2024学年第一学期期末教学质量检测
高一数学
本试卷共 4页，19小题，满分 150分．考试用时 120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡第 1 面、第 3 面和第 5 面上用黑色字迹的钢笔或签字笔
填写学校、班级、姓名、试室号和座位号，将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码
粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息
号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅
笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1. 已知集合A = {x | x >1}，B = {y | 1≤ y ≤ 3}，则A ∩ B=
A． (1，3] B． C．[ 1，3) D．[ 1，1]
2. 命题“ x ∈ R, x2 2x +1≤ 0”的否定为
A． x ∈ R, x2 2x +1 ≤ 0 B． x ∈ R, x2 2x +1 > 0
C． x ∈ R, x2 2x +1≥ 0 D． x ∈ R, x2 2x +1 > 0
3. 已知a > b > 0， c < 0，则
a b c c a b c a a c
A． > B． < C． < D． >
c c a b b a c b b c
o
4. 1 tan15 =
1+ tan15o
A． 3 B 3． C．1 D．3
3
5. 已知 tanα = 2，则sin 2α =
4 2 4 4
A． B． C． D．±
5 5 5 5
6. 已知 p : 1 sin 2x = sin x cos x ,q :角 x为第二象限角，则 p是 q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
高一数学 第 1页 （共 4页）
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7. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血
液中酒精含量达到20 ~ 79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设
某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2 mg / mL .如果在停止喝酒
以后，他血液中酒精含量会以每小时19%的速度减少，那么他至少经过（ ）小时才能
驾驶.（参考数据： lg 2 ≈ 0.301， lg3 ≈ 0.477）
A．7 B．8 C．9 D．10
8. 已知函数 f ( x) = ln ( 9x2 +1 3x) ，设a = f 1 1 1 ，b = f sin ，c = f cos ，则
2 2 2
A． a > b > c B．b > a > c C．c > a > b D．c > b > a
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9. 已知α∈ (0，π)，sin α + cosα = m，则
A．若m = 1，则 cosα = 0
1
B．若m = ，则 cos 3α =
5 5
m 1C．若 = 7，则 sinα cosα =
2 2
D．m ∈ ( 2, 2)
1
10. 已知函数 f (x) = sin( x π+ )，则
2 3
A． x ∈ R， f (x + 2π ) = f (x)
f (x) [ 5π , πB． 在 ]上单调递增
3 3
f (x) 1 πC． > 的解集是（2kπ ,2kπ + π）， k ∈ Z
2 3
2π
D．曲线 y = f (x)的对称中心为（2kπ ，0）， k ∈ Z
3
11. “二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为 f (x, y) .已知关于实数 x，y的
二元函数 f (x, y) = (x +1)y，则
A． f (1,5) = f (5,1)
B． x > 0, y > 0, f (x, y) f (
1 , 1 ) ≥ 4
x y
3 5
C． x ∈ R， f (2x, x a) ≥ a 2，则实数a的取值范围是[ , ]
2 2
D． x ≥ 2， f (2x, x a) ≤ a 2，则实数a的取值范围是[3,+∞)
高一数学 第 2页 （共 4页）
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
1
12. 3 ( 8)2 1
求值： 2( )0 = 25 ； ( ) 2 lg 5 100 = .
3 9
x 1, x ≤ k ,
13. 若函数 f (x
) = 2 在R上是增函数，则实数 k的取值范围是 .
x x, x > k.
14. 方程sin x = cos 2x在[0,3π]上的实数解之和为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）
已知角α 的终边过点P( 3，4) .
cos(α + 3π) + sin(π + α)
（1）求 2 2 的值；
sin(2π α) cos(π α)
π
（2）若角α 的终边按逆时针方向旋转 得到角β ，求cos(α + β ) .
4
16.（15分）
已知函数 f (x) = x2 + bx 3，且满足 f (x) = f (2 x)
（1）求b的值；
（2）求函数 y = f (log2 x)的零点；
（3）解关于 x的不等式 f (x) > ax 2a 3 (a ∈ R) .
高一数学 第 3页 （共 4页）
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17. （15分）
某地区上年度电价为0.8元/（kW h），年用电量为a kW h，本年度计划将电价下
降到0.55元/（kW h）至0.7元/（kW h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW h）.
经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）.
该地区的电力成本价为0.3元/（ kW h）.
（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益 y（单价：元）关于实际电价 x（单位：
元/（kW h））的函数解析式；（收益=实际电量×（实际电价-成本价））
（2）设k = 0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%
18. （17分）
f (x) 2
x 4
已知函数 = 的图象过点 (2, ) .
2x 1 + a 3
（1）求a的值,判断函数 f (x)的单调性并根据定义证明；
（2）证明： f (x)的图象关于点 (1，1)对称；
（3）任取 x1, x2 ∈ R，且 x + x > 2，恒有 f (x ) + f (x ) m21 2 1 2 + m > 0成立，求实数
m的取值范围.
19. （17分）
若一个集合含有n个元素 (n ≥ 2,n ∈ N)，且这n个元素之和等于这n个元素之积，
则称该集合为n元“完美集”.
（1）写出一个 2元“完美集”（无需写出求解过程）；
（2）求证：对任意一个 2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于 4；
（3） 记 | A |为集合 A中元素的个数.若集合 A是元素均为正整数的“完美集”，求 | A |
的最大值.
高一数学 第 4页 （共 4页）
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2024学年第一学期期末教学质量检测
高一数学参考答案及评分细则
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
题目 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 A B D B A B C C
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分选对得部分分。
题目 9 10 11
选项 ABC BD BCD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
1 1 15
（12）2, , （13）[ , ) ,5 2 （14） .2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（13分）
（1）由已知角 的终边过点P( 3，4)，
则有 cosα 3 sin α 4 ， ……………………………………………………...……2分
5 5
cos( 3 ) sin( )
2 2 sin cos ………………………………….…...…6分
sin(2 ) cos( ) sin cos
（诱导公式化简正确一个得 1分）
1
代入得，原式 - ………………………………………………………………..……7分
7
（2）解法一：由已知得 β α ,
4
cos cos( ) 2 (cos sin ) 7 2 , ………………………………9分
4 2 10
sin sin( ) 2 (sin cos ) 2 , …………………………………11分
4 2 10
co（s ） cos cos sin sin 17 2 .…………………………………13分
50
解法二：由已知得 β α ,
4
1
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sin 2 2sin cos 24 ，………………………………………………………9分
25
cos 2 cos2 sin 2 7 ，…………………………………………….……11分
25
cos cos 2 2 cos 2 sin 2 17 2（ ） （ ） （ ） .…………………13分
4 2 50
（16）（15分）
（1）解法一：由已知得函数 f (x)关于直线 x 1对称， …………………………1分
b
1，得b 2 ……………………………………………………………...……3分
2
2
解法二： 由已知得 2 x b 2 x 3 x2 bx 3，…………………………1分
化简 2b 4 x 2b 4 ，所以b 2 .……………………………………...……3分
（2） x 0由 f (x) x2 2x 3，
则 f (log2 x) (log2 x)
2 2(log2 x) 3 (log2 x 1)(log2 x 3)……………....…5分
由 f (log2 x) 0， log2 x -1或 log2 x 3………………………………………7分
解得 x 1 或x 8……………………………………………………………………9分
2
（3）原不等式等价于 x2 2x 3 ax 2a 3， x2 (2 a)x 2a 0
即 (x a)(x 2) 0……………………………………………………………………10分
其对应的函数图像为开口向上的抛物线，与 x轴交点的横坐标为 a和2，.………11分
若 a 2，此时不等式的解集为{x x a}……………………………………………12分
若 a 2，此一元二次不等式的解集为{x x a或x 2} .……………….…………13分
若 a 2，此一元二次不等式的解集为{x x 2或x a}，………………..………14分
综上知，当 a 2时，原不等式的解集为{x x a}；当 a 2时，原不等式的解集为
{x x a或x 2}；当 a 2时，原不等式的解集为{x x 2或x a} .……………..…15分
（17）（15分）
（1）由题意得，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，则
k
设比例系数为 k，下调电价后的新增用电量为 ，………………………...………2分
x 0.4
k
实际使用电量为 a，且 0.55 x 0.7…………………………...…………4分
x 0.4
k
故有 y ( a)(x 0.3)，（0.55 x 0.7）， …………………...…………6分
x 0.4
0.2a
（3）设 k 0.2a，则 y ( a)(x 0.3)， ………………………...………7分
x 0.4
2
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收益比上年增长 20%得[a(0.8 0.3)] (1 0.2)，……………………………...……8分
( 0.2a由题意知 a)(x 0.3) [a(0.8 0.3)] (1 0.2)，………………..……10分
x 0.4
整理化简得 x2 1.1x 0.3 0，…………………………………………….………12分
解得 x 0.5,或x 0.6，…………………………………………………………..…13分
又0.55 x 0.7，解得0.6 x 0.7， ………………………………………..…14分
综上知，当电价最低定为0.6元/（ kW h）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少
增长 20%. ………………………………………………………………………………...…15分
（18）（17分）
1 f (2 4 2
x 4
（ ）由题意 ） ，所以 ，…………………………………….…1分
3 2x 1 a 3
解得 a 1，.………………………………………………………………………….…2分
判断 f (x)在 x R上为单调增函数......…………………………………………….…3分
x
任取 x1，x2 R,设x1 x2，由 f (x)
2 2
2x 1
2
1 2x 1 1
2 2 2(2x2 1 2x1 1 x2 x1f (x2 ) f (x1)
) 2 2
2x1 1
1 2x2 1
x 1 x 1 1 (2 1 1)(2 2 1) (2x1 1 1)(2x2 1 1)
……………………………………………………………………………………………5分
x1 x2， 2
x2 2x1，f (x2 ) f (x1) 0，
所以 f (x)在 x R上为单调增函数...…………………………………………………6分
2x 2 (2x 12 f (x) 1) 2 2（ ） ( 1) 1，..…………………7分
2x 1 1 2x 1 1 2x 1 1
x
g(x) 2 1 2 1记 ，..………………………………………………………8分
2x 1 2x 1
2x 1 1 2x
则对任意的 x R，恒有 g(x) g( x) 0 ...…………………………9分
2x 1 2x 1
即函数 g(x)为奇函数, ...………………………………………………………………10分
从而可得 f (x) g(x 1) 1图像关于点（1,1）对称;……………………………...…11分
2x 22 x 2x 22 x 2xf (x) f (2 x) 2 2
（也可由 2x 1 1 21 x 1 2x 1 1 1 2x 1 1 等价给分）
x 1 12
2x
（3）由于 f (x) 为定义在x 1 R内的单调递增函数，当 x1 x2 2时，x1 2 x22 1
则 f (x1) f (2 x2 ) ...….….….….…………………………………………………………12分
又 f (x)图像关于点（1,1）对称， f (x) f (2 x) 2，…………………………………13分
故 f (x1) f (x2 ) f (2 x2 ) f (x2 ) 2…………………………………………...15分
3
{#{QQABJYQo5ggwkAaACb4KQU1UCkgQkJAiJagEgQAeuAxiyIFIBIA=}#}
则 f (x 21) f (x2 ) m m 0恒成立，有 2 m
2 m恒成立，………………….16分
所以m [ 1,2] . ………………………………………………………………………17分
（19）（17分）
（1）设一个 2元“完美集”为 x, y （ x y），则 x y xy，
3 3 9 3
由于 3 3 ，所以一个 2元“完美集”可为 ,3 （答案不唯一）.2 2 2 2
..……………………………………………………………………………………………3分
（2）由已知，2元“完美集” x, y （ x y）满足 x y xy，
若 x 0, y 0，则 xy 2 xy即 xy xy 2 0，……………………………………5分
故 xy 0（舍去）或 xy 2……………………………………………………………6分
即 xy 4，…………………………………………………………………………………7分
所以对任意一个 2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于 4.
...……………………………………………………………………………………………8分
（3）设3元“完美集”为 x, y, z ，其中 x, y, z都是正整数，且两两不相等，
根据集合中元素的互异性和无序性，不妨设 x y z，由“完美集”可得 x y z xyz，
因为1 2 3 1 2 3，所以存在元素均为正整数的3元“完美集”.…………….…………9分
设 x 1，则1 y z，由 x y z xyz，则有1 y z yz，整理得 y 1 z 1 2，
y 1 1 y 2
由于1
y z且 y, z都是正整数，所以 z 1 2，所以 ，
z 3
此时3元“完美集”为 1,2,3 .因此存在3元“完美集” 1,2,3 ....………………..………11分
假设存在满足条件的 n(n 4)元“完美集”，
不妨设为 a1,a2 ,a3 , an (ai N , i 1，2,3 n,且a1 a2 a3 an )，
……………………………………………………………………….……………………12分
则由已知 a1 a2 a3 an a1 a2 a3 an nan ，
故 a1 a2 a3 an 1 n，也即a1 a2 a3 an 1 n 1，………………………13分
又因 a1 a2 a3 an 1 1 2 3 4 5 (n 1)，…………...…………….……14分
且1 2 3 (n 1) a1 a2 a3 an 1 n 1，
当 n 4时，显然有
1 2 3 4 5 (n 1) (n 1),也即1 2 3 4 5 (n 2) 1，
因此不存在 n(n 4)元的“完美集”....…………………………………………….……16分
综上所述， | A |的最大值为 3..……………………………...…………………….……17分
4
{#{QQABJYQo5ggwkAaACb4KQU1UCkgQkJAiJagEgQAeuAxiyIFIBIA=}#}
