南安市2024－2025学年度上学期初中期末教学质量监测
初三年数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上.
学校 班级 姓名 考号
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是
A． B． C． D．
2．下列方程是一元二次方程的是
A． B． C． D．
3．要使二次根式有意义，的值可以是
A． B．1 C．2 D．4
4．利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，以点为
位似中心，设计“”中字母“”美术字的一种
方法．若，，则的值为
A． B． C． D．
5．将方程化成的形式，则的值为
A． B． C．0 D．4
6．数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概
率”的试验：不透明袋子中有4个黑球、3个白
球、2个蓝球和1个红球，这些球除颜色外无其
他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色
的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最
有可能是
A．黑球 B．白球 C．蓝球 D．红球
7．如图，小红同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，
若图中的虚线相互平行，则点表示的数是
A． B．
C． D．
8．中华优秀传统文化中蕴含着鼓励劳动、赞美劳动、劳动创造美好生活的内容，
比如《大戴礼·武王践祚·履屡铭》中记载：“慎之劳，则富．”《国语·鲁语》
中记载：“夫民劳则思，思则善心生．”如图是某学
校的学生劳动实践基地，有三条同宽的矩形道路，
除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的
长为32米，宽为20米，种植面积为570平方米，
设劳动实践基地的道路宽为米，则可列方程
A． B．
C． D．
9．在学习完锐角三角函数后，小明想利用简单的工具求
一电线杆的高度．如图，是电线杆的一根拉线，
用皮尺量得米，用测角仪测得，则
电线杆的高度为
A．米 B．米 C．米 D．米
10．已知是关于的一元二次方程的一个实数根，且满足，则的值为
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．若，则的值为 ．
12．杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的
事件是 事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）
13．如图，已知传送带与地面所成坡面的坡度为，它把物体从地面点送到离地面2米高的点处，则物体从到所经过的路程为 米．
14．如果最简二次根式与是同类二次
根式，则 ．
15．如图，在△中，点是△的重心，连结
并延长交于点，过点作交
于点，如果，那么 ．
16．如图，正方形中，点、分别是、的
中点，交于点，连结并延长交于
点，与对角线交于点，现有以下列结论：
①；②；
③；④；
其中正确结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
18．（8分）解方程：．
19．（8分）有四张形状和大小完全一样的卡片，正面分别写有“决”“胜”“中”“考”，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法，求抽到的两张卡片中有“胜”卡片的概率．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△的顶点均在网格格点上．
（1）以点为位似中心，在第一象限画出△的位似图形△，使
△与△的相似比为；
（2）在（1）的条件下，若每个小正方形的面积为1，请直接写出△的面积．
21．（8分） 2024年11月16日英都坂头芦柑园正式开园采摘，其果肉细腻柔软，汁水丰盈，酸甜度恰到好处，既不过于甜腻，又非酸涩，具有独特的清新香气，令人回味无穷，深受消费者喜爱．某水果店以批发价40元箱的价格购进一批 坂头芦柑，若以50元箱的零售价出售，则每天可售出20箱．为了更好地促进乡村经济发展，该水果店决定降价销售．经调查发现，每箱的售价每降价1元，每天可多售出5箱．该水果店想要每天通过销售坂头芦柑盈利240元，又要尽可能让顾客得到实惠，应将每箱芦柑的售价降低多少元？
22．（10分）已知关于的一元二次方程满足．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若一元二次方程的两实根为，，且，请确定之间
的数量关系．
23．（10分）为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图2），测得面板长为cm，底座高为cm，，支架为cm，为cm．（厚度忽略不计）
（1）求支点离桌面的高度（结果保留根号）；
（2）通过查阅资料，当面板绕点转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少cm？请说明理由．（结果精确到cm，参考数据：，，，，
24.（12分）综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展了“折叠矩形纸片做角”
的探究活动，先将矩形纸片按如图1上下对折，折痕为；点是
线段上的点，再把△按如图2沿折叠，使点刚好落在上的
点，连结，，则.活动后，老师鼓励同
(
图
2
) (
图
1
)学们能通过折叠手中的矩形纸片发现并提出新的问题.
【活动猜想】（1）小华受此问题启发，将准备的一张A4纸（生活常识：一张A4纸宽为cm，长为cm），按如图3的方式把△沿折叠得到△，经观察后得到猜想：当，，三点共线时，△是一个特殊的三角形.请直接写出：△是_______________三角形；
【探究迁移】（2）如图4，小明和小亮把△沿折叠，使点的对应点落在上，连结，发现并提出新的探究点：
①若，，求的长；
②当，，三点共线时，求sin的值．
(
图
3
) (
备用
图
) (
图
4
)
25.（14分）如图，在Rt△中，，，，是线段
上的点，且满足tan，将线段绕点逆时针旋转得到，连结.
（1）求证：；
（2）连结交线段于点，求的值；
（3）点在直线上，当时，求的长.南安市 2024－2025 学年度上学期初中期末教学质量监测
初三年数学参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”
的精神进行评分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一步没有改变后续部分的考查目的，可酌情
给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错
误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．
（四）评分最小单位是 1分，得分或扣分都不出现小数．
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1．A 2．C 3．D 4．A 5．B
6．C 7．B 8．D 9．B 10．A
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
3
11． 12．随机 13．2 10
2
14． 2 15．6 16．①③④
三、解答题（共 86 分）
17．（8 分）
3
解：原式＝ 2 3 2 3 ······························································· 6 分
2
3
＝ ················································································ 8 分
2
18．（8 分）
解： x2 2x 1 ················································································· 1分
x2 2x 1 2 ············································································· 2分
(x 1) 2 2 ··············································································· 4分
x 1 2 ··············································································· 6分
∴ x 1 2 或 x 1 2
解得 x1 2 1 , x2 2 1 ·························································· 8分
初三数学答案 第 1 页 （共 9 页 ）
{#{QQABCYYEogggQBJAABgCUwHiCgOQkhAAAagGBBAIIAAAiQFABCA=}#}
19．（8 分）
解：由题可得：
........................................................ 5 分
共有 12 种等可能的结果 ······························································ 6 分
其中抽出的卡片中有“胜”的结果有 6 种 ········································ 7 分
6 1
∴P (抽出卡片中有“胜”) ． ··············································· 8 分
12 2
20．（8 分）
解：（1）如图所示，△ A1B1C1即为所求．
a 1 4 3
............................................................ 5 分
∴点 A 1, 3
（2）△ A1B1C1的面积为 12． ························································ 8 分
21．（8 分）
解：设每箱芦柑降低 x 元，则每箱芦柑的销售利润为 ( 50 x 40)元，平均每天可
售出 ( 20 5x )箱 ········································································· 1 分
根据题意得：
(50 x 40)(20 5x) 240 ···························································· 4 分
整理得： x2 6x 8 0
解得： x1 2， x2 4， ······························································· 6 分
初三数学答案 第 2 页 （共 9 页 ）
{#{QQABCYYEogggQBJAABgCUwHiCgOQkhAAAagGBBAIIAAAiQFABCA=}#}
∵尽可能让顾客得到实惠
∴ x 4 ···················································································· 7 分
答：应将售价降低 4 元． ····························································· 8 分
22．（10 分）
解：（1）∵2a b c 0
∴b 2a c ······································································· 1 分
∴ =b2 4ac ( 2a c) 2 4ac 4a2 c2 ···································· 2 分
∵ax2 bx c 0是关于 x的一元二次方程
∴ a 0 ·············································································· 3 分
∴ a2 0，
又 c2 0
∴ =4a2 c2 0 ·································································· 4 分
∴方程总有两个不相等的实数根． ··········································· 5 分
（2）∵方程ax2 bx c 0的两实根为 x1； x2 ，
b c
∴ x x ， x x ， ····················································· 6 分 1 2 1 2
a a
又∵ x21 x
2
2 x1x2 10，
∴ (x1 x2)
2 3x1x2 10， ······················································· 7 分
b 2 3c∴ ( ) 10 ································································· 8 分
a a
∵c b 2a
b 3( b 2a)
∴ ( ) 2 10 ，
a a
b
整理得： ( ) 2
b
3 4 0
a a
b b
∴ 1或 4
a a
∴ a,b之间的数量关系为b a或b 4a ． ······························· 10 分
初三数学答案 第 3 页 （共 9 页 ）
{#{QQABCYYEogggQBJAABgCUwHiCgOQkhAAAagGBBAIIAAAiQFABCA=}#}
23．（10 分）
解：（1）如图 2，作CN GH 于点 N ，作DM CN 于点M ，
∴MN DE 4， CDM 150 90 60 ， 1 分
CM
在Rt △CDM 中， sin CDM ，
CD
3
∴CM CD sin 60 20 10 3 cm， 2 分
2
∴CN CM MN （10 3 4）cm， 3 分
∴支点C 离桌面GH 的高度为 (10 3 4 ) cm； ···························· 4 分
（2）当面板 AB 与桌面夹角 从30 变化到70 的过程中，面板上端 A离桌面
GH 的高度随之增加，增加了 8 cm，理由如下：
如图 3，延长 AB 交GH 于点 I ，
AIN ，过 A作 AJ GH 于
点 J ，
AB =24cm， BC =6cm，
AC 18cm，
图3
CN
①当 30 时，在Rt △CNI 中， sin ，
CI
10 3 4
∴ sin 30 ，
CI
∴CI 2(10 3 4) (20 3 8) cm， ········································· 5 分
∴ AI CI AC 20 3 8 18 (20 3 26) cm，
AJ
在Rt △ AIJ 中， sin30 ，
AI
1
∴ AJ (20 3 26) 10 3 13 30.3cm， ······························· 6 分
2
CN
②当 70 时，在Rt △CNI 中， sin ，
CI
10 3 4
∴ sin 70 ，
CI
∴CI (10 3 4) 0.94 22.66cm， ········································· 7 分
初三数学答案 第 4 页 （共 9 页 ）
{#{QQABCYYEogggQBJAABgCUwHiCgOQkhAAAagGBBAIIAAAiQFABCA=}#}
∴ AI CI AC 22.66 18 40.66cm，
AJ
在Rt △ AIJ 中， sin 70 ，
AI
∴ AJ 40.66 0.94 38.22 cm， ·············································· 8 分
∴38.22 30.3 7.92 8cm， ·················································· 9 分
答：当面板与桌面夹角 从30 变化到70 的过程中，面板上端 A离
桌面GH 的高度随之增加，增加了8 cm． ···························· 10 分
24．（12 分）
（1）△ AFD是 等腰直角 三角形 ··············································· 3 分
（2）①如图 4，过点F 作FM AD于点M ，
在 Rt△ ACD中， AC AD2 CD2 10 ································ 4 分
由△ ABE 沿 AE 折叠得到△ AFE ，
则△ ABE ≌△ AFE
∴ AF AB 6 ································································· 5 分
∵FM ∥CD
∴△ AFM ∽△ ACD
FM AM AF FM AM 3
∴ ，即
CD AD AC 6 8 5
18 24
∴FM , AM
5 5 图 4
16
∴DM AD AM ······················································· 6 分
5
2 145
在 Rt△FMD中，DF FM 2 DM 2 ． ····················· 7 分
5
②当 E ，F ，D三点共线时，如图 5，
由△ ABE 沿 AE 折叠得到△ AFE ，
则△ ABE ≌△ AFE
∴ EFA B 90
AEB AEF ，EF BE ··············································· 8 分
初三数学答案 第 5 页 （共 9 页 ）
{#{QQABCYYEogggQBJAABgCUwHiCgOQkhAAAagGBBAIIAAAiQFABCA=}#}
设BE x,CE y
∵BC ∥ AD
∴ AEB EAD
∴ AED EAD
∴DE AD BC x y， 图 5
DF DE EF y ·························································· 9 分
∵BC ∥ AD
∴△CEF ∽△ ADF
CE EF
∴ ·································································· 10 分
AD DF
y x
即
x y y
x 5 1 5 1
解得 或 （舍去） ····································· 11 分
y 2 2
EF x 5 1
在 Rt△CEF 中，sin ACB ． ···················· 12 分
CE y 2
25.（14 分）
（1）证明：如图 1，在 Rt△ ABC 中， A 90
AB
∵tan ADB 3， AB 3
AD
∴ AD 1，CD AC AD 3 ··········································· 1 分
由旋转的特征，得：DB DE
ADB ABD ADB CDE 90
∴ ABD CDE ······························ 2 分
在△ ABD和△CDE中
AB CD
ABD CDE
DB DE
∴△ ABD≌△CDE ························································ 3 分
初三数学答案 第 6 页 （共 9 页 ）
{#{QQABCYYEogggQBJAABgCUwHiCgOQkhAAAagGBBAIIAAAiQFABCA=}#}
∴ DCE BAD 90
∴ AC CE ··································································· 4 分
（2）解：如图 2，过点D作DG∥ AB 交BC 于点G
∴△CDG∽△CAB
DG CD
∴ ，
AB CA
DG 3
即
3 4
9
∴DG ····································································· 5 分
4
由（1）知CE∥ AB ，CE AD 1
∴DG∥CE
∴△CEF ∽△GDF ························································ 6 分
EF CE
∴
DF DG
EF 1 4
即
DF 9 9
4
EF EF 4
∴ ····················································· 7 分
ED EF DF 13
∵BD ED
EF 4
∴ ··································································· 8 分
BD 13
（3）解：在 Rt△ ADB中，BD AD2 AB2 10
①当点 P 在点D下方时，
如图 3，连结PB，过点 P 作PM BD于点M
PM 1
在 Rt△PBM 中，tan DBP
BM 2
设PM a，则BM 2a
在 Rt△PDM 和 Rt△ ADB中
初三数学答案 第 7 页 （共 9 页 ）
{#{QQABCYYEogggQBJAABgCUwHiCgOQkhAAAagGBBAIIAAAiQFABCA=}#}
PM AB
tan ADB 3 ················································ 9 分
DM AD
1 1
∴DM PM a
3 3
∵BD DM BM
1
∴ 10 a 2a
3
3
解得： a 10
7
3
∴PM 10 ····························································· 10 分
7
AB 3 3
在 Rt△ ADB中，sin PDB 10
BD 10 10
PM
在 Rt△PDM 中，sin PDB
DP
PM 3
∴ 10
DP 10
10 10 3 10
∴DP PM 10
3 3 7 7
3
∴ AP DP AD ····················································· 11 分
7
②当点 P 在点D上方时，
如图 4，连结PB，
过点 P 作PN BD交BD的延长线于点 N
PN 1
在 Rt△PBN 中，tan DBP
BN 2
设PN b，则BN 2b
在 Rt△PDN 和 Rt△ ADB中
∵ ADB NDP
初三数学答案 第 8 页 （共 9 页 ）
{#{QQABCYYEogggQBJAABgCUwHiCgOQkhAAAagGBBAIIAAAiQFABCA=}#}
∴ tan ADB tan NDP
PN AB
∴ 3 ··························································· 12 分
DN AD
1 1
∴DN PN b
3 3
1 5
∴BD BN DN 2b b b 10
3 3
3
∴PN b 10 ························································· 13 分
5
在 Rt△PDN 和 Rt△ ADB中
∵ ADB NDP
∴sin ADB sin NDP
PN AB 3
∴ 10
DP BD 10
10 10 3
∴DP PN 10 2
3 3 5
∴ AP DP AD 3
3
综上所述： AP 的长为 或3 ··················································· 14 分
7
初三数学答案 第 9 页 （共 9 页 ）
{#{QQABCYYEogggQBJAABgCUwHiCgOQkhAAAagGBBAIIAAAiQFABCA=}#}
