北京市石景山区 2024-2025 学年八年级（上）期末数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.9的平方根是( )
A. 3 B. 3 C. ±√ 3 D. ±3
2.下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2 4
3.若分式 的值为0，则 的值为( )
+2
A. 2 B. 2 C. ±2 D. ±4
4.下列事件是随机事件的是( )
A. 从分别写有2，4，6的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被2整除
B. 用长度分别是2 ，3 ，6 的细木条首尾相连组成一个三角形
C. 投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
D. 在一个装有2个白球和3个黑球的袋子中摸出红球
5.下列各式从左到右变形正确的是( )
2
+ 1+ 2 2
A. = B. = C. = D. =
+ 2
6.下列运算正确的是( )
2
A. 3 + √ 3 = 3√ 3 B. √ 6 ÷ √ 2 = 3 C. √ 3 × √ 6 = 3√ 2 D. (√ 5 + 1) = 6
7.实数 ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简√ 2 | |的结果是( )
A. B. C. 2 D. 2 +
8.如图，在 中，∠ = 90 ， = ， 是∠ 内部的射线且∠ < 45 ，过点 作 ⊥ 于
点 ，过点 作 ⊥ 于点 .给出下面四个结论：①∠ = ∠ ；② = ；③ = .上述
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结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。
9.若√ 2在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是 ．
10.写出一个比√ 2大且比√ 10小的整数为 ．
11.一个不透明的盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出
一个小球，恰好是红球的概率是 ．
12.如图， // ，点 ， 在 上且 = .请你只添加一个条件，使得 ≌ ．
(1)你添加的条件是 ；(要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可)
(2)依据所添条件，判定 与 全等的理由是 ．
13.如图， 中，∠ = 90 ，点 在 上， ⊥ 于点 .若 = ，∠ = 40 ，则∠ = ．
14.计算(2√ 5 + √ 7)(2√ 5 √ 7)的结果是 ．
15.在 中， = , ∠ = 100 ， 在 边上，且 是等腰三角形，则∠ 的度数为 ．
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16.如图， 是等边三角形， 是 的中点，动点 在 边的中线 上．若 = 2，则 + 的最小
值为 ．
三、解答题：本题共 12 小题，共 96 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
1 2
计算：4√ + (
3
√ 2) + √ 18 √8
2
18.(本小题8分)
如图，△ 是等边三角形，点 在线段 上，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转60°得到线段 ，连
接 .求证： = ．
19.(本小题8分)
2
计算：(1 + √ 3) √ 2(√ 6 √ 8)
20.(本小题8分)
2 2 2 2
计算：
21.(本小题8分)
已知：如图， 中， > > .求作：点 ，使得点 在 边上且∠ = 2∠ .作法：①作线段 的
垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ；②连接 .点 即为所求作的点．
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(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵ 是 的垂直平分线，
∴ = ①_____(②__________(填推理的依据)．
∴ ∠ = ③_____(④__________)(填推理的依据)．
又∵ ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = 2∠ ．
22.(本小题8分)
2 4 5 +10已知 2 20 = 0，求代数式( ) ÷ 的值．
2
23.(本小题8分)
6
解分式方程： + = 1．
3
24.(本小题8分)
如图，在 中，∠ = 90 ， = 4， = 6， 是 的中点， 是 边上一点，连接 ， .将△
沿直线 翻折，点 恰好落在 上的点 处．
(1)求 的长；
(2)求 的长．
25.(本小题8分)
列方程解应用题．
某工程队承担了750米长的道路改造任务，工程队在施工完210米道路后，引进了新设备，每天的工作效率
比原来提高了20％，结果共用22天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
26.(本小题8分)
如图， 是 的中线， 是 边上一点，连接 交 于 点， = .求证： = ．
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27.(本小题8分)
在 中，∠ = 90 ， = ，点 是射线 上的一个动点，过点 作 ⊥ 于点 ，射线 交
直线 于点 ，连接 ．
(1)如图1，当点 在线段 上时(不与端点 ， 重合)，
①求证：∠ = ∠ ；
②求证： = + √ 2 ；
(2)如图2，当点 在线段 的延长线上时( < )，依题意补全图2并用等式表示线段 ， ， 之间
的数量关系．
28.(本小题8分)
对于线段 与点 (点 不在线段 上)给出如下定义： 为线段 上任意一点，如果线段 的长度有最小
值，那么称这个最小值为点 与线段 的“近距”，记作 1(点 ，线段 )；如果线段 的长度有最大值，
那么称这个最大值为点 与线段 的“远距”，记作 2(点 ，线段 ).如图， 中，∠ = 30
， =
4√ 3， = 2．
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(1) 1(点 ，线段 ) =_____， 2(点 ，线段 ) =_____；
(2)点 关于直线 的对称点为 ′，连接 ′.若点 在线段 ′上，且 2(点 ，线段 )是 1(点 ，线段 )的
2倍，直接写出线段 的长度；
(3)过点 作 // .若点 在直线 上， 1(点 ，线段 ) < 2，直接写出 2(点 ，线段 )的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】 ≥ 2
10.【答案】2答案不唯一
1
11.【答案】
3
12.【答案】 = (答案不唯一)
/∠ = ∠
/∠ = ∠
(答案不唯一)．
/
/
13.【答案】25
14.【答案】13
15.【答案】70 或100
16.【答案】√ 3
1 2
17.【答案】解：4√ + ( √ 2) +
3
√ 18 √8
2
√ 2
= 4 × + 2 + 3√ 2 2 2
= 2√ 2 + 2 + 3√ 2 2
= 5√ 2．
18.【答案】证明：∵△ 是等边三角形，
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∴ ∠ = 60 ， = ，
由旋转的性质可得：∠ = 60 ， = ，
∴ ∠ = ∠ = 60°，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
=
{∠ = ∠ ,
=
∴ ≌ ( )，
∴ =
2
19.【答案】解：(1 + √ 3) √ 2(√ 6 √ 8)
= 1 + 3 + 2√ 3 √ 2 × 6 + √ 2 × 8
= 4 + 2√ 3 2√ 3 + 4
= 8．
2 2 2 2
20.【答案】解：
2 2 2 2
=
2( 2 2)
=
2( + )( )
=
= 2( + )
= 2 + 2 ．
21.【答案】(1)解；如图所示，即为所求；
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(2)证明：∵ 是 的垂直平分线，
∴ = (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)．
∴ ∠ = ∠ (等边对对角)．
又∵ ∠ = ∠ + ∠ ，
∴ ∠ = 2∠ ．
故答案为： ；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；∠ ；等边对等角．
22.【答案】解：∵ 2 2 20 = 0，
∴ 2 2 = 20，
4 5 + 10
∴ ( ) ÷
2
2 4 5( + 2)
= ÷
2
( + 2)( 2) 2
=
5( + 2)
( 2)
=
5
2 2
=
5
20
=
5
= 4．
6
23.【答案】解： + = 1
3
去分母得： 2 + 6( 3) = ( 3)，
去括号得： 2 + 6 18 = 2 3 ，
移项得： 2 + 6 2 + 3 = 18，
合并同类项得：9 = 18，
系数化为1得： = 2，
检验，当 = 2时， ( 3) ≠ 0，
∴ = 2是原方程的解．
24.【答案】(1)解：∵ = 6， 是 的中点，
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1
∴ = = 3，
2
在 中，由勾股定理得 = √ 2 + 2 = 5；
(2)解：由折叠的性质可得 = , ∠ = ∠ = 90 , = = 3，
∴ = = 2, ∠ = 90 ，
设 = = ，则 = = 4 ，
在 中，由勾股定理得 2 = 2 + 2，
∴ (4 )2 = 2 + 22，
3
解得 = ，
2
3
∴ = ．
2
25.【答案】解：设引进新设备前工程队每天改造道路 米，则引进新设备后工程队每天改造(1 + 20%) 米．
依题意得： ．
解得： = 30，
经检验， = 30是所列方程的解，且符合题意．
答：引进新设备前工程队每天建造道路30米．
26.【答案】证明：如图，延长 至点 ，使 = ，连接 ，
∵ 是 的中线，
∴ = ，
在 和 中，
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=
{∠ = ∠ ,
=
∴ ≌ ( )，
∴ = ，∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ，
∴ = ．
27.【答案】(1)①证明：∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ，
∵ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ，，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ；
②如图1，作 ⊥ 交 于 ，
∴ ∠ = 90 ，
∵ ∠ = 90 ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
由①知∠ = ∠ ，
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∵ = ，
∴ ≌ ( )，
∴ = ， =
∴ = √ 2 ，
∴ = + = + √ 2 ；
(2)解：补全图形如下所示：
作 ⊥ 交 于 ，
∴ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ，
∵ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ，
∵ ∠ = ∠ ，
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
∵ ∠ = ∠ ，，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = ，
∴ ≌ ( )，
∴ = ， =
∴ = √ 2 ，
∴ = + = + √ 2 ．
28.【答案】(1)解：如图1，过点 作 ⊥ 于点 ，
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则∠ = ∠ = 90 ，
∵ ∠ = 30 ， = 2，
1
∴ = = 1，
2
∵垂线段最短，
∴ 1(点 ，线段 ) = 1；
在 中， = √ 2 2 = √ 22 12 = √ 3，
∵ = 4√ 3，
∴ = = 3√ 3，
2
在 △ 中， = √ 2 + 2 = √ (3√ 3) + 12 = 2√ 7，
∴ 2(点 ，线段 ) = 2√ 7；
(2)解：过点 作 ⊥ 于点 ，连接 ， ′，如图2，
∵点 关于直线 的对称点为 ′，
∴ ′ = ， ′ = ，∠ ′ = ∠ = 30 ，
∴ ∠ ′ = 30 + 30 = 60 ，
由题意知： 2(点 ，线段 )是 1(点 ，线段 )的2倍，
即 = 2 ，
∴ = √ 2 2 = √ 3 ，
在 中，∠ = 60 ，
∴ ∠ = 30 ，
1
∴ = ，
2
1
设 = ，则 = ，
2
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2
1 √ 3
∴ = √ 2 2 = √ 2 ( ) = ，
2 2
3
∴ = √ 3 = ，
2
∵ + = = 4√ 3，
1 3
∴ + = 4√ 3，
2 2
解得： = 2√ 3，
∴线段 的长度为2√ 3；
(3)解：如图3，作 ⊥ ，垂足为 ，当点 为 的中点时，
1
则 = 1， = = = 2√ 3，
2
2
∴ = √ 2 + 2 = √ (2√ 3) + 12 = √ 13，
当点 在线段 的延长线上且 = 2时，如图4，
∵ = 1，
∴ = √ 22 12 = √ 3，
∴ = 5√ 3，
2
∴ = √ 2 + 2 = √ (5√ 3) + 12 = 2√ 19，
当点 在线段 的延长线上且 = 2时，
同理可得 = 2√ 19，
综上所述，√ 13 ≤ 2(点 ，线段 ) < 2√ 19．
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