第十章 概率 单元测试卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设A表示事件“3件产品都不是次品”,B表示事件“3件产品全是次品”,C表示事件“3件产品中至少有1件次品”,则下列结论正确的是 ( )
A.B与C互斥
B.A与C互斥
C.A,B,C任意两个事件均互斥
D.A,B,C任意两个事件均不互斥
2.某班要安排语文、数学、历史、体育四节课,则体育课不排在第一节的概率为 ( )
A. B. C. D.
3.十二生肖作为中国民俗文化的代表,是中国传统文化的精髓,很多人把生肖作为春节的吉祥物,以此来表达对新年的祝福.某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型(如图1),并在十二个面上分别雕刻了十二生肖的图案,作为春节的吉祥物.2024年春节前,某兴趣小组的甲、乙两位成员将模型随机抛出,希望能抛出龙的图案朝上(即龙的图案在最上面),两人各抛一次,则恰好出现一次龙的图案朝上的概率为 ( )
图1
A. B. C. D.
4.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若每局中甲、乙两队获胜的概率相同,则甲队获得冠军的概率为 ( )
A. B. C. D.
5.某射击运动员射击一次命中目标的概率为p,且每次射击结果相互独立,已知他连续射击三次,至少有一次命中目标的概率为,则p为 ( )
A. B. C. D.
6.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )
A. B. C. D.
7.已知一位射箭运动员每次射箭命中的概率为0.8,现采用随机模拟的方法估计该射箭运动员三次射箭恰有两次命中的概率:先由计算机随机产生0到9之间取整数的随机数,指定1,2,3,4,5,6,7,8表示命中,9,0表示不命中,再以三个随机数为一组,代表三次射箭的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
807 966 191 925 271 932 812 458 569 683
489 257 394 127 552 488 732 113 537 741
根据以上数据,估计该运动员三次射箭恰好有两次命中的概率为 ( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
8.如图2,某系统由A,B两个零件组成,零件A中含1个元件,零件B中含2个元件,每个零件中的元件只要有一个能正常工作,该零件就能正常工作,两个零件都正常工作,该系统才能正常工作,每个元件能正常工作的概率都是,且各元件是否正常工作相互独立,则该系统能正常工作的概率为 ( )
图2
A. B. C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球,那么下列说法正确的是 ( )
A.至少有1个黑球与都是红球是对立事件
B.至少有1个黑球与都是黑球是互斥事件
C.至少有1个黑球与至少有1个红球是对立事件
D.恰有1个黑球与恰有2个黑球是互斥而不对立事件
10.已知甲罐中有四个相同的小球,标号为1,2,3,4;乙罐中有五个相同的小球,标号为1,2,3,5,6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”,事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”,则 ( )
A.事件A发生的概率为
B.事件A∪B发生的概率为
C.事件A∩B发生的概率为
D.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为
11.下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有 ( )
A.掷一枚质地均匀的骰子一次,事件M=“出现的点数为奇数”,事件N=“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个红球,5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件M=“第1次摸到红球”,事件N=“第2次摸到红球”
C.分别抛掷两枚相同的硬币,事件M=“第一枚正面朝上”,事件N=“两枚朝上情况相同”
D.一枚硬币抛掷两次,事件M=“第一次正面朝上”,事件N=“第二次反面朝上”
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.为了调查新疆阿克苏地区托木尔峰自然保护区内鹅喉羚的数量,调查人员逮到这种动物400只做过标记后放回.一个月后,调查人员再次逮到该种动物800只,其中做过标记的有2只,估算该保护区共有鹅喉羚 只.
13.若a,b∈{-1,1,2},则函数f(x)=ax2+2x+b有零点的概率为 .
14.两个袋中各装有写着数字0,1,2,3,4,5的6张卡片,若从每个袋中任意取一张卡片,则取出的两张卡片上数字之和等于8的概率为 ,数字之和大于8的概率为 .(本题第一空2分,第二空3分)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)如图3,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效,把这个电路是否为通路看成是一个随机现象,观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件:M=“恰好两个元件正常”;N=“电路是通路”;T=“电路是断路”.
图3
16.(15分)已知方程组其中a,b的值从集合{1,2,3,4,5,6}中随机取得.
(1)求该方程组无解的概率;
(2)求该方程组仅有一组解,且该解对应的点在第四象限的概率.
17.(15分)在一次猜灯谜活动中,共有20道灯谜,两名同学独立竞猜,甲同学猜对了15个,乙同学猜对了8个.假设猜对每道灯谜都是等可能的,设事件A为“任选一灯谜,甲猜对”,事件B为“任选一灯谜,乙猜对”.
(1)任选一道灯谜,记事件C为“恰有一个人猜对”,求事件C发生的概率;
(2)任选一道灯谜,记事件D为“甲、乙至少有一个人猜对”,求事件D发生的概率.
18.(17分)对一批产品的长度(单位:mm)进行抽样检测,检测结果的频率分布直方图如图4所示,根据标准,产品长度在区间[20,25)上的为一等品,在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品,在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品.
(1)用频率估计概率,现从这批产品中随机抽取一件,求其为二等品的概率;
(2)已知检测结果为一等品的有6件,现随机从三等品中有放回地连续取两次,每次取1件,求取出的两件产品中恰好有1件的长度在区间[30,35]上的概率.
图4
19.(17分)随着小汽车的普及,驾驶证已经成为现代人必考证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在每一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试,若5次都没有通过,则需要重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校通过几年的资料统计,得到如下结论:男性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为,女性学员参加科目二考试,每次通过的概率均为.现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.
(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;
(2)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率.
第十章 概率 单元测试卷 参考答案
1.B 由题意得事件A与事件B不可能同时发生,是互斥事件;事件A与事件C不可能同时发生,是互斥事件;当事件B发生时,事件C一定发生,所以事件B与事件C不是互斥事件.
2.D 不考虑语文、数学、历史排在第几节,只考虑体育的排法,体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节,共4种情况,因此体育课不排在第一节的概率为.
3.B 抛出一次,恰好出现龙的图案朝上的概率为,出现其他图案朝上的概率为,由于甲、乙抛掷模型的结果相互独立,故所求概率为×+×= .
4.A 若甲队获得冠军,则可分为两种情况:
(1)只比赛一局,甲赢,其概率为P1=;
(2)需比赛两局,第一局甲负,第二局甲赢,其概率为P2=×=.
故甲队获得冠军的概率为P1+P2=.
5.A 因为射击一次命中目标的概率为p,所以射击一次未命中目标的概率为1-p,又每次射击结果相互独立,所以三次都未命中目标的概率为(1-p)3.因为“连续射击三次,至少有一次命中目标”的对立事件为“三次都未命中目标”,所以“连续射击三次,至少有一次命中目标”的概率为1-(1-p)3=,解得p=.
6.A 记3个兴趣小组分别为1,2,3,如甲参加1组记为“甲1”,则样本空间为{(甲1,乙1),(甲1,乙2),(甲1,乙3),(甲2,乙1),(甲2,乙2),(甲2,乙3),(甲3,乙1),(甲3,乙2),(甲3,乙3)},共9个样本点.记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”,则事件A包含(甲1,乙1),(甲2,
乙2),(甲3,乙3),共3个样本点.因此P(A)==.
7.C 根据题中数据,该运动员三次射箭恰好有两次命中的有807,966,191,925,932,569,489,394,共8次.所以估计该运动员三次射箭恰好有两次命中的概率为=0.4.
8.B 零件B不能正常工作的概率是(1-)2=,所以零件B能正常工作的概率是1-=,零件A能正常工作的概率为,该系统能正常工作的概率为×=.
9.AD A中的两个事件是对立事件,A正确.
B中的两个事件是包含关系,不是互斥事件,B不正确.
C中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件,不是互斥事件,更不是对立事件,C不正确.
D中是互斥而不对立的两个事件,D正确.
10.BC 由题意知从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,样本点总数为4×5=20,且每一个样本点出现的可能性都相等(此处不再一一罗列).
对于A,事件A包含的样本点有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共11个,∴P(A)=,故A错误;
对于B,事件A∪B包含的样本点有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共11个,∴P(A∪B)=,故B正确;
对于C,事件A∩B包含的样本点有(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,3),(4,5),(4,6),共8个,∴P(A∩B)==,故C正确;
对于D,从甲罐中抽到标号为2的小球包含的样本点有(2,1),(2,2),(2,3),(2,5),(2,6),共5个,故对应概率为=,故D错误.
11.CD 对于A,事件MN=“出现的点数为奇数且为偶数”,
所以P(MN)=0,又P(M)=P(N)=,所以P(MN)≠P(M)·P(N),所以M,N不相互独立,A不满足;
对于B,由题意可知,事件M的发生影响事件N的发生,故M,N不相互独立,B不满足;
对于C,事件MN=“两枚硬币都正面朝上”,
则P(MN)=,因为P(M)=,P(N)==,则P(MN)=P(M)·P(N),所以M,N相互独立,C满足;
对于D,第一次正面朝上对第二次的结果不影响,因此M,N相互独立,D满足.
故选CD.
12.160 000 设保护区内共有鹅喉羚x只,每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的,所以≈,解得x≈160 000.
故估计该保护区共有鹅喉羚160 000只.
13. 样本空间Ω={(1,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(-1,2),(2,-1),(1,2),(2,1),(2,2)},样本点个数为9.
∵函数f(x)=ax2+2x+b有零点,∴Δ=4-4ab≥0,
∴ab≤1,
∴函数f(x)=ax2+2x+b有零点包含的样本点有6个,分别为:
(1,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(-1,2),(2,-1),
∴函数f(x)=ax2+2x+b有零点的概率为=.
14. 从每个袋中任意取一张卡片,共有6×6=36个等可能出现的样本点.
记A为事件“和等于8”,其包含(3,5),(4,4),(5,3),共3个样本点,所以P(A)==;
记B为事件“和等于9”,包含(4,5),(5,4),共2个样本点,所以P(B)==;
记C为事件“和等于10”,包含(5,5),共1个样本点,所以P(C)=.
又B与C彼此互斥,故取出的两张卡片上数字之和大于8的概率为P(B)+P(C)=+=.
15.分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态,则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示,用1表示元件的“正常”状态,用0表示“失效”状态.
(1)则样本空间Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)};
(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有两个为1,
所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.
“电路是通路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一个是1,
所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}.
同理,“电路是断路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=0,或x1=1且x2=x3=0.
所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}.
16.(1)点(a,b)的所有可能出现的结果共有6×6=36(个),记事件A为“方程组无解”,则方程ax+by=2与方程x+3y=1应满足=≠,即b=3a,b≠6,a≠2,其中满足该条件的点有(1,3),共1个,所以P(A)=.
(2)记事件B为“该方程组仅有一组解,且该解对应的点在第四象限”,
由解得
又该解对应的点在第四象限,所以
所以或解得或
得点(1,1),(1,2)均满足b≠3a,
所以事件B的样本点个数为2,所以P(B)==.
17.(1)由题意得P(A)==,P(B)==,
则事件C发生的概率P(C)=P(A)+P(B)=×+×=.
(2)甲、乙至少有一个人猜对的对立事件是=“甲、乙均没有猜对”,则事件D发生的概率P(D)=1-[1-P(A)]·[1-P(B)]=1-(1-)(1-)=.
18.(1)由频率分布直方图可得产品数量在[10,15)上的频率为0.1,在[15,20)上的频率为0.2,在[20,25)上的频率为0.3,在[30,35]上的频率为0.15,
∴在[25,30)上的频率为1-0.1-0.2-0.3-0.15=0.25,
∴样本中二等品的频率为0.2+0.25=0.45,
∴在该批产品中随机抽取一件,估计其为二等品的概率为0.45.
(2)∵一等品有6件,则样本共有6÷0.3=20(件),
∴在[10,15)上有20×0.1=2(件),在[30,35]上有20×0.15=3(件),
将在[10,15)上的2件记为a1,a2,在[30,35]上的3件记为b1,b2,b3,
所有可能的结果组成的样本空间Ω={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1),
(b1,b2),(b1,b3),(b2,a1),(b2,a2),(b2,b1),(b2,b2),(b2,b3),(b3,a1),(b3,a2),(b3,b1),(b3,b2),(b3,b3)},共25个样本点.
恰有1件的长度在区间[30,35]上的样本点有12个 .
∴取出的两件产品中恰有1件的长度在区间[30,35]上的概率P=.
19.(1)用M表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”,Ai表示“丈夫在第i次参加科目二考试中通过”,Bi表示“妻子在第i次参加科目二考试中通过”,
则P(M)=P(A1B1)+P(B1A2)+P(A1B2)+P(A2B2)=×+××+××+×××=.
(2)用N表示“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”.
D表示“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”,E表示“妻子参加科目二考试需交补考费200元”,F表示“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”,G表示“妻子参加科目二考试不需要交补考费”,
则P(D)=P(A3)=××=,
P(E)=P(B3)=××=,
P(F)=+×=,P(G)=+×=,
所以P(N)=P(D)P(G)+P(E)P(F)=×+×=.
