攀枝花市盐边县 2024-2025 学年九年级上期期末教学质量监测
数 学
注意事项：
1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用
0.5 毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。
第 I卷（选择题）
一、单选题（每题 5 分，共 60 分）
1．下列二次根式中，能与 3合并的是（ ）
A． 8 B． 12 C． 24 D． 28
2．已知关于 x的一元二次方程 x2 ax b 0有一个非零根 b，则 a b的值为（ ）
A．1 B． 1 C．0 D． 2
3．下列各式中，一定能成立的是（ ）
A． ( 2.5)2 ( 2.5)2 B． a2 ( a )2
C． (a 1)2 a 1 D． a2 9 a 3 a 3
4．如图，在边长为 1个单位长度的正方形网格中，若连接格点 AB、CD，AB
与CD交于点 O，则 tan AOD的值为（ ）
A．1 B． 5 C． 3 D．2
5．如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④
6 y ax b a 0 y ax2．一次函数 与二次函数 bx c a 0 在同一平面直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A． B． C． D．
7．在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了 90份礼物，则参加聚会的人有（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
8．在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S 2、S 3 中的两个，能让灯泡 L2发光的概率是（ ）
1 2 1
A． B 1．
4 2
C． D．
3 3
9．如图，线段 AB、CD的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点M ．若每个小正方形的边长都是
MC
1，则 的值是（ ）
MD
12 11 9
A． B． C． D．2
7 6 5
1
10 2．如图，将函数 y x 2 12 的图象沿
y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点 A 1,m ，B 4,n 平
移后的对应点分别为点 A 、B ．若曲线段 AB扫过的面积为 9（国中的阴影部
分），则新图象的函数表达式是（ ）
1 2 1 2
A． y x 2 2 B． y x 2 7
2 2
y 1C． x 1 2 2 5 D． y x 2 2 4
2 2
11．如图，点 E是等边三角形△ABC边 AC的中点，点 D是直线 BC上一动点，连接 ED，并绕点 E逆时
针旋转 90°，得到线段 EF，连接 DF．若运动过程中 AF的最小值为 3 1，则 AB的值为（ ）
A．2 B． 4 3 C． 2 3 D．4
12 2．如图，二次函数 y ax bx c a 0 的图象与 x 轴交于 和 x1,0 ，且 2 x1 1，与 y轴的交
b
点 在 上 方 ， 有 以 下 结 论 ： ① abc 0 ； ② 2a b 0 ； ③ 3a c 0 ； ④ 0 1 ；
a
⑤ a b m am b m 1 ．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①④⑤
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13．函数 y 2x 4 中自变量 x的取值范围是 ．
x 1
14．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点 O是位似中心，若 OA：OD=1：3，
△ABC的面积为 3，则△DEF的面积为 ．
15．已知一元二次方程 x2 6x 2 0有两个实数根x ，x2，则 x1 x2 x1x1 2的值等
于 ．
16．如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC与 BD交于点 O，已知 AB＝OA，按以下
步骤作图：①以点 A为圆心，以任意长为半径画弧交 AB于M，交 AC于点 N；②
1
分别以点M，N为圆心，以大于 2 MN为半径画弧，两弧相交于点 E；③作射线 AE
交 BC于点 F，连接 DF．若 AB＝ 3，则线段 DF的长为 ．
三、解答题
0
17．（本题 8分）计算： 2 3 5 2 1 sin 30
a 2 a 2
18．（本题 8分）先化简，再求值： 2 ，其中a 1 a 1 a2 a a = 3 -1．
19．（本题 8分）2022年 3月 25日，教育部印发《义务教育课程方案和
课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程
中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机
抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整
理并制成如一统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列的问题：
(1)求图 1中的m ，本次调查数据的中位数是 h，本次调查数据的众数是 h；
(2)若该校共有 2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间小于3h的人数．
20．（本题 8分）“道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全
头盔．某商店 8月份销售安全头盔 200个，10月份销售 288个．
(1)求该商店安全头盔销售量的月平均增长率；
(2)若该安全头盔的进价为30元/个，销售过程中发现，当售价为 40元/个时，月销售量为 200个，若在此基
础上售价每上涨 1元/个，则月销售量将减少 5个，为使月销售利润达到2625元，并且尽可能让顾客得到
实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元
21．（本题 8分）如图，在矩形 ABCD中，E是边 BC的中点，DF AE于点 F．
AF AD
(1)求证： ．
BE AE
(2)已知 AB 8,BC 12，求 AF 的长．
22．（本题 8分）如图，小明为了测量小河对岸大树 BC的高度，他在点 A测 得大
树顶端 B的仰角为 45 ，沿斜坡走到点 D，此时从点 A到 D上升的高度为 2米，在此处测得树顶端点 B的
仰角为31 ，且斜坡 AF 的坡比为1: 3，E、A、C在同一水平线上．
(1)求小明从点 A走到点 D的距离；
(2)大树 BC的高度约为多少米？
（参考数据： sin31 ≈0.52， cos31 ≈0.86 ， tan 31 0.60）
23．（本题 10分）如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点 D作 DF⊥AB，
垂足为 F，FD交 BE于 M，FD、AC的延长线交于点 N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）求证：DF2＝FM FN；
（3）若 AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段 AC的长．
24．（本题 12分）如图 1，抛物线的顶点 A的坐标为（1，4），抛物线与
x轴相交于 B、C两点，与 y轴交于点 E（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知点 F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点 G，使得 EG+FG最小，如果存在，求出点 G
的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图 2，连接 AB，若点 P是线段 OE上的一动点，过点 P作线段 AB的垂线，分别与线段 AB、抛物
线相交于点 M、N（点 M、N都在抛物线对称轴的右侧），当 MN最大时，求△PON的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A D A B B D A D
题号 11 12
答案 D B
13． x 且 x 1
14．27
15． 4
16． 7
0
17．解： 2 3 5 2 1 sin 30
6 5+1 1 ......................................(6分）
2
11． ......................................(8分）
2
a 2 a 2
18．解：
a2
1 a 1 a2 a
a 2 a 1 a a 1
......................................(2分）
a 1 a 1 a 1 a 1 a 2
a 2a 2 a a 1
a 1 a 1 a 2
a 2 a
a 1 a 2
a
， ......................................(6分）
a 1
当 a 3 1时，
3 1
原式
3 1 1
1 3
3
3 3
．. .....................................(8分）
3
19．（1）解： 4 10% 40人，
参与调查的学生人数为 40人，......................................(2分）
m% 10 100% 25%，
40
m 25，
参与调查的学生人数一共有 40人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第 20名和第 21名的劳动时
间分别为3h，3h
3 3中位数为 3h，
2
由条形统计图可知，劳动时间为3h的人数最多，
众数为3h，
故答案为：25，3，3；......................................(5分）
（2）解：解： 2000
4 8
600（人），......................................(8分）
40
答：估计该校学生一周的课外劳动时间小于3h的人数为 600人．
20．（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为 x，
200 1 x 2根据题意可得： 288，......................................(2分）
解得： x1 0.2， x2 2.2（舍去），......................................(4分）
答：该商店安全头盔销售量的月平均增长率为 20%．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为 y元/个，
由题意可得： 200 5 y 40 y 30 2625，......................................(6分）
整理得： y2 550y 14625 0，
解得： y1 65， y2 45，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴ y 45，......................................(8分）
答：该品牌头盔的实际售价为 45元/个．
21．（1）证明：∵四边形 ABCD为矩形，DF AE ，
∴ B AFD 90 , BAE EAD EAD ADF 90 ，
∴ BAE ADF，......................................(2分）
∴△ADF∽△EAB，
AF AD
∴ ．......................................(4分）
BE AE
（2）∵E为 BC的中点，
∴ BE
1
BC 6，
2
∴ AE AB2 BE 2 10．......................................(6分）
AF AD
∵ ，
BE AE
AF 12
∴ ，
6 10
∴ AF 7.2．......................................(8分）
22．（1）解∶ 作DH AE于 H ，如图所示，
在Rt ADH 中，
DH 1 ，DH 2，
AH 3
AH 3DH 6，......................................(2分）
AH 2 DH 2 AD2 ，
AD AH 2 DH 2 2 10，......................................(4分）
答：小明从点 A到点D的距离为 2 10 米；
（2）解： 如图，延长 BD交 AE于点 G，
设 BC x，
由题意，得 DGH 31 ，
GH DH 2 10 ．......................................(6分）
tan DGH 0.6 3
在Rt BAC中， BAC 45 ，
AC BC x．
BC
在Rt△BGC中， tan DGH ，
GC
0.6 x 10 6 x，
3
解得 x 14．......................................(8分）
答：大树 BC的高度约为 14米．
23．证明：（1）∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠BAC+∠ABE=90°，......................................(2分）
∵DF⊥AB，
∴∠AFN=∠BFM=90°，
∴∠N+∠BAC=90°，
∴∠ABE=∠N，
∴△BFM∽△NFA；......................................(4分）
（2）∵△BFM∽△NFA，
BF FM
∴ ，
FN AF
∴ FM FN BF AF ，......................................(5分）
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠AFD=∠BFM=90°，）
∴∠BDF+∠ADF=90°，∠ADF+∠BAD=90°，
∴∠BDF=∠BAD，......................................(6分）
∴△BDF∽△DAF，
DF BF
∴ ，
AF DF
∴DF 2 AF BF ，
∴DF 2 FM FN；......................................(7分）
（3）∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
∵∠ABC+∠FDB=∠BAC+∠N=90°，
∴∠FDB=∠N=∠FBM，
∴△ENM∽△FBM∽△FDB，
ME EN ,FM FB∴ ，
FM FB FB FD
ME FM FM FB
∴ , ，
EN FB FB FD
FM FB ME 1
∴ ，
FB FD EN 2
∴FB=2FM， DF=2FB=4FM，
∵DF 2 FM FN，
∴ 4FM 2 FM DF DN FM 4FM DN ，......................................(8分）
∵DN＝12，
2
∴ 4FM FM 4FM 12 ，
解得： FM 1 或 0（舍去），
∴FB=2，DF=4，FN=DF+DN=16，
∵∠AFN=∠MEN=90°，∠N=∠N，
∴△MNE∽△ANF，
ME NE
∴ ，
AF FN
AF ME 1
∴ ，
FN NE 2
1
∴ AF FN 8 ，AB=AF+BF=10，......................................(9分）
2
在 Rt BFD 中， BD BF 2 DF 2 22 42 2 5 ，
∴CD BC BD AC 2 5 ，
在 Rt ADB 和 Rt ADC 中，
AD2 AB2 BD2 AC2 CD2 ，
∴ AC2 2 2AC 2 5 10 2 2 5 ，
解得： AC 5 5 ．......................................(10分）
24．(1)设抛物线的表达式为：y＝a(x﹣1)2+4，
把(0，3)代入得：3＝a(0﹣1)2+4，
a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣(x﹣1)2+4＝﹣x2+2x+3；......................................(3分）
(2)存在，如图 1，作 E关于对称轴的对称点 E'，连接 E'F 交对称轴于 G，此时 EG+FG 的值最小．
∵E(0，3)，∴E'(2，3)，
设 EF的解析式为 y=k′x+b′，
3 b k 3
把 F(0，﹣3)，E'(2，3)分别代入，得 ，解得 ，
3 2k b
b 3
所以 E'F 的解析式为：y＝3x﹣3，......................................(6分）
当 x＝1时，y＝3×1﹣3＝0，∴G(1，0)；......................................(7分）
(3)如图 2．
设 AB的解析式为 y=k″x+b″，
4 k b k 2
把 A(1，4)，B(3，0)分别代入，得 ，解得 ，
0 3k b
b 6
所以 AB的解析式为：y＝﹣2x+6，......................................(8分）
过 N作 NH⊥x轴于 H，交 AB于 Q，
设 N(m，﹣m2+2m+3)，则 Q(m，﹣2m+6)，(1＜m＜3)，
∴NQ＝(﹣m2+2m+3)﹣(﹣2m+6)＝﹣m2+4m﹣3，
∵AD∥NH，∴∠DAB＝∠NQM，
∵∠ADB＝∠QMN＝90°，∴△QMN∽△ADB，
QN AB
m
2 4m 3 2 5
∴ ，∴ ，
MN BD MN 2
∴MN 5 (m﹣2)2 5 ．
5 5
5 ＜0，
5
∴当 m＝2时，MN有最大值；......................................(9分）
过 N作 NG⊥y轴于 G，
∵∠GPN＝∠ABD，∠NGP＝∠ADB＝90°，∴△NGP∽△ADB，
PG BD 2 1 1 1
∴ ，∴PG NG m，
NG AD 4 2 2 2
1 3
∴OP＝OG﹣PG＝﹣m2+2m+3 m＝﹣m2 m+3，......................................(10分）
2 2
1 1 3
∴S△PON OP GN (﹣m2 m+3) m，2 2 2
1
当 m＝2时，S△PON 2(﹣4+3+3)＝2．......................................(12分）2
