2025届高三二轮复习 小题限时训练二 2025.1
限时：40分钟 总分：73分
一、单项选择题
1．[2024·湖北模拟]已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B.
C. D. 或
2．[2024·陕西西安模拟]已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．[2024·山东泰安模拟]已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
4．[2024·四川成都三模]函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
5．[2024·广东茂名模拟]如图，已知正六边形的边长为4，对称中心为，以为圆心作半径为2的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6．[2024·湖北武汉二模]灯笼起源于西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征团圆的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某个灯笼的轮廓由三部分组成（不考虑灯笼穗），上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面截下的部分，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高.球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则该灯笼的体积约为（取）（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
7．[2024·重庆涪陵模拟]过抛物线的焦点的直线交于,两点，交的准线于点，于点，若是线段的中点，且，则（ ）
A. 4 B. C. D.
8．[2024·湖南益阳模拟]已知的定义域为，是的导函数，且，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．[2024·山东日照二模]已知函数的部分图象如图所示，图中圆与的图象交于,两点，且在轴上，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数在上单调递减
C. 函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象关于直线对称
D. 若圆的半径为，则
10．[2024·福建厦门三模]如图1，将三棱锥型礼盒的打结点解开，其平面展开图为矩形，如图2，则在图1中（ ）
图1 图2
A. B.
C. 平面 D. 三棱锥的外接球的表面积为
11．[2024·安徽合肥三模]已知椭圆的两个焦点分别为,，则下列说法正确的有（ ）
A. 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B. 若上存在点，使得，则的取值范围为
C. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为
D. 若,为上一点，，则的最小值为
三、填空题
12．[2024·湖南长沙三模]已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为__.
13．[2024·安徽模拟]某小学四年级的某个班进行数学测试，男生测试成绩的平均值和方差分别为91和11，女生测试成绩的平均值和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试成绩的方差为____.
14．[2024·安徽蚌埠模拟]已知函数方程有五个不等实根，则实数的取值范围是____________；令，则的最小值为____________.2025届高三二轮复习 小题限时训练二 2025.1
限时：40分钟 总分：73分
一、单项选择题
1．[2024·湖北模拟]已知全集是实数集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】题图中阴影部分所表示的集合为.由，得或，所以或，则或，所以.
2．[2024·陕西西安模拟]已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】必要性：因为，所以，即，又是公差为的等差数列，所以.
充分性：当时，有，即，即.
故“”是“”的充要条件.
3．[2024·山东泰安模拟]已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】设，因为，所以，即，
所以，所以的最小值为.
4．[2024·四川成都三模]函数的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D选项.
当时，,，则，故选A.
5．[2024·广东茂名模拟]如图，已知正六边形的边长为4，对称中心为，以为圆心作半径为2的圆，点为圆上任意一点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，，设, ，依题意知，，，，
则，
由，得，所以，故的取值范围为.
6．[2024·湖北武汉二模]灯笼起源于西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征团圆的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某个灯笼的轮廓由三部分组成（不考虑灯笼穗），上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面截下的部分，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高.球缺的体积公式为，其中是球的半径，是球缺的高.已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则该灯笼的体积约为（取）（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】该灯笼去掉两个圆柱部分的高为，则，
又圆柱的底面圆直径为，所以，即，可得，则，故灯笼的体积.
7．[2024·重庆涪陵模拟]过抛物线的焦点的直线交于,两点，交的准线于点，于点，若是线段的中点，且，则（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】A
【解析】作于点，设与轴交于点，则，
又是的中点，所以，即，
又，故，
又，，，故，解得，则.
8．[2024·湖南益阳模拟]已知的定义域为，是的导函数，且，，则，，的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由，得，
构造函数，则，.
将代入，得.
构造函数，则，
易知当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，
又，所以，所以，所以当时，，函数单调递减.
易知，又，，所以，故.
二、多项选择题
9．[2024·山东日照二模]已知函数的部分图象如图所示，图中圆与的图象交于,两点，且在轴上，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数的最小正周期是
B. 函数在上单调递减
C. 函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象关于直线对称
D. 若圆的半径为，则
【答案】ACD
【解析】对于A，由对称性可知C点的横坐标为，
设的最小正周期为，则，解得 ，A正确；
对于B，因为，所以，由，可得点在函数的图象上，将其代入函数解析式得，故 ，，又 ，所以，故，
当时，，又，在上不单调，
故函数在上不单调递减，B错误；
对于C，函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
其中，故的图象关于直线对称，C正确；
对于D，连接（图略），若圆C的半径为，即，
又，故，解得，则点的坐标为，
将代入得，，解得，
则，D正确.故选.
10．[2024·福建厦门三模]如图1，将三棱锥型礼盒的打结点解开，其平面展开图为矩形，如图2，则在图1中（ ）
图1 图2
A.
B.
C. 平面
D. 三棱锥的外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，，所以，则，
在中，，，故，在中，,，所以，又，
所以，故,不垂直，故B错误；
对于C，因为，，，， 平面，
所以 平面，故C正确；
对于D，因为,，
所以三棱锥的三组对棱相等，可以将其放入长方体中，
设三棱锥的外接球半径为，则有，解得，所以外接球的表面积 ，故D正确.
故选.
11．[2024·安徽合肥三模]已知椭圆的两个焦点分别为,，则下列说法正确的有（ ）
A. 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B. 若上存在点，使得，则的取值范围为
C. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为
D. 若,为上一点，，则的最小值为
【答案】BD
【解析】对于A，由椭圆的定义可得的周长为，但焦点不一定在轴上，所以的值不确定，故A错误.
对于B，若，则，当与短轴端点重合时，最大，此时，可知，即,当时，由，解得；当时，由，解得，所以的取值范围为，故B正确.
对于C，因为直线过定点，所以，即，又，且，所以的取值范围为，故C错误.
对于D，若，即椭圆，
设，
可得，当时，，故D正确.故选.
三、填空题
12．[2024·湖南长沙三模]已知数列为正项等比数列，且，则的最小值为__.
【答案】12
【解析】由于数列为正项等比数列，所以，
因此，
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为12.
13．[2024·安徽模拟]某小学四年级的某个班进行数学测试，男生测试成绩的平均值和方差分别为91和11，女生测试成绩的平均值和方差分别为86和8，已知该班男生有30人，女生有20人，则该班本次数学测试成绩的方差为____.
【答案】15.8
【解析】设该班本次数学测试成绩的平均值为，方差为，
记男生测试成绩的平均值和方差分别为，，女生测试成绩的平均值和方差分别为，，该班男、女生人数分别为，，则，，，，，，
依题意得，
.
14．[2024·安徽蚌埠模拟]已知函数方程有五个不等实根，则实数的取值范围是____________；令，则的最小值为____________.
【答案】；
【解析】当时，，所以，
所以作出函数的图象，如图所示：
由方程有五个不等实根结合图象，可知.
因为当时，，所以，此时函数的图象关于直线对称，
同理可得，当时，函数的图象关于直线对称，
设，当时，令，解得，
所以，且,，
所以，
令,，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，即的最小值为.
