马鞍山二中2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题
考试范围：高考全部内容；时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.若向量，的夹角为，且，，则( )
A. B. C. D.
4.第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为( )
A. B. C. D.
5.一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为( )
A. B. C. D.
6.在中，已知，且满足，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
7.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且曲线与在第一象限相交于点，为坐标原点若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数满足，则下列结论不正确的是( )
A. B. 函数关于直线对称
C. D. 的周期为
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前天内，它们的变化规律如图所示均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型：
记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则( )
A. 体力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的
B. 第天时，智力曲线处于上升期、情绪曲线处于下降期
C. 智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点
D. 存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点
10.对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，数列的前项和为，则
D. 若，，则
11.如图，在长方体中，，，为棱中点，为线段上一动点，下列结论正确的是( )
A. 线段长度的最小值为
B. 存在点，使
C. 存在点，使平面
D. 以为球心，为半径的球体被平面所截的截面面积为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中的系数为________．
13.点为平面直角坐标系的原点，，点满足，点为圆：上一动点，则的最小值为________．
14.设函数，若曲线在点处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程
已知为整数，若在上单调递减，且在上单调递增，求．
16.本小题分
甲、乙两位同学参加知识答题比赛，得分高者获胜已知共道试题，甲能答对其中的道题，乙答对每道题的概率为，每答对一题得分，答错不扣分两人商议后约定：甲随机选择其中的道题作答乙依次作答，且每答对一题继续答下一题，题目答错或者答完则结束答题设甲答题总得分为，乙答题总得分为．
求甲答题总得分的概率
求乙答题总得分的期望，并从期望角度说明甲、乙谁胜出参考数据：
17.本小题分
如图，中，，，、分别为，的中点，将沿着翻折到某个位置得到．
线段上是否存在点，使得，并说明理由；
当时，求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知双曲线：，其左顶点，离心率．
求双曲线方程及渐近线方程；
过右焦点的直线与双曲线右支交于，两点，与渐近线分别交于点，，直线，分别与直线交于，．
求的取值范围；
求证：以为直径的圆过定点，并求出该定点．
19.本小题分
已知点集，，，将中的元素按照一定顺序排成一列，可得到数对序列，，，定义：，，其中表示，中最大的数．
对于数对序列，，求，的值
有序实数对，可排成两个序列，和，，在，，，四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小
若为奇数且，，，，证明：集合中存在两个非空子集，，满足，，中所有点的横坐标之和，中所有点的纵坐标之和．马鞍山二中2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题
考试范围：高考全部内容；时间：120分钟；满分：150分
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：集合，
集合，
则
即．
2.设复数满足，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由复数满足，
可得，
故
3.若向量，的夹角为，且，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
解： ，
，两边平方得：
，
，
解得，
4.第届中国国际航空航天博览会于年月日至日在珠海举行本届航展规模空前，首次打造“空、海、陆”一体的动态演示新格局，尽显逐梦长空的中国力量航展共开辟了三处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、无人系统演示区甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：根据题意，设事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，
航展共开辟了三处观展区，每人只能随机去一个展区，则，
因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区，
则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区，
基本事件的总数为，
若事件、同时发生，即甲参观珠海国际航展中心而乙没有参观珠海国际航展中心，
分种情况讨论：
若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁，
此时，不同的参观情况种数为，
若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区，
此时，不同的参观情况种数为种，
因此，，
由条件概率公式可得．
5.一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：由边长为的正三角形的内切圆半径为，
即轴截面是边长为的正三角形的圆锥内切球半径为，
所以放入一个半径为的小球后，再放一个球，
如下图，
要使球的表面积与容器表面积之比的最大，即球的半径最大，
所以只需球与球、圆锥都相切，其轴截面如上图，
此时，
所以球的表面积为，圆锥表面积为，
所以球的表面积与容器表面积之比的最大值为．
6.在中，已知，且满足，则的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
解：由题意得，
即，由正弦定理得，
即，则，
又因为，所以，
又，
所以，
故，因为，所以．
所以三角形为等边三角形．
7.已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，且曲线与在第一象限相交于点，为坐标原点若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：由题意，得，即，
设，
则，解得，
则，则，
因为点在双曲线上，则，即，
又，整理得，即，
解得或舍去，
故．
8.已知函数满足，则下列结论不正确的是( )
A.
B. 函数关于直线对称
C.
D. 的周期为
【答案】D
【解析】解：令，，则，解得，A正确；
令，则，
所以，即是偶函数，
所以，所以函数关于直线对称，B正确；
令，则，
令，则，所以，C正确；
令，则，
所以，
联立得，
所以，，即的周期为，D错误．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前天内，它们的变化规律如图所示均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型：
记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则( )
A. 体力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的
B. 第天时，智力曲线处于上升期、情绪曲线处于下降期
C. 智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点
D. 存在正整数，使得第天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点
【答案】BC
【解析】解：由图象可知智力最小正周期为天，情绪最小正周期为天，体力最小正周期是，
可得体力的最小正周期是三个曲线中最小的，错；
由图象，智力周期为天，情绪周期为天，相当于的起点，，相当于的中间点，B正确；
体力周期是，只要是，，的公倍数都是它们的公共点横坐标，C正确；
智力曲线处于最高点的天数为，
情绪曲线处于最高点的天数为，
体力曲线处于最高点的天数为，
只有情绪曲线是整数天处于最高点，
另外两个曲线处于最高点的天数都不是整数，
同样最低点也是如此，因此错．
10.对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，数列的前项和为，则
D. 若，，则
【答案】ABD
【解析】解：对于选项A，，
，故A选项正确；
对于选项B，，
，，故B选项正确；
对于选项C，，
，又时，，，故C选项错误；
对于选项D，，
，，，，
，，
，
则
，
，则，又时也成立，
，，
又，
，故D选项正确．
11.如图，在长方体中，，，为棱中点，为线段上一动点，下列结论正确的是( )
A. 线段长度的最小值为
B. 存在点，使
C. 存在点，使平面
D. 以为球心，为半径的球体被平面所截的截面面积为
【答案】AC
【解析】解：对于 ，如图，
因为，，
故当时，线段长度最小，
此时由等面积得，
解得，故A正确；
对于，如图，
将平面旋转至平面，使之与平面共面，
连接与交于点，此时为最小值，
，，
故，
由余弦定理得，
故，
因此不存在这样的点，使，故B错误；
对于，如图，
取，连接交于，
下证，
连接，由，可得，则得，
因为平面，因为平面，则，
因为，，平面，
故平面，
又平面，故A．
同理，，因为，，平面，
故A平面．
下证．
取线段的三等分点，，取的中点，连接，，，，
易证，，则得 ，得，
易得，因，，得 ，得，故得，
同理可得，因此，，，，五点共面，
由平面可得面．
所以存在这样的点使面，故C正确；
对于，如图，
以点为球心，为半径的球面被面所截的截面为圆形，
记其半径为，则，其中为点到平面的距离．
由，
可得，
则，代入，
得，
所以截面面积，故D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中的系数为________．
【答案】
解：因为的展开式的通项公式为
，
令，得，
令，得，
所以的展开式中项的系数为 ．
13.点为平面直角坐标系的原点，，点满足，点为圆：上一动点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】解：设，，点满足，
则，整理得到，
设该圆的圆心为，则，半径为，
而，圆的半径为，如图：，
故圆与圆相离，故的最小值为，
当且仅当，，，共线时且，在，之间时取最小值．
而的最小值为，当且仅当，，共线且在，之间时取最小值，
故的最小值为．
14.设函数，若曲线在点处的切线与抛物线有且仅有一个公共点，则的值为________．
【答案】
解：先求曲线的切线方程，因为，所以，
则曲线在点处的切线的斜率为，
用点斜式表示切线方程为：，
将抛物线与切线方程联立可得：
，，
去括号整理可得：．
计算方程的，
因为曲线的切线与抛物线只有一个交点，其成立的必要条件需满足，
所以，因为，所以等式两边同时除以结果仍成立，
故，，因为，所以，
则，
令，
，
显然在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以存在唯一零点，故．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求在处的切线方程
已知为整数，若在上单调递减，且在上单调递增，求．
【答案】解：的定义域为，．
当时，，，
所以，，
在处的切线方程为．
令．
由题意，当时，
当时，
只需，，，
解得：，
因为为整数，所以．
16.本小题分
甲、乙两位同学参加知识答题比赛，得分高者获胜已知共道试题，甲能答对其中的道题，乙答对每道题的概率为，每答对一题得分，答错不扣分两人商议后约定：甲随机选择其中的道题作答乙依次作答，且每答对一题继续答下一题，题目答错或者答完则结束答题设甲答题总得分为，乙答题总得分为．
求甲答题总得分的概率
求乙答题总得分的期望，并从期望角度说明甲、乙谁胜出参考数据：
【答案】解甲答题总得分的概率为；
设甲答对题目的个数为，则∽，
则，
所以
由题意可知，乙答题得分的取值范围为，
，，，，
，
记，
，
得
，
所以
，因为，
所以，，所以乙胜出．
17.本小题分
如图，中，，，、分别为，的中点，将沿着翻折到某个位置得到．
线段上是否存在点，使得，并说明理由；
当时，求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】解：法一：存在，且为的中点，下面给出证明：
如图，取中点，连接，，
因为、为、中点所以 ，
又、分别为，的中点，
所以 ，
所以 ，
所以四边形为平行四边形，
所以 ，
又 ，
所以 ；
法二：存在，且为中点，证明如下：
取中点，连接，
因为因为、、为、、中点所以 ， ，
又 ； ，
所以 ， ，
又 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ；
连接，则 ，
又 ， ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ， ，，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 两两垂直，
以为原点， 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
设平面的一个法向量为 ，
则
不妨令 ，则 ，所以 ，
设平面的一个法向量为
则 ，不妨令 ，则 ，
所以 ，
设平面与平面所成角的大小为 ，
则，
所以，平面 与平面 所成角的余弦值为 ．
18.本小题分
已知双曲线：，其左顶点，离心率．
求双曲线方程及渐近线方程；
过右焦点的直线与双曲线右支交于，两点，与渐近线分别交于点，，直线，分别与直线交于，．
求的取值范围；
求证：以为直径的圆过定点，并求出该定点．
【答案】解：因为双曲线的左顶点，离心率，
所以，
解得，，，
所以双曲线方程为，
其渐近线方程为，
即；
显然当过点的直线斜率不能为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
所以，
联立，
解得，
即，
联立，
解得，
即，
所以，
所以，因为，
所以则的取值范围为；
证明：因为，
所以，令，解得，
即，同理得．
根据图象的对称性可知以为直径的圆必经过轴上的一定点，设为，
此时，
所以，
因为，
，
所以，
此时方程为，解得或．
故以为直径的圆过定点和．
19.本小题分
已知点集，，，将中的元素按照一定顺序排成一列，可得到数对序列，，，定义：，，其中表示，中最大的数．
对于数对序列，，求，的值
有序实数对，可排成两个序列，和，，在，，，四个数中最小的数分别为和两种情况下，比较和的大小
若为奇数且，，，，证明：集合中存在两个非空子集，，满足，，中所有点的横坐标之和，中所有点的纵坐标之和．
【答案】解：对于，根据定义，这里，
所以．对于，根据定义，
已知，，，，
，， 所以．
对于序列，，
，
．对于序列，，
，．
当时，
，因为，且，
所以当时，
，
因为，且，
所以
综上所述，在，，，四个数中最小的数分别为和两种情况下，都有
不妨设，若，
因为中任意，所以存在为单元素集合，为的补集即可
若，因为，，所以一定存在正整数，
使得，
则有，
于是．
又因为
，
当且仅当时取等号．
于是取，，，
，，，
即可满足且，命题得证．
综上所述，存在两个非空子集，，满足题意
