南平市 2024—2025 学年第一学期八年级期末质量抽测
数学试题
（考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷）
说明：①本试卷仅供选用学校使用.
②所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效.
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分．每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求）
1．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是
A．数 B．字 C．中 D．国
2 2．计算m m ，正确的结果是
A m2． B 3 2 3．m C． 2m D． 2m
3．若长度分别为 a，2，5的三条线段能组成一个三角形，则 a的值可以是
A．2 B．3 C．5 D．8
4．叶绿体是植物进行光合作用的场所，某种叶绿体的直径约 0.000 005米．将数
据 0.000 005用科学记数法表示为
A．0.5 10 5 B．0.5 10 6 C．5 10 5 D．5 10 6
5. 若一个多边形的外角和是它的内角和的 2倍，则这个多边形是
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D． 六边形
6．如图,△ACB≌△A'CB' , A 70o , B 65o ,则 A CB 的度数为 A'
A
A．70 B．65 C．55 D．45
B'
B C
第 6题图
7．若 x2 mx 4是完全平方式，则 m的值等于
A． 4 B． 4 C． 2 D． 4
8 b．下列分式中，化简结果等于 的是
a
ab b b 1 b2A． 2 B． C． D．a a a 1 a2
9．如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A=30°，AC=6，AB的垂直平分线 DE交
AC于 D，交 AB于 E，则 DE的长为
A．1 B．2
C．3 D．4
10 x m．下表描述了分式 的部分信息：
x n
x的值 … x1 0 x2 x3 …
x m
的值 … y y 无意义 y …
x n 1 2 3
其中 x1＜0＜x2＜x3 ， y2＜0，则下列说法正确的是
A． 0 n m B． n m 0 C． n 0 m D．m 0 n
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案填入答题卡的相
应位置）
11．计算2 2=________．
12 2．因式分解 x x =________．
13．在平面直角坐标系 xOy中，点 A（2,-3）关于 y轴对称的点的坐标
是________．
14．已知等腰三角形的一个底角是 50°,则它的顶角度数是________．
15 1 1 3ab．已知 2，则 的值为________．
a b b a
16．如图,在△ABC中, ABC 的平分线与 ACB的平分线相交于点 F，过点 F作
DE//BC，交 AB于点 D，交 AC于点 E，下列结论:
① DE BD CE；
② BFC 90 A；
③ 点 F一定在 BC的垂直平分线上；
④ 点 F到 AB,AC,BC三边的距离相等；
其中所有正确的结论是________. （填序号）
三、解答题（本大题共 9小题，共 86 分．请在答题卡的相应位置作答）
17．（本题满分 8分）
2
化简： a 3 a 1 a 2
18．（本题满分 8分）
如图，点 B，C，F，E在同一条直线上，BF=CE，AB=DE，AC=DF．
求证： A D．
19．（本题满分 8分） 第 18题图
2
先化简，再求值： x 1 2x 1x x 1 ，其中 x 2 .
20．（本题满分 8分）
如图，在△ABC 中，AB=AC， BAC 100 ，以
AC 为边,在△ABC 的外部作等边三角形 ACD，E
是AC的中点，连接DE并延长交BC于F．求 DFC
的度数.
21.（本题满分 8分）
如图，在△ABC中，CA=CB，点 D，E在 AB上，BD=AE，连接 CD，CE.
（1）请画出线段 CF，使得 CF与 CE关于直线 AC对称．
（2）在（1）的条件下，连接 DF，
判断△CDF的形状，并说明理由.
第 21题图
22．（本题满分 10分）
为了推进“书香”和“墨香”的“两香”校园建设,某中学举行书法比赛,学
校购买了一些钢笔和毛笔,下表是购买的相关信息：
钢笔 毛笔
购买费用：1200元 购买费用：1500元
单价：1.2x元/支 单价：x元/支
购买数量： 支 购买数量： 支
（1）请补全表中的购买数量(用含 x的式子表示)；
（2）已知购买的钢笔支数比毛笔少 20支，求钢笔和毛笔的单价分别是多少元？
23.（本题满分 10分）
如图，在△ABC中， AD BC于 D，CE AB于
E，AD与 CE相交于点 F，且 AD＝CD.
（1）求证：AB=CF；
1
（2）若 AE CF ，求∠BAD的度数．
2 第 23题图
24．（本题满分 12分）
阅读材料
图形是一种重要的数学语言，对于一个图形，可以通过不同的方法计算图形的
面积，得到一个数学等式．已知下列等式成立：
(a b)2 a2 2ab b2； ①
a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc ②
如图 1，通过不同的方法计算边长为 a b的正方形
面积，可以说明等式①的合理性.
问题解决
如图 2，将边长为 a b c的正方形 ABCD，分割成几个小正方形与小长方形.
（1）请你根据图 2的面积说明等式②的合理性；
（2）若 a，b，c满足 a b c 12，
ab bc ac 33，求 a2 b2 c2 的值.
拓展探究
如图 3，有三种规格的纸片：a a， a b，b b
（其中 a＜b）若干张.
（3）请你利用上述纸片拼接一个大长方形，并
能利用它的面积可以说明等式
2a b a 2b 2a2 5ab 2b2 成
立.请画出你的设计示意图．（画出一
种即可，不需说明成立的理由）
25．（本题满分 14分）
如图 1，在平面直角坐标系 xOy中,已知点 A（5，1），B（5，0），连接 AB,点 C
是 x轴正半轴上的动点（不与点 B重合），过点 C作CE AC交 y轴于 E，连
接 AE．
（1）当 C的坐标为（1，0）时，求证：△ABC≌△COE；
（2）如图 2，当∠AEC=∠OEC时，求点 C的坐标；
（3）当 OC=OE时，直接写出△COE的面积．南平市2024—2025学年第一学期八年级期末质量抽测
数学试题参考答案及评分说明
说明：
（1）解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分150分．
（2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分．
（3）若考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分．
（4）评分只给整数分．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．C； 2．B； 3．C； 4．D； 5．A；
6．D； 7．D； 8．A； 9．B； 10．C．
第10题解析：因为的值当时无意义，
所以.
又因为，所以，
当时，，所以，则，故选C.
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．； 12．； 13．； 14．80； 15．； 16．①④．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）解：原式= 4分
（备注：完全平方公式和多项式乘法的计算正确各得2分）
= . 6分
= . 8分
（8分）证明：∵BF=CE ，
∴BF-CF=CE-CF 2分
即BC=EF 3分
在△ABC和△DEF中,
5分
∴△ABC≌△DEF（SSS）， 6分
∴∠A=∠D . 8分
19．（8分）解：原式= 4分
（备注：第一个分式的分子因式分解正确得2分，括号内通分正确的得2分.）
= 5分
= 6分
当x=2时，
原式=2-1
=1 8分
20．（8分）证明：
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴ ∠ABC=∠ACB= . 3分
∵△ACD是等边三角形，E是AC的中点，
∴DE⊥AC，. 5分
∴∠CEF=90°， 6分
∴∠DFC+∠ACB=90°, 7分
∴∠DFC=90°-40°=50°. 8分
（本解答只提供一种解法，其他解法酌情给分）
（8分）
解：（1）如图所示
2分
（本解答提供一种画法，只要能够正确画出CF均得2分）
（2）答：△CDF是等腰三角形. 3分
理由如下：∵CA=CB,
∴∠A =∠B , 4分
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD（SAS）. 5分
∴CE=CD， 6分
∵CF与CE关于直线AC对称，
∴CF=CE， 7分
∴CF=CD， 8分
∴△CDF是等腰三角形.
（本解答提供一种解法，其他解法酌情给分）
（10分）
（1）解：
钢笔 毛笔
购买费用：1200元 单价：1.2x元/支 购买数量： 支 购买费用：1500元 单价：x元/支 购买数量： 支
. 4分
（每个答案给2分， 没化简不扣分）
（2）依题意得
. 5分
解得x=25. 7分
经检验，x=25为原方程得解，所以原方程的解为x=25. 8分
1.2x = 30. 9分
答：毛笔的单价是25元, 钢笔的单价是30元. 10分
23．（10分）（1）证明：∵AD⊥BC， CE⊥AB，
∴∠ADC=∠ADB=∠AEF =90°. 1分
∴∠FCD+∠DFC =90° ∠BAD+∠AFE =90° 2分
又∵∠AFE=∠DFC,
∴∠BAD=∠FCD. 3分
在△ABD和△CFD中，
∴△ABD≌△CFD (ASA). 4分
∴AB =CF. 5分
（2）解：由（1）得：AB =CF ∠BAD=∠FCD
∵,
∴. 6分
∵CE⊥AB
∴CE垂直平分AB . 7分
∴CA=CB
∴. 8分
∵AD=CD ∠ADC=90°
∴∠ACD=∠CDA=45°. 9分
∴. 10分
（本解答提供一种解法，其他解法酌情给分）
24．（12分）
（1）解法一：∵S正方形ABCD=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 2分
又∵S正方形ABCD=(a+b+c)2 3分
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 4分
解法二：正方形ABCD的面积=(a+b+c)2 1分
因为正方形ABCD可以看成三个小正方形和六个小长方形组成，
所以正方形ABCD的面积=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 3分
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 4分
（本解答提供两种解法，其他解法酌情给分，用文字正确表述参照给分）
（本解答提供一种解法，其他解法酌情给分，用文字正确表述参照给分）
（2）解：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac） 6分
∵a+b+c=12，ab+bc+ac=33，
∴122=a2+b2+c2+2×33 7分
∴a2+b2+c2=144-66=78 8分
（3）
12分
（本解答提供两种设计示意图，正确设计出其中一种示意图得4分，其他设计方法酌情给分）
25．（14分）
证明：解：（1）∵A（5，1），B（5，0）
∴∠ABC=90°, AB=1. 1分
∵C（1，0）
∴OC=1
∴AB=OC. 2分
∵CE⊥AC
∴∠ACE=90°
∴∠ACB+∠ECO=90°. 3分
∵∠COE=90°
∴∠COE=∠ABC ,∠ECO+∠CEO=90°
∴∠CEO=∠ACB. 4分
在△ABC和△COE中，
∴△ABC≌△COE (AAS).. 5分
（2）如图2，延长AC交y轴于点D,
∵CE⊥AC
∴∠ACE=∠DCE=90°
在△ACE和△DCE中，
∴△ACE≌△DCE(ASA).. 6分
∴CA=CD. 7分
由（1）得：∠ABC=90°
∵∠COD=90°
∴∠ABC=∠COD. 8分
在△ABC和△DOC中，
∴△ABC≌△DOC(AAS) 9分
∴BC=OC
∴C（2.5，0） 10分
（本解答提供一种解法，其他解法酌情给分）
（3）答：△COE的面积是8或18 14分
（每个答案各给2分）
4
