2025届高三二轮复习 小题限时训练三 2025.1
限时：40分钟 总分：73分
一、单项选择题
1．[2024·湖北二模]设，，是不同的直线，，在平面 内，则“且”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2．[2024·山东临沂二模]已知为虚数单位，，则（ ）
A. B. C. D.
3．[2024·河北二模]已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4．[2024·河南三模]已知向量，向量在上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
5．[2024·河北模拟]已知点,为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
6．[2024·黑龙江哈尔滨三模]已知的内角,,的对边分别为,,，且,边上的中线的长为1，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7．[2024·浙江上杭金湖四校高三联考]已知函数,的零点分别为 , ，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．[2024·重庆三模]如图，已知圆柱的一个斜截面是椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的一个轴截面的对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆的离心率为，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
二、多项选择题
9．[2024·辽宁二模]下图为某市2024年第一季度全市居民人均消费支出构成图.已知城镇居民人均消费支出7 924元，同比增长，农村居民人均消费支出4 388元，同比增长，则（ ）
A. 2024年第一季度该市居民人均消费支出6 393元
B. 居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和超过了总人均消费支出的
C. 城乡居民人均消费支出的差额与上一年相比在缩小
D. 医疗保健与教育文化娱乐两项的人均消费支出总和约占总人均消费支出的
10．[2024·黑龙江吉林二模]已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
11．我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为 和一样，都是无理数， 还被称为指数函数中的“黄金比例”.下列有关 的结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 函数的最小值为
三、填空题
12．[2024·辽宁沈阳二模]已知函数则__________.
13．[2024·浙江金华三模]已知四棱锥的底面为正方形， 平面，且，，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，，，则直线与平面所成角的取值范围为____________.
14．[2024·山东临沂二模]根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数满足：对于任意的，的样本在的样本里的数量占比与的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于，即，则____________，设，的前项和为，则______________________.2025届高三二轮复习 小题限时训练三 2025.1
限时：40分钟 总分：73分
一、单项选择题
1．[2024·湖北二模]设，，是不同的直线，，在平面 内，则“且”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若且，当时，直线可以与平面 平行，故充分性不成立；
若 ，，是平面 内两条不同的直线，则，，故必要性成立，
所以“且”是“ ”的必要不充分条件.
2．[2024·山东临沂二模]已知为虚数单位，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，则，故.
3．[2024·河北二模]已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，即，解得，所以，由，解得或，所以或.
若，则解得，即实数的取值范围是.
4．[2024·河南三模]已知向量，向量在上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】由向量，可得，由向量在上的投影向量为，解得.故选A.
5．[2024·河北模拟]已知点,为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两条渐近线分别交于，两点，则的面积为（ ）
A. B. 4 C. D. 8
【答案】B
【解析】设等轴双曲线，由，得，所以双曲线C的方程为，则双曲线C的渐近线方程为，联立解得不妨取，，
所以的面积为.故选B.
6．[2024·黑龙江哈尔滨三模]已知的内角,,的对边分别为,,，且,边上的中线的长为1，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得 ，所以，
又，且D是的中点，所以，在中，，
在中，，则，即，得，当且仅当时取等号.
7．[2024·浙江上杭金湖四校高三联考]已知函数,的零点分别为 , ，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】，,因为，的零点分别为 ， ，所以,,因为与互为反函数，所以两个函数的图象关于直线对称，易知的图象也关于直线对称，所以，的图象与的图象的交点关于直线对称，即,关于直线对称，所以
由 可得，所以 ，又 ,所以 ，则．故选A．
8．[2024·重庆三模]如图，已知圆柱的一个斜截面是椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的一个轴截面的对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆的离心率为，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】由椭圆在展开图中恰好为函数图象的一部分，可得.设圆柱的底面半径为，则，所以，设椭圆的长轴长为，短轴长为，由离心率为，得，则，即，所以，得，又，即，所以，故.
二、多项选择题
9．[2024·辽宁二模]下图为某市2024年第一季度全市居民人均消费支出构成图.已知城镇居民人均消费支出7 924元，同比增长，农村居民人均消费支出4 388元，同比增长，则（ ）
A. 2024年第一季度该市居民人均消费支出6 393元
B. 居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和超过了总人均消费支出的
C. 城乡居民人均消费支出的差额与上一年相比在缩小
D. 医疗保健与教育文化娱乐两项的人均消费支出总和约占总人均消费支出的
【答案】ABD
【解析】2024年第一季度全市居民人均消费支出（元），故A正确；
居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和为（元），
占总人均消费支出的，，故B正确；
依题意可得2023年第一季度城乡居民人均消费支出的差额为（元），
2024年第一季度城乡居民人均消费支出的差额为（元），
由于，故C错误；
医疗保健与教育文化娱乐两项的人均消费支出总和占总人均消费支出的，故D正确.故选.
10．[2024·黑龙江吉林二模]已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】因为，所以，所以，所以，又，所以，故A正确；，故B错误；
，故C正确；
因为,，所以当时，，当时，，所以，所以，故D正确.故选.
11．我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为 和一样，都是无理数， 还被称为指数函数中的“黄金比例”.下列有关 的结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 函数的最小值为
【答案】ABC
【解析】对于A，令，则 为的零点，，
若，则，可知在内单调递减，且，所以在内无零点；若，则，可知在内单调递增，，且，所以在内存在唯一的零点 ，且，故A正确.对于B，因为，，所以 ，两边取对数可得 ，故B正确.对于C，图象的对称轴为直线，而，所以在内单调递增，故，故C正确.对于D，令，则，由，得；由，得，故在内单调递减，在内单调递增，则，可得，当且仅当时，等号成立，则，当且仅当，即时，等号成立，令，因为,在内单调递减，所以在内单调递减，且,，可知在内存在唯一的零点，且，即 ，所以的最小值为，故D错误.故选.
三、填空题
12．[2024·辽宁沈阳二模]已知函数则__________.
【答案】
【解析】，，， .
13．[2024·浙江金华三模]已知四棱锥的底面为正方形， 平面，且，，四棱锥的各个顶点均在球的表面上，，，则直线与平面所成角的取值范围为____________.
【答案】
【解析】依题意得，四棱锥的外接球的球心为的中点，
连接，，设，交于点，因为底面为正方形，所以，
又 平面，且 平面，所以，又，， 平面，所以 平面，所以为平面的一个法向量，建立空间直角坐标系，如图，则,,，设直线上异于的一点，所求的线面角为 ，则，，，由得，即，所以, .
当时，；
当时，.
综上，，所以.故直线与平面所成角的取值范围是.
14．[2024·山东临沂二模]根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数满足：对于任意的，的样本在的样本里的数量占比与的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于，即，则____________，设，的前项和为，则______________________.
【答案】；
【解析】因为，所以，
将换成，则，
可得，即，
又，所以对任意都成立，此时是首项为，公比为的等比数列，所以，故.
，
，
，
可得，
则.
