第二十八章《锐角三角函数》章节测试卷
一、单选题（30分）
1．计算的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．如图，某河堤横断面迎水坡的坡度为，则坡角（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，，，则下列三角函数值不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（ ）
A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定
5．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，若米，则树高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
6．如图，中，，，，则的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图，在菱形中，，，，则的值是( )
A． B．2 C． D．
8．如图，平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在第二象限，，，连接交y轴于点P，若，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在下列网格中小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
10．一艘游轮从小岛正南方向的点处向西航行海里到达点处，然后沿北偏西方向航行海里到达点处，此时观测到小岛在北偏东方向，则小岛与出发点之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（24分）
11．计算：的值为 ．
12．如图3，在中，，是边的中点，过作，垂足为点，如果，，那么 ．
13．已知在中，，那么 ．
14．在中，，则
15．如图，小红同学用仪器测量一棵大树的高度，在C处知，在E处测得，，仪器高度，这棵树的高度为 ．
16．如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，那么这辆汽车速度是 .（参考数据：，）
17．如图，在矩形中，，连接，点在上，平分 ．
18．如图，为的直径，弦与交于点E，连接，，，，则弦 ．
三、解答题（66分）
19．（本题6分）计算：．
20．（本题6分）如图，在中，，点在上，已知，，．求的度数．
21．（本题6分）如图，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，则△ABC的面积为多少？
22．（本题6分）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，．
求：（1）AC的值
（2）sinC的值．
23．（本题8分）如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求和的长．（结果精确到，参考数据：，，）
24．（本题10分）为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面C、D两处实地测量，如图所示．在C处测得桥墩顶部A处的仰角为和桥墩底部B处的俯角为，在D处测得桥墩顶部A处的仰角为，测得C、D两点之间的距离为，直线、在同一平面内，请你用以上数据，求桥墩的高度．
25．（本题12分）如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝（即tan∠DEM＝），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、C、N在同一条直线上，求条幅AB的长度（结果保留根号）．
26．（本题12分）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知，，线段的延长线交直线于点D．
(1)求的大小；
(2)若在点B处测得点O在北偏西方向上，其中米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）
答案
一、单选题
1．C
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，将的值代入进行计算即可，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键．
【详解】解：，
故选：C．
2．A
【分析】根据坡度的定义结合特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】根据题意可知，
∴．
故选A．
3．C
【分析】本题主要考查了三角函数的定义．根据正弦、余弦、正切的定义求解即可．
【详解】解：中，，，，
∴，
，，．
观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．
【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，
因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，
故选：．
5．B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键；
过点B作于点C，在中根据，求出的高度．
【详解】解：过点B作于点C，
在中，
．
故选B．
6．C
【分析】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
故选：C
7．解：设菱形边长为，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，求得A点的坐标是解题的关键．根据题意求得，过B点做轴，过A点做轴，它们的交点为D，则，根据平行线分线段成比例定理求得，则，然后通过证得，得出，从而求得m的值，即可求得和 的长，从而求得B点的坐标．
【详解】解：过B点做轴，过A点做轴，它们的交点为D，则，如图：
∵轴，轴，
∴，
设 ，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴或（舍去），
∵， ，
∴，，
∴，
故选∶C．
9．D
【分析】本题主要考查三角函数的综合应用．利用勾股定理求出的长，再由，得出，可得答案．
【详解】解：如图，过点O作于点E，过点B作于点C．
由勾股定理，得，，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
10．A
【分析】过点作， 垂足为，过点作交的延长线于点，根据题意可得 然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进而求出的长，即可解答.
【详解】如图：过点作，垂足为，过点 作，交的延长线于点，
由题意得： ，
在中, 海里，
，
(海里)，(海里),
海里，
海里，
在中,
海里，
海里，
∴小岛A与出发点B之间的距离为海里，
故选:A.
二、填空题
11．/
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值进行计算，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先由线段中点的定义得到，则由勾股定理可得，则，再证明，则．
【详解】解：∵是边的中点，，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的运用，根据所给角的正切值可得两条边的比，根据勾股定理可求得第三边的长，最后根据正弦的定义进行计算，从而求得结果．
【详解】解：如图，在中，过点C作交于点D，
，
，
设，则，
，即，
在中，，
，
故答案为：．
14．5或11
【分析】本题考查了正切函数型的解三角形，勾股定理，根据题意分是锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用正切的定义和勾股定理求解即可．
【详解】当是锐角三角形时，
如图，过点B作于点D，
∵，
∴
设，则，
∴，
解得（舍去），
∴，
当是钝角三角形时，
如图，过点B作，交的延长线于点E，
∵，
∴
设，则，
∴，
解得（舍去），
故答案为：5或11．
15．米
【分析】根据直角三角形的边角间关系，可用含的代数式表示出、，由于，得到关于的方程，求解即可．
【详解】解：由题意，四边形、四边形、四边形均为矩形，
、均为直角三角形，
所以米，米．
在中，，
即，
在中，，
即，
又，
，
即，
，
（米），
故答案为：米．
16．30
【分析】本题考查了特殊角的函数值，熟练掌握解斜三角形是解题的关键．过点A作于点D，利用三角函数计算，后计算速度即可．
【详解】如图，过点A作于点D，
根据题意，得，，，
∴，，
解得，
∵汽车从处行驶到处所用的时间为，
∴，
故答案为：30．
17．
【分析】过点D作，由平分可得是等腰直角三角形，再根据矩形性质和勾股定理易求对角线长，进而解三角形求出、即可解答．
【详解】解：过点D作，如图：
∵平分，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
故答案为：．
18．
【分析】过点O作于点F，连接，先求出，从而得出，，即可求出的长度，再根据的长度求出的长度，最后根据垂径定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，；
过点O作于点F，连接，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，
∴在中，，
∵，
∴．
故答案为：
三、解答题
19．解：
．
20．解：在中，，，，
又在中，，，
如图所示，取的中点，则，
∴是等边三角形，
∴，
．
21．10.5
【分析】作AD⊥BC，根据cosC和AC即可求得AD的值，再根据∠B可以求得AD＝BD，根据AD，BC即可求得S△ABC的值．
【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在RtΔACD中，， AC＝5，
∴CD=ACcosC＝5=4．
∴由勾股定理得：AD＝＝3．
∵sinB＝，
∴∠B＝45°．
∴∠BAD＝∠B＝45°．
∴BD＝AD＝3．
∴S△ABC＝BC AD＝（3+4）×3＝10.5．
22．（1）在中，，
∴，
∴，
∴；
（2）在中，．
23．解：过点B作BE⊥l于点E，过点D作DF⊥l于点F．
在中，，，，
，
．
，
，
又，
．
在中，，，
，
．
24．解：如图，延长交于E，
依题意得：，，，，,
,
,
，,
,
,
,
解得：,
（米）．
25．解：过点D作DH⊥AN于H，过点E作FE⊥于DH于F，
∵坡面DE=20米，山坡的坡度i=1：，
∴EF=10米，DF=米，
∵DH=DF+EC+CN=（+30）米，∠ADH=30°，
∴AH=×DH=（10+）米，
∴AN=AH+EF=（20+）米，
∵∠BCN=45°，
∴CN=BN=20米，
∴AB=AN-BN=，
答：条幅的长度是米．
26．（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的大小为；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车．
