北京市2025届高三数学二轮复习专题过关检测
函数
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知函数则（ ）
A. 2 B.－2 C. D. －
2、已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
3、函数的零点所在的区间是
A、 B、
C、 D、
4、设函数的定义域为，则对内的任意实数，有
A、 B、
C、 D、
5、下列函数中，使既是奇函数又是增函数的是
A、 B、
C、 D、
6、记水的质量为，并且d越大，水质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（ ）
A.
B.
C. 若，则；若，则；
D 若，则；若，则；
7、若函数,恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8、已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9、已知实数，满足，，给出下列三个结论：
①；②；③.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ① B. ② C. ①③ D. ②③
10、2024年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元，乙公司每个月盈利比前一个月增加10%. 记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）. 已知，，则最大时，的值为（ ）
（参考数据：）
A、 7 B、8
C、 9 D、10
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知函数，则____________
12、函数的定义域为_____.
13、已知函数为上的奇函数，且在上单调递增，，若，则的取值范围是______.
14、已知函数 若无最大值，则实数的一个取值为_______; 若存在最大值，则的取值范围是 .
15、设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是____________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数．
（1）若，求的值；
（2）当时，若函数在上的最大值与最小值的差为，求的值；
17、已知函数（且）.
（1）判断函数的奇偶性，并证明
（2）若求实数a的取值范围.
18、已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求的解析式；
（2）判断的单调性并用定义证明；
（3）解关于的不等式．
19、中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
时间/min 0 1 2 3 4 5
水温/℃ 100.00 92.00 84.80 78.37 72.53 67.27
设茶水温度从100℃开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：
①（，）；
②（，，）；
③（，，）．
（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式；
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；
（3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．（参考数据：，．）
20、已知函数．
（Ⅰ）当时，求的最小值；
（Ⅱ）记的最小值为，求的解析式．
21、在某种药物研究试验中发现其在血液内的浓度（单位：毫克／毫升）与时间（单位：小时）满足函数关系，其中，为大于的常数．已知该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，且在小时时达到最大值毫克／毫升．
（1）直接写出，的值；
（2）当该药物浓度不小于最大值一半时，称该药物有效．求该药物有效的时间长度（单位：小时）．
参考答案
一、选择题
1、A 2、B 3、C 4、C 5、B 6、C 7、D 8、D 9、D 10、B
二、填空题
11、1 12、
13、 14、 15、②③
三、解答题
16. （1）因为，可得，
且，所以.
（2）因为，当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
且，，
若函数在上的最大值与最小值的差为，可得，即，
可知在上单调递减，则，解得，
所以的值为.
17、（1）令得，故函数的定义域为，
∵对于，
∴， 且
∴是奇函数.，
（2）由，
可化为，
若，则，∴，
若，则，∴，∴
综上，的取值范围是.
18、（1）由题设知，则恒成立，
所以，即，则，
所以；
（2）是上的增函数，证明如下：
任取，且，
则
．
由，则，且，故，
所以函数在上单调递增；
（3）因为是定义在上的奇函数，且，
所以，
由（2）知，在上单调递增，
所以，
令，则，解得，故，
因为函数在上单调递增，所以．
所以不等式的解集为.
19、（1）选择②（，，）作为函数模型．
由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③；
当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①．
故应选择②（，，）
将表中前的数据代入，得，解得，
所以函数模型的解析式为：．
（2）由（1）中函数模型，有，即，所以，
即，
所以刚泡好的乌龙茶大约放置能达到最佳饮用口感．
（3）由为减函数，且当x越大时，y越接近20，考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，
所以乌龙茶所在实验室的室温约为20℃．
20、解：（Ⅰ）设，因为，则，
则，，
当时，，，
所以时，，即当时，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
其图象的对称轴为．
①当时，在上单调递增，所以；
②当时，，
③当时，在上单调递减，所以.
综上，
21、（1）因为该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，
函数在时取最大值，
所以，，，
所以，，
（2）由（1），
令可得，
若，则，解得，
若，则，解得，
所以该药物有效的时间长度为（小时）.
