北京市石景山区2024-2025学年八年级上学期期末考试
数学试题
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的平方根是( )
A. B. C. D.
2.下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.若分式的值为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.下列事件是随机事件的是( )
A. 从分别写有，，的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被整除
B. 用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形
C. 投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
D. 在一个装有个白球和个黑球的袋子中摸出红球
5.下列各式从左到右变形正确的是( )
A. B. C. D.
6.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
7.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点给出下面四个结论：；；上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
10.写出一个比大且比小的整数为 ．
11.一个不透明的盒子中装有个黄球，个红球和个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是 ．
12.如图，，点，在上且请你只添加一个条件，使得．
你添加的条件是 ；要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可
依据所添条件，判定与全等的理由是 ．
13.如图，中，，点在上，于点若，，则 ．
14.计算的结果是 ．
15.在中，，在边上，且是等腰三角形，则的度数为 ．
16.如图，是等边三角形，是的中点，动点在边的中线上．若，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
18.本小题分
如图，是等边三角形，点在线段上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接求证：．
19.本小题分
计算：
20.本小题分
计算：
21.本小题分
已知：如图，中，求作：点，使得点在边上且作法：作线段的垂直平分线，交于点，交于点；连接点即为所求作的点．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：是的垂直平分线，
_______________填推理的依据．
_______________填推理的依据．
又，
．
22.本小题分
已知，求代数式的值．
23.本小题分
解分式方程：．
24.本小题分
如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，将沿直线翻折，点恰好落在上的点处．
求的长；
求的长．
25.本小题分
列方程解应用题．
某工程队承担了米长的道路改造任务，工程队在施工完米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了，结果共用天完成了任务．求引进新设备前工程队每天改造道路多少米？
26.本小题分
如图，是的中线，是边上一点，连接交于点，求证：．
27.本小题分
在中，，，点是射线上的一个动点，过点作于点，射线交直线于点，连接．
如图，当点在线段上时不与端点，重合，
求证：；
求证：；
如图，当点在线段的延长线上时，依题意补全图并用等式表示线段，，之间的数量关系．
28.本小题分
对于线段与点点不在线段上给出如下定义：为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“近距”，记作点，线段；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“远距”，记作点，线段如图，中，，，．
点，线段_____，点，线段_____；
点关于直线的对称点为，连接若点在线段上，且点，线段是点，线段的倍，直接写出线段的长度；
过点作若点在直线上，点，线段，直接写出点，线段的取值范围．
答案和解析
1.
【解析】，
的平方根是．
故选：．
2.
【解析】是轴对称图形，故A正确；
B.不是轴对称图形，故B错误；
C.不是轴对称图形，故C错误；
D.不是轴对称图形，故D错误．
故选：．
3.
【解析】分式的值为，
，
故选：．
4.
【解析】、从分别写有，，的三张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被整除是必然事件，不符合题意；
B、，
用长度分别是，，的细木条首尾相连组成一个三角形是不可能事件，不符合题意；
C、投掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上是随机事件，符合题意；
D、在一个装有个白球和个黑球的袋子中摸出红球是不可能事件，不符合题意；
故选：．
5.
【解析】、，原式变形正确，符合题意；
B、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意；
C、，原式变形错误，不符合题意；
D、，原式变形错误，不符合题意；
故选：．
6.
【解析】、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：．
7.
【解析】由数轴可知：，
，
．
故选：．
8.
【解析】于点，于点，
，，
，故正确；
，
，
在和中，
，
，，
，
，故正确，
，，
，故错误；
故选：．
9.
【解析】根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
10.答案不唯一
【解析】，，
，
即比大且比小的整数为或，
故答案为：答案不唯一
11.
【解析】盒子中装有个黄球，个红球和个绿球，共有个球，
从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是；
故答案为：．
12.答案不唯一
答案不唯一．
【解析】，
，
即，
，
，
添加的条件是，根据，，
添加的条件是，根据，，
添加的条件是，根据，，
故答案为：或或；
方法一：添加的条件是时，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
故答案为：．
方法二：添加的条件是，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
故答案为：．
方法三：添加的条件是，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
故答案为：．
13.
【解析】，，
，
，，，
平分，
，
故答案为：．
14.
【解析】
，
故答案为：．
15.或
【解析】，
，
当时，，
；
当时，；
当时，，
则，
不符合题意，故舍去；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
16.
【解析】如图，连接交于点，连接，
为等边三角形的中线，
，
垂直平分，
，
，
两点之间线段最短，
、、在同一直线上时，最小，即最小，
是的中点，为等边三角形，
，，
，
的最小值，
故答案为：．
17.解：
．
18.证明：是等边三角形，
，，
由旋转的性质可得：，，
，
，
在和中，
，
19.解：
．
20.解：
．
21.解；如图所示，即为所求；
证明：是的垂直平分线，
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
等边对对角．
又，
．
故答案为：；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；等边对等角．
22.解：，
，
．
23.解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
检验，当时，，
是原方程的解．
24.解：，是的中点，
，
在中，由勾股定理得；
解：由折叠的性质可得，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
．
25.解：设引进新设备前工程队每天改造道路米，则引进新设备后工程队每天改造米．
依题意得：．
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：引进新设备前工程队每天建造道路米．
26.证明：如图，延长至点，使，连接，
是的中线，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
，
．
27.证明：，
，
，
，
，，
，
；
如图，作交于，
，
，
，
，
，
由知，
，
，
，
，
；
解：补全图形如下所示：
作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
28.解：如图，过点作于点，
则，
，，
，
垂线段最短，
点，线段；
在中，，
，
，
在中，，
点，线段；
解：过点作于点，连接，，如图，
点关于直线的对称点为，
，，，
，
由题意知：点，线段是点，线段的倍，
即，
，
在中，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得：，
线段的长度为；
解：如图，作，垂足为，当点为的中点时，
则，，
，
当点在线段的延长线上且时，如图，
，
，
，
，
当点在线段的延长线上且时，
同理可得，
综上所述，点，线段．
第1页，共1页
