期中检测卷
一、选择题(共16分，每题2分)
1．下列二次根式中，最简二次根式为（ ）
A． B． C． D．
2．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17 B．4，5，6 C．5，8，10 D．8，39，40
3．下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，点是的中点，对角线，相交于点，连接，若的周长是10，则的周长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
5．如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7．关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象过点
B．其图象可由的图象向上平移3个单位长度得到
C．随的增大而增大
D．图象经过一、二、三象限
8．如图（1），在中，，，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y（当A，B，P点共线时，不妨设），y与x之间的函数关系的图象如图（2）所示，则图（2）中a的值为（ ）
图（1） 图（2）
A．16 B．15 C．14 D．13
二、填空题（共16分，每题2分）
9．计算： ．
10．在中，，则边上的中线 ．
11．如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面5米的B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵大树在折断前的高度为 米．
12．请写出一个正整数的值使得是整数，则 ．
13．如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是0，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是 ．
14．如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是 ．
15．如图，点是边长为的菱形对角线上的一个动点，点，分别是，边上的中点，则的最小值是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，点D是的中点，点P在边上运动，点Q是坐标平面内的任意一点．若以O，D，P，Q为顶点的四边形是边长为5的菱形时，则点Q的坐标为 ．
三、解答题(共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分)
17．计算：
(1)； (2)．
18．如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求的长.
19．一次函数y=ax+b经过点（1，2）、点（-1，6），求：
（1）这个一次函数的解析式；
（2）如果正比例函数y=x与该一次函数的交点为P，求点P坐标和两直线与x轴围成的三角形面积．
20．如图，在矩形纸片中，，，现把矩形纸片沿对角线折叠，点 落在点处，交于点，求的长．
21．如图，，．
(1)过点作的垂线交. 与点，连接尺规作图，并保留作图痕迹
(2)如果，，求的长．
22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
23．如图，在中，，，垂足为，过点A作，且，连接，交于点，连接．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，求的长．
24．鲜花是云南的名片，更是云南送给世界的礼物．在日新月异的技术加持下，云南鲜花为各地带去了来自高原的芬芳与绚烂．元旦前夕，某批发商购进两种类型的玫瑰花共100束，其中种类型的玫瑰花价格为每束25元，购买种类型的玫瑰花所需费用（单位：元）与购买数量（单位：束）的函数关系图象如图所示．
(1)求与的函数关系式；
(2)若购买种类型玫瑰花所需的数量不超过60束，但不少于种类型玫瑰花的数量，试问如何购买能使购买费用最少，并求出最少费用．
25．如图，在平行四边形中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
(1)求证：四边形为矩形；
(2)若，，，求的长．
26．阅读下列一段文字，回答问题．
[材料阅读]平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如图1，，，则＝
[直接应用]
(1)已知，，求P、Q两点间的距离；
(2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴的夹角是．
①求点B的坐标；
②试判断的形状．
27．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图1，四边形中对角线于点．所以四边形是垂美四边形．
(1)在图1中，我们发现垂美四边形的两组对边满足：，请你证明这个结论；
(2)如图2，请你用（1）中的结论解决下面问题：分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．若，，求的长．
28．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形，如图1所示．
(1)证明平行四边形是菱形；
(2)若，连接、、，如图2所示，求的度数；
(3)若，，，是的中点，如图3所示，求的长．
答案
一、选择题
1．B
【解析】解：A、 ，可化简，故本选项错误；
B、 是最简二次根式，故本选项正确；
C、，可化简，故本选项错误；
D、，可化简，故本选项错误；
故选B.
2．A
【解析】B、42+52≠62，C、52+82≠102， D、82+392≠402，故错误；
A、82+152=172，本选项正确．
3．A
【解析】解：∵在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，
∴选项A能表示y是x的函数，选项B、C、D中的图象，不满足函数的定义，
故选：A．
4．B
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，
，，
的周长是10，
的周长，
故选：B．
5．C
【解析】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
在中，，即，
解得，，
则的面积，
故选：C．
6．C
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故选：C
7．B
【解析】解：对于一次函数，
当时，，因此图象不经过点，故A选项结论错误；
的图象向上平移3个单位长度得到的图象，故B选项结论正确；
，因此随的增大而减小，故C选项结论错误；
图象经过一、二、四象限，故D选项结论错误；
故选B．
8．C
【解析】解：由图（2）可知，当点与点重合是时，的面积为6，当点运动到点时，共走的路程为10，即，过作交延长线于点，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
可解得，，
故，
故选．
二、填空题
9．
【解析】解：，
故答案为：．
10．5
【解析】解：在中，，
∴，
∴边上的中线，
故答案为：5．
11．18
【解析】解：如图所示：
∵是直角三角形，
∴，
∴大树的高度，
故答案为：18．
12．6（答案不唯一）
【解析】解：∵，
∴当时，，符合题意，
故答案为：6（答案不唯一）．
13．
【解析】解：∵四边形是长方形，
∴，，，
在中，由勾股定理可得：
，
∵点A在数轴上对应的数是0，，
∴点E表示的实数是，
故答案为：．
14．
【解析】∵直线与直线交于点，
∴关于x的不等式的解集是,
故答案为：．
15．1
【解析】如图，
作点关于的对称点，
连接交于，
此时有最小值，最小值为的长．
∵菱形关于对称，是边上的中点，
∴是的中点，
又∵是边上的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，即的最小值为1．
故答案为：1．
16．或或
【解析】解：∵，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
①如图1所示，以为对角线，点P在点D的左侧时，，
过点P作轴于点E，则．
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴点P的坐标为，
此时，点Q的坐标为；
②如图2所示，以为对角线，点P在点D的左侧时，．
过点P作轴于点E，则．
在中，由勾股定理得：，
∴点P的坐标为，
此时，点Q的坐标为；
③如图3所示，以为对角线，点P在点D的右侧时，，
过点P作轴于点E，则．
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴点P的坐标为，
此时，点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或；
故答案为：或或．
三、解答题
17．（1）解：
=
=；
（2）
=9-5-（3-2）
=4-3+2
=1+2．
18．（1）解：∵在中，，，，
根据勾股定理，
∵，
∴是直角三角形；
（2）解：∵是的边上的高，
∴，
∴．
19．解：（1）∵一次函数y=ax+b图象经过点（1，2）、点（-1，6），
∴，
解之得，
∴一次函数解析式为：y=-2x+4；
（2）在y=-2x+4中，令y=0，解得：x=2，
则C的坐标是（2，0）．
则OC=2，
解方程组，得：，
即点P的坐标为(，1)，
则S△POC=×2×1=1．
∴点P坐标和两直线与x轴围成的三角形面积为1．
20．解：∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
即．
21．（1）如图所示，即为所求作的图形
（2）垂直，
，
和都为直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
在和中，，
()，
，
．
22．(1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF；
（2）解：∠AOD＝120°，
所以，∠AOB＝60°，
∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2，
∴AC＝2OA＝4，
在Rt△ABC中，BC＝，
∴矩形ABCD的面积＝AB BC＝2×2＝4．
23．（1）证明：，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形为矩形；
（2）解：由（1）得：四边形为矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
．
24．（1）解：由图知：当时，设函数关系式为，把点代入得到，
，
解得，
∴．
当时，设与的函数关系式为．
它的图象经过点与点．
，
解这个方程组，得，
∴，
与的函数关系式为．
（2）设购买种类型玫瑰花的数量为束，则A种类型的玫瑰花的数量为束，总费用为元．
由题知：且，解得．
．
，
随的增大而减小．
，
当时，有最小值为元．
此时，A种类型的玫瑰花：（束）．
答：购买种类型的玫瑰花40束，购买种类型的玫瑰花60束时，购买费用最少，最少费用为元．
25．（1）证明：，
，即，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
又，
∴四边形为平行四边形，
，
，
∴平行四边形为矩形；
（2）解：由(1)知，四边形为矩形，
，，
，，，
，
为直角三角形，，
，
，即，
，
．
26．（1）解：
，
P、Q两点间的距离为；
（2）解：①设，
与轴正半轴的夹角是，
，
，
，
解得：，（舍去），
；
②
，
；
，
；
∴ ABO是直角三角形．
27．（1）证明：在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
则．
（2）解：如图，连接，设分别交于点，
∵在中，直角边，斜边，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
，
，
，
，
∴四边形是垂美四边形，
，即，
解得或（不符合题意，舍去），
所以的长为．
28．（1）解：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，，
由（1）知，四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∵是的平分线
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴．
（3）解：如图，连接，，
∵，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴四边形为正方形，
∵M为中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∴．
