第19章四边形【培优】
一、单选题
1．（2024九上·金堂月考）在平行四边形中，若，则下列各式中，不能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·邕宁期中）如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．1
3．（2022八下·西山期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝140°，则∠B的度数为（ ）
A．140° B．120° C．110° D．100°
4．已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD=6cm，则OE的长为（ ）
A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm
5．（2024八下·鄢陵期中）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB∥CD，AD＝BC D．∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD
6．（2024八下·镜湖期中）如图，在中，，，点E是边上的中点，将沿翻折得，连接，A、G、E在同一直线上，则点G到的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八下·南开期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠COD的度数为（ ）
A．54° B．60° C．65° D．72°
8．（2023八下·金东期末）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连结AF，BE，CE，DF分别交于点M，N，则四边形EMFN是（ ）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定
9．（2023八上·海曙期中）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为12，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020九下·青县开学考）如图，在四边形 中， ， ， ，E是 的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿 向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿 向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．若以点 为顶点的四边形是平行四边形，则点P运动的时间为（ ）
A．1 B． C．2或 D．1或
二、填空题
11．（2017八下·蒙城期末）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形中点所得到的四边形是 ．
12．（2020·西安模拟）如图，五边形ABCDE的每一个内角都相等，则外角∠CBF＝ ．
13．（2021九上·兰州月考）如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是 .
14．（2023九下·番禺期末）如图，菱形的对角线，点E为对角线上的一动点，则的最小值为 ．
15．（2021八上·侯马期末）如图，在，，，，垂直平分，分别交，于点D、E，平分，与的延长线交于点P，连接，则的长度为 ．
16．（2019·苏州模拟）如图，菱形ABCD的边AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一点，BP＝3，Q是CD边上一动点，将四边形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，则CA′的长度最小值为 ．
三、计算题
17．（2023九下·章贡期中）（1）计算：；
（2）如图，在中，，，、分别是、的中点，若，求的长．
18．（2023·锡山模拟）如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BD上，∠BAE＝∠DCF，连接AF，EC．
（1）求证：AE＝FC；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
19．（2020八下·温岭期末）R△ABC中，∠BAC=90°，
（1）如图1，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABFG、ACPE、BCDE，其面积分别记为S1，S2 ，S3
①若AB=5，AC=12，则S3= ▲ ；
②如图2，将正方形BCDE沿C折， 点D、E的对应点分别记为M、M，若点从M、N分别在直线FG和PH上， 且点M是GO中点时，求S1：S2：S3 ；
③如图3，无论R△ABC三边长度如何变化，点M必定落在直线FG上吗 请说明理由；
（2）如图4，分别以AB， AC， BC为边向外作正三角形ABD， ACF， BCE， 再将三角形BCE沿BC翻折，点E的对应点记为P，若AB= 保持不变，随着AC的长度变化，点P也随之运动，试探究AP的值是否变化，若不变，直接写出AP的值；若改变，直接写出AP的最小值.
四、解答题
20．（2024九上·台安月考）如果一个正多边形的每个内角都是它相邻的外角的2倍，求正多边形的边数．
21．（2024八下·舒兰期末）如图所示，在菱形中，点为对角线与的交点，且在中，，求菱形两对边之间的距离．
22．（2017八下·大石桥期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为点E.连接DE， 则线段DE与线段AC有怎样的数量关系？请证明你的结论。
23．（2019八下·平潭期末）证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
（要求：在给出的△ABC中用尺规作出AB、AC边的中点M、N，保留作图痕迹，不要求写作法，并根据图形写出已知、求证和证明）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
4．【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
6．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
7．【答案】D
【知识点】矩形的性质
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定与性质
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质
11．【答案】正方形
【知识点】正方形的判定
12．【答案】72°
【知识点】多边形内角与外角
13．【答案】13
【知识点】直角三角形斜边上的中线
14．【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；轴对称的性质
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质
16．【答案】2
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
17．【答案】（1）；（2）
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理；开立方（求立方根）
18．【答案】（1）证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝FC．
（2）解：由（1）△ABE≌△CDF，得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°－∠AEB＝180°－∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF．
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
19．【答案】（1）解：①169
②设正方形ABGF的边长为a，则AB=BF=AG=FG=a，
∵正方形ABGF，正方形AHPC，∠BAC=90°，
∴∠AGO=∠GAH=∠AHO=90°
∴四边形AGOH是矩形，
∴∠F=∠NOM=90°，OG=AH
∵将正方形BCDE沿C折， 点D、E的对应点分别记为M、M
∴BM=MN，∠BMN=90°
∴∠BMF+∠NMO=90°，∠NMO+∠MNO=90°
∴∠BMF=∠MNO
在△BFM和△MON中
∴△BFM≌△MON（AAS）
∴OM=BF=a
∵点G是GO的中点，
∴OG=AH=2OM=2a，
∴正方形AHPC的边长为2a，
AB2+AC2=BC2
∴S12+S22=S32
∴S32=a2+4a2=5a2
∴ S1：S2：S3 =a2：4a2：5a2=1：4：5；
③过点M作MQ⊥HB于点Q，
∵正方形BCNM
∴BM=BC，∠BAC=∠MQB=90°，
∵∠MBQ+∠BMQ=90°，∠MBQ+∠ABC=90°，
∴∠BMQ=∠ABC
在△MBQ和△BCA中
∴△MBQ≌△BCA（AAS）
∴MQ=BA，
∵正方形ABFG，
∴AB=BF=AG，
∴FB=GA=MQ
∵BF∥AG∥MQ
∴点F、G、M三点共线即点M一定落在直线FG上.
（2）AP值会改变，AP最小值为
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
20．【答案】正多边形的边数是6
【知识点】多边形内角与外角
21．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
22．【答案】解：结论：AC=DE，理由如下： ∵CE⊥AE ∴∠AEC=90°∵AE∥BC， ∴∠BCE=90°∵AB=AC AD是BC边上的中线∴∠ADC=90°∴四边形ADCE是矩形∴AC=D E
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质
23．【答案】证明：如图，点M，N即为所求作的点， 已知：如图，△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，连接MN， 求证：MN∥BC，MN＝ BC 证明：延长MN至点D，使得MN＝ND，连接CD， 在△AMN和△CDN中， ， ∴△AMN≌△CDN（SAS） ∴∠AMN＝∠D，AM＝CD， ∴AM∥CD，即BM∥CD， ∵AM＝BM＝CD， ∴四边形BMDC为平行四边形， ∴MN∥BC，MD＝BC， ∵ ， ∴ ．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质
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