2025届高三二轮复习 中档题定时训练集锦二 2025.1
中档题训练1 40分钟 总分：58分
1．记的内角，，的对边分别为,,，已知.
（1） 证明：；
（2） 若角的平分线交于点，且，，求的面积.
2．[2024·湖南衡阳模拟]已知双曲线与椭圆共焦点，为坐标原点，点，分别是以椭圆的半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限内的交点，点满足.
（1） 求双曲线的离心率；
（2） 求的面积.
3．[2024·山东青岛三模]为了研究高三年级的学生的身高是否低于和性别的关联性，某组织随机调查了某中学部分高三年级的学生的身高情况，整理得到如下列联表:
单位：人
性别 身高 合计
低于 不低于
女 14 5 19
男 8 10 18
合计 22 15 37
（1） 依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级的学生的身高与性别有关联
（2） 从身高不低于的15 名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为，求的分布列及期望；
（3） 若身高低于的8名男生的身高数据的平均数为，方差为，身高不低于的10名男生的身高数据的平均数为，方差为，请估计该中学男生的身高数据的平均数和方差.
附:，.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
4．[2024·安徽三模]如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面是矩形，平面 平面,,分别为线段,的中点，点在线段上（不与端点重合）.
（1） 若，求证：,,,四点共面；
（2） 若，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
中档题训练2 40分钟 总分：58分
1．[2024·河北二模]已知中，角,,的对边分别为,,,的面积为,.
（1） 若,为等腰三角形，求它的周长；
（2） 若，求,.
2．已知数列的前项和满足，且.
（1） 求的通项公式；
（2） 若，求数列的前项和.
3．如图①，已知正方形的边长为4，，分别为，的中点，将正方形沿翻折，形成的二面角的大小为 ，点在线段（包含端点）上运动，如图②.
（1） 若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并说明理由；
（2） 若，求直线与平面所成角的大小.
4．[2024·广东茂名模拟]已知函数.
（1） 求曲线在点处的切线方程；
（2） 当时，恒成立，求的取值范围.
中档题训练3 40分钟 总分：58分
1．[2024·江西九江三模]车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得轿车行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，如下表所示：
行驶里程万千米 0.0 0.4 1.0 1.6 2.4 2.8 3.4 4.4
轮胎凹槽深度 8.0 7.8 7.2 6.2 5.6 4.8 4.4 4.0
（1） 求该品牌轮胎凹槽深度与行驶里程的样本相关系数，并判断二者之间是否具有很强的线性相关性（结果保留两位有效数字）；
（2） 根据我国国家标准规定：轿车轮胎凹槽安全深度为（当凹槽深度低于时刹车距离增大，驾驶风险增加，必须更换新轮胎），某人在保养小轿车时将其轮胎全部更换成了该品牌的新轮胎，请问在正常行驶的情况下，继续行驶约多少万千米后需再次更换轮胎？
参考数据：,,.
2．已知是数列的前项和，，______.
，；②数列为等差数列，且的前3项和为6.从上述两个条件中任选一个补充在横线处，并解答下列问题.
（1） 求的通项公式；
（2） 设，求数列的前16项和.
3．[2024·陕西渭南二模]已知函数，.
（1） 求函数的单调区间；
（2） 若当时，恒成立，求实数的取值范围.
4．如图，已知三棱柱的棱长均为2， ，.
（1） 证明：平面 平面；
（2） 设为侧棱上的点，若平面与平面夹角的余弦值为，求点到直线的距离.2025届高三二轮复习 中档题定时训练集锦二 2025.1
中档题训练1 40分钟 总分：58分
1．记的内角，，的对边分别为,,，已知.
（1） 证明：；
（2） 若角的平分线交于点，且，，求的面积.
【解析】
（1） 证明：由，得,又，，，，即，.
（2） 由角平分线定理可得，,,又,，，在中，由余弦定理的推论得，则，在中，由余弦定理得，解得（负值舍去）,，.
2．[2024·湖南衡阳模拟]已知双曲线与椭圆共焦点，为坐标原点，点，分别是以椭圆的半焦距为半径的圆与双曲线的渐近线在第一、二象限内的交点，点满足.
（1） 求双曲线的离心率；
（2） 求的面积.
【解析】
（1） 易知椭圆的焦点坐标为， 双曲线的焦点坐标为，圆的方程为.联立得，又，所以.由题意知，，分别位于第一、二象限，，，，,，，，，化简整理得，又，故，. 双曲线的方程为，其离心率.
（2） 由（1）知，，，，.
3．[2024·山东青岛三模]为了研究高三年级的学生的身高是否低于和性别的关联性，某组织随机调查了某中学部分高三年级的学生的身高情况，整理得到如下列联表:
单位：人
性别 身高 合计
低于 不低于
女 14 5 19
男 8 10 18
合计 22 15 37
（1） 依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级的学生的身高与性别有关联
（2） 从身高不低于的15 名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为，求的分布列及期望；
（3） 若身高低于的8名男生的身高数据的平均数为，方差为，身高不低于的10名男生的身高数据的平均数为，方差为，请估计该中学男生的身高数据的平均数和方差.
附:，.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解析】
（1） 零假设为该中学高三年级的学生的身高与性别无关联.，根据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即认为该中学高三年级的学生的身高与性别有关联.
（2） 随机变量的可能取值为0,1,2,3，可得，，，，所以随机变量的分布列为
0 1 2 3
.
（3） 设18名男生的身高数据的平均数为，则.设18名男生的身高数据的方差为，则 ，所以该中学男生的身高数据的平均数为174，方差为59.
4．[2024·安徽三模]如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面是矩形，平面 平面,,分别为线段,的中点，点在线段上（不与端点重合）.
（1） 若，求证：,,,四点共面；
（2） 若，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【解析】
（1） 证明：连接，.因为，所以,,,四点共面.
（2） 因为,是的中点，所以，又平面 平面，平面 平面， 平面，所以 平面.取的中点，连接，易知,,两两垂直，如图，以为坐标原点，分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系，则,,,,，故,，，.设平面的法向量为，则不妨令，则.设，则,,.设直线与平面所成的角为 ，则,，解得或，则或.故存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时或2.
中档题训练2 40分钟 总分：58分
1．[2024·河北二模]已知中，角,,的对边分别为,,,的面积为,.
（1） 若,为等腰三角形，求它的周长；
（2） 若，求,.
【解析】
（1） 由为等腰三角形及，得，由余弦定理的推论得，则，于是，解得（负值舍去）,所以，所以的周长为20.
（2） 在中，，当角不为钝角时，，由余弦定理得，所以，由正弦定理，得，所以，；当角为钝角时，，由余弦定理得，所以，由正弦定理，得，所以,.综上所述，当角不为钝角时，，；当角为钝角时，，.
2．已知数列的前项和满足，且.
（1） 求的通项公式；
（2） 若，求数列的前项和.
【解析】
（1） ，当时，，所以，即，所以，所以，即是常数列，又，所以，则.
（2） .当为偶数时， ；当为奇数时， .综上可得，
3．如图①，已知正方形的边长为4，，分别为，的中点，将正方形沿翻折，形成的二面角的大小为 ，点在线段（包含端点）上运动，如图②.
（1） 若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并说明理由；
（2） 若，求直线与平面所成角的大小.
【解析】
（1） 因为 平面，所以点在平面内，又点也在平面内，所以点在平面与平面的交线即直线上，分别延长，，交点即为所求的点，连接，如图所示.因为，为的中点，所以，所以，故点在的延长线上，且与点之间的距离为2.
（2） 由已知可得，，.又，， 平面，所以 平面，且 ，因为 平面，所以平面 平面，因为 ，，所以为等边三角形，取的中点，连接，则，又平面 平面，平面 平面， 平面，所以 平面，过点作，交于点,则,,两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则即不妨取，则，，所以，设直线与平面所成的角为 ，则,，所以直线与平面所成的角为 .
4．[2024·广东茂名模拟]已知函数.
（1） 求曲线在点处的切线方程；
（2） 当时，恒成立，求的取值范围.
【解析】
（1） 因为，所以切点的坐标为，又，所以切线的斜率为，故切线方程为.
（2） 即，令，，恒成立，即恒成立，，当时，，函数在上单调递减，，不符合题意；当时，由，得，当时，，函数单调递减，即当时，，不符合题意；当时，，因为，所以，则，所以函数在上单调递增，故，符合题意.综上，的取值范围为.
中档题训练3 40分钟 总分：58分
1．[2024·江西九江三模]车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得轿车行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，如下表所示：
行驶里程万千米 0.0 0.4 1.0 1.6 2.4 2.8 3.4 4.4
轮胎凹槽深度 8.0 7.8 7.2 6.2 5.6 4.8 4.4 4.0
（1） 求该品牌轮胎凹槽深度与行驶里程的样本相关系数，并判断二者之间是否具有很强的线性相关性（结果保留两位有效数字）；
（2） 根据我国国家标准规定：轿车轮胎凹槽安全深度为（当凹槽深度低于时刹车距离增大，驾驶风险增加，必须更换新轮胎），某人在保养小轿车时将其轮胎全部更换成了该品牌的新轮胎，请问在正常行驶的情况下，继续行驶约多少万千米后需再次更换轮胎？
参考数据：,,.
【解析】
（1） 由题表得，，则 ， 该品牌轮胎凹槽深度与行驶里程之间具有很强的线性相关性.
（2） 设轮胎凹槽深度与行驶里程的经验回归方程为，则，，.令，得，即更换新轮胎后继续行驶约6.4万千米后需再次更换轮胎.
2．已知是数列的前项和，，______.
，；②数列为等差数列，且的前3项和为6.从上述两个条件中任选一个补充在横线处，并解答下列问题.
（1） 求的通项公式；
（2） 设，求数列的前16项和.
【解析】
（1） 若选条件①：，，则，两式作差得，即数列，均是公差为4的等差数列，又因为，所以，又，所以，于是，所以.若选条件②：因为数列为等差数列，且的前3项和为6，所以，则，因为，所以，所以的公差为，所以，则.当时，，又满足上式，所以对任意的，.
（2） 由（1）得，则，所以，所以.
3．[2024·陕西渭南二模]已知函数，.
（1） 求函数的单调区间；
（2） 若当时，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】
（1） 函数的定义域为，，当且仅当时取等号，即在上单调递减，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.
（2） 当时，，令,，则，当时，；当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，，则当时，，令，依题意，，恒成立，令,，则，则函数在上单调递增，，因此，所以实数的取值范围为.
4．如图，已知三棱柱的棱长均为2， ，.
（1） 证明：平面 平面；
（2） 设为侧棱上的点，若平面与平面夹角的余弦值为，求点到直线的距离.
【解析】
（1） 证明：取的中点，连接，，.因为 ，,所以为等边三角形.又因为为的中点，所以,.由题意可知，是边长为2的等边三角形，所以.由，可得，所以.又，, 平面,所以 平面,因为 平面，所以平面 平面.
（2） 由（1）知,,两两垂直，故以为坐标原点，,，所在直线分别为轴,轴,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则,,,,,所以,,,设,可得，所以,设平面的法向量为,则即不妨取,则,，所以.易知为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为 ，则 ,解得舍去，所以,则,所以点到直线的距离为.
