2024-2025学年陕西省西安二十六中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）抛物线y＝﹣2（x﹣3）2的顶点坐标为（ ）
A．（3，0） B．（0，3） C．（0，﹣3） D．（﹣3，0）
2．（3分）某商场的休息椅如图所示，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠A＝α，a＝2，则c的长为（ ）
A．2tanα B． C．2sinα D．
4．（3分）已知点A（﹣2，y1）、B（3，y2）在反比例上，若y1＜y2．则a的取值范围是（ ）
A．a＜0 B．a＜2 C．a＞2 D．不确定
5．（3分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，AD＝2AO，若△ABC的周长是5，则△DEF的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．（3分）近年来，我国数字技术不断革新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．432（1+2x）＝507
B．432（1+2x）2＝507
C．432（1+x）2＝507
D．432+432（1+x）+432（1+x）2＝507
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则AE的长为（ ）
A．6 B．5 C． D．4
8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）y与x的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣1 0 3 5 …
y … 16 0 ﹣5 ﹣8 0 …
下列结论正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．有最小值﹣8
C．若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2
D．当x＞5时，y＞0
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝ ．
10．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝4，则∠B的度数为 ．
11．（3分）为了解某湿地公园大白鹭的情况，从中捕捉50只大白鹭，戴上识别卡并放回，经过多次重复实验后发现，捕捉的大白鹭中有记号的频率稳定在0.1左右，由此估计该湿地公园约有 只大白鹭．
12．（3分）如图，点P是反比例函数图象上一点，过点P作PA⊥y轴于点A，点B是点A关于x轴的对称点，连接PB，若△PAB的面积为18，则k的值为 ．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，AB边的垂直平分线交BD于点E，交AB于点F，点G为CD边中点，连接EG，若AC＝8，BD＝16，则线段EG的长为 ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解方程：3x2﹣5x﹣1＝0．
15．（5分）2cos30°sin45°﹣tan60°．
16．（5分）已知二次函数y＝x2﹣2x+m﹣2的图象与x轴有交点，求非负整数m的值．
17．（5分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，AB，AD＝2．请用尺规作图法，在BC上求作一点E，使得sin∠AED（保留作图痕迹，不写作法）．
18．（5分）如图，点E是△ABC的边BC上的点，AB＝18，AE＝15．若∠BAE＝∠CAD，，求证：∠C＝∠D．
19．（5分）某服装店购进单价为15元的童装若干件．销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．当每件降价多少元时，该服装店平均每天的销售利润最大？
20．（5分）一个不透明的袋子中共装有3个小球，其中1个红球、2个白球．这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回记作随机摸球1次．
（1）随机摸球20次，其中摸出黄球6次，则这20次摸球中，摸出黄球的频率是 ；
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球颜色不同的概率．
21．（6分）太阳能路灯是直接将光能转化为电能的一种新型环保路灯．如图，某种型号太阳能路灯的支架CD与灯柱AB的夹角∠BCD＝60°，支架CD＝3米，小明同学在距灯柱10米的E处，用测角仪测得路灯D的仰角为48°，已知测角仪EF的高度为1.2米，求路灯D距地面AE的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：1.73，sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
22．（7分）如图，二次函数y＝ax2+4x+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣1，0），C（0，5）．
（1）求点B的坐标；
（2）连接BC，现将二次函数y＝ax2+4x+c的图象向下平移m个单位长度，使得顶点恰好落在线段BC上，请求出此时m的值．
23．（7分）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如表所示：
桌面所受压强P（Pa） 200 400 500 800 1000
受力面积S（m2） 0.5 0.25 a 0.125 0.1
（1）根据表中数据，求出桌面所受压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式及a的值；
（2）将另一长，宽，高分别为0.3m，0.2m，0.1m且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
24．（8分）如图，在 ABCD中，点F在对角线AC上，且AB＝AF，过点F作EF∥AB，连接BE，使∠E＝∠BAC．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AD＝10，BE＝6，tan∠CBE，求AC的长．
25．（8分）一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图①，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本、向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图②，面碗的上口径AB＝24cm，碗底直径CD＝EF＝6cm，面碗的边沿上一点B到桌面EF的距离BG＝8cm，碗足高DF＝1cm．小丽又进一步建立以CD所在直线为x轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）m为y轴的平面直角坐标系（如图③）．
（1）请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数表达式；
（2）小丽向空面碗中倒入一些水，当水面MN与桌面EF的距离为15cm时，求此时面碗中水面MN的宽度．
26．（10分）【问题提出】
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边AC上，DE⊥AB于点E．若AB＝5，BC＝AD＝3，求AE的长．
【问题解决】
（2）如图②，有一块边长为30m的正方形花园，点D，E为花园的入口，且BE＝10m，连接BD．若在△BCD区域内设计一个亭子F（亭子的大小忽略不计），满足AF＝AB，从入口到亭子铺设两条景观路DF和EF．已知铺设小路DF所用的景观石材每米的造价是200元，铺设小路EF所用的景观石材每米的造价是300元，求铺设小路DF和EF的最低造价及此时亭子F到边AB的距离．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A B C C C B D
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．3．
10．60°．
11．500．
12．﹣18．
13．．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．解：∵a＝3，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣1）＝25+12＝37＞0．
∴x，
∴x1，x2．
15．解：原式＝2
＝1．
16．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m﹣2的图象与x轴有交点，
∴Δ＝4﹣4（m﹣2）≥0，
∴m≤3，
∵m为非负整数，
∴m＝0或1或2或3．
17．解：如图，点E即为所求．
18．证明：∵AB＝18，AE＝15，
∴，
∵，
∴，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED，
∴∠C＝∠D．
19．解：设每件降价为x元，每天的销售利润为y元，
根据题意得：y＝（25﹣15﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+12x+80＝﹣2（x﹣3）2+98，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＝3时，y有最大值，y最大值＝98．
答：当每件降价3元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
20．解：（1）由题意得，这20次摸球中，摸出黄球的频率是6÷20＝0.3．
故答案为：0.3．
（2）列表如下：
红 白 白
红 （红，红） （红，白） （红，白）
白 （白，红） （白，白） （白，白）
白 （白，红） （白，白） （白，白）
共有9种等可能的结果，其中这两次摸出的小球颜色不同的结果有4种，
∴这两次摸出的小球颜色不同的概率为．
21．解：如图所示，过点D作DG⊥AE于G，过点F作FH⊥DG于H，过点C作CM⊥DG于M，则四边形ACMG和四边形EFHG都是矩形，
∴CM＝AG，HF＝EG，HG＝EF，
∵∠BCD＝60°，
∴∠DCM＝30°，
又∵∠CMD＝90°，
∴CM＝CD cos∠DCM米，
∴米，
∴米，
∴DH＝HF tan∠DFH≈8.2米，
∴DG＝DH+GH＝9.4米，
∴路灯D距地面AE的高度为9.4米．
22．解：（1）将（﹣1，0）和（0，5）代入y＝ax2+4x+c中，
得，
解得，
∴函数解析式为y＝﹣x2+4x+5；
对称轴为直线x2，
∵A（﹣1，0），
B点的坐标为（5，0）；
（2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线的顶点坐标为（2，9），
由（1）可知：B（5，0），
易得直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
平移后的顶点为：（2，9﹣m），
由题意可得：9﹣m＝﹣2+5，
解得：m＝6．
23．解：（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设，
将（200，0.5）代入得：k＝200×0.5＝100，
∴P，即所受压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式为P，
当P＝500时，S0.2，
∴a＝0.2；
（2）这种摆放方式不安全，
理由如下：
由图可知S＝0.1×0.2＝0.02（m2），
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，P5000（Pa），
∵5000＞2000，
所以这种摆放方式不安全．
24．（1）证明：∵EF∥AB，
∴∠E+∠ABE＝180°，
∵∠E＝∠BAC，
∴∠BAC+∠ABE＝180°，
∴AC∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
又∵AB＝AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
（2）解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，
由（1）可知，AC∥BE，
∴∠ACB＝∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD∥BC，
∴∠DAH＝∠ACB，
∴∠DAH＝∠CBE，
∴tan∠DAH＝tan∠CBE，
在Rt△ADH中，tan∠DAH，
∴AH＝2DH，
设DH＝x（x＞0），则AH＝2x，
由勾股定理得：DH2+AH2＝AD2，
即x2+（2x）2＝102，
解得：x＝2，
∴DH＝2，AH＝4，
由（1）可知，四边形ABEF是菱形，
∴CD＝AB＝BE＝6，
在Rt△CDH中，由勾股定理得：CH4，
∴AC＝AH+CH＝44．
25．解：（1）由图3知：点B（12，7）、点D（3，0），
设抛物线的表达式为：y＝ax2+c，
∴，
解得，
则抛物线的表达式为yx2；
（2）MN与桌面EF的距离为15cm时，即y＝7cm，
当y＝7时，x27，
解得x＝±12，
∴MN＝24cm．
答：此时面碗中水面MN的宽度为24cm．
26．解：（1）∵AB＝5，BC＝3，∠C＝90°，
∴AC4，
∵DE⊥AB于点E，∠C＝90°，
∴∠AED＝∠C＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即，
∴AE；
（2）如图，延长AB到G，使BGAB，
∵AB＝30（米），BE＝10（米），
∴AF＝AB＝30（米），AE＝AB﹣BE＝20（米），AGAB＝45（米），
∴，
又∵∠GAF＝∠GAF，
∴△EAF∽△FAG，
∴EFFG，
已知铺设小路DF所用景观石材每米的造价是200元，铺设小路EF所用的景观石材每米的造价是300元，总造价为200DF+300EF＝200DF+300FG＝200（DF+FG）（元），
∴使铺设小路DF和EF的总造价最低，即DF+FG最小，
由图可知DF+FG≥DG，
当D、F、G三点共线时，DF+FG最小，此时DF+FG＝DG，
∴DG15（米），
∴总造价最小值＝200（DF+FG）＝200×153000（元），
过点A作AH⊥EF，垂足为H，过点F作AK⊥AB，垂足为K，
∵AF＝AD，
∴FH＝DH，
∵cos∠ADG，
∴DH＝AD cos∠ADG＝30（米），
∴DF＝2DH（米），
∴GF＝DG﹣DF＝15（米），
∴∠GKF＝∠BAD＝90°，
∴KF∥AD，
∴∠KFG＝∠ADG，
∵cos∠KFG，
∴KF＝GF cos∠ADG（米），
综上所述，存在点F，使总造价最小，最小值为3000元，此时亭子F到边AB的距离为米．
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