、，搅匀后先从中任意摸出个球不放回，再从余下的个球中任意摸出个球．
用树状图列出所有可能出现的结果；
求次摸出的乒乓球球面上数字的积为偶数的概率．
24.本小题分
某校为丰富学生的课余生活，开展了多姿多彩的体育活动，开设了五种球类运动项目：篮球，足球，排球，羽毛球，乒乓球．为了解学生最喜欢以上哪种球类运动项目，随机抽取部分学生进行调查每位学生仅选一种，并绘制了统计图：
某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题：
本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中对应圆心角的度数为
请补全条形统计图；
若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“乒乓球”的学生人数．
25.本小题分
已知关于的方程．
求证：方程恒有两个不相等的实数根；
若此方程的一个根是，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
26.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，，过点的直线与边交于点，且，平分，过点作，垂足为点，以为直径作．
求直线对应的函数表达式；
判断与的位置关系，并说明理由；
如图，将沿轴向右滚动，当与直线相切时，请直接写出圆心的坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.或
16.
17.
18.
19.【小题】
解：
，
解得，
【小题】
解：
，
解得，
【小题】
解：，，
解得，
【小题】
解：
，
，
，
解得，
20.【小题】
【小题】
【小题】
21.【小题】
【小题】
解：设每件童装应降价元，
根据题意得：，
整理得：，即，
解得：或，
根据题意得到扩大销售量，增加盈利，减少库存，故舍去，
每件童装应降价元．
22.【小题】
证明：连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，
与相切．
【小题】
解：过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与重叠部分的面积为．
23.【小题】
解：画树状图如下，
由图可知共有种可能结果，分别为：
，，，，，，，，，，，；
【小题】
解：共有种等可能的结果，其中乒乓球球面上数字的积为偶数有种，
．
24.【小题】
【小题】
解：最喜欢“足球”的学生人数为人，
补全条形统计图，如图：
【小题】
解：人，
即该校最喜欢“乒乓球”的学生人数为人．
25.【小题】
证明：，
在实数范围内，无论取何值，，即．
关于的方程恒有两个不相等的实数根．
【小题】
此方程的一个根是，
，
解得，，
则方程的另一根为：．
当该直角三角形的两直角边是、时，由勾股定理得斜边的长度为，该直角三角形的周长为．
当该直角三角形的直角边和斜边分别是、时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为．
26.【小题】
解：平分，则，
，则，
，
则中，，，
则，
则圆的半径为，
则点，
设直线的表达式为，
由点、的坐标得，
解得：
直线的表达式为：；
【小题】
与的位置关系相切，理由：
过点作于点，
则
故与的位置关系相切；
【小题】
当点在的左侧时，
过点作轴的平行线交轴于点，交于点，过点作轴的平行线交于点；
由题意得：、、轴均与圆相切，则，
，
设点，则，
则，，
则，
解得：，
即点；
当时，，
解得：，
即点，
则点为点的中点，
由中点坐标公式得：点，
综上，或；
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