四川省泸州市纳溪区纳溪中学集团校联考2024-2025九年级上学期1月期末数学试题(含答案)

泸州市纳溪中学集团校 2024—2025 学年度上期七年级学业水平测试
数学
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷(选择题)
一、单选题(共 36 分)
1.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一,先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗
产代表作名录.以下剪纸图案中,是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2 y x 2 2.二次函数 3的图象的顶点坐标是( )
A. 2,3 B. 2,3 C. 2, 3 D. 2, 3
3.掷两枚质地均匀的骰子,下列事件是随机事件的是( )
A.点数的和为 1 B.点数的和为 5 C.点数的和大于 12 D.点数的和小于 13
4.已知⊙O与直线 l无公共点,若⊙O直径为 10cm,则圆心 O到直线 l的距离可以是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
5.某班六名同学体能测试成绩(分)如下:80,90,75,75,80,80,对这组数据表述错误的是( )
A.众数是 80 B.方差是 25 C.平均数是 80 D.中位数是 75
6.若关于 x的方程 ax2 2x 1 0有两个实数根,则 a应满足( )
A.a 1 B. a 1 C. a 1且a 0 D. a 1且 a 0
7.如图,量角器外沿上有三点A、P、Q,它们所表示的读数分别是0 、110 、150 ,则 PAQ 的
大小是( )
A.40 B.30 C. 20 D.10
8.某超市 1月份的营业额为 36万元,前 3个月的营业额共 110万元,设每月
营业额的平均增长率都为 x,则平均增长率 x应满足的方程为( )
A.36 1 x 2 110 B.36 1 x 2 110
C.110 1 x 2 36 D.36 36 1 x 36 1 x 2 110
9.如图, AB为 O的直径,弦CD交 AB于点 E, BC BD, CDB 30 ,
AC 2 3,则OE ( )
A 3. B. 3 C.2 D.1
2
1
10 2.在同一坐标系中,抛物线 y 3x2与 y x 1有相同的( )
3
A.开口方向 B.形状 C.对称轴 D.顶点
11.如图,在 Rt ABC中, ACB 90 , A 30 ,AC 2 3,BC的中点为D.将
V ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到 FEC,EF 的中点为G,连接DG.在
旋转过程中,DG的最大值是( )
A. 2 3 B.2 C.1 3 D.3
12.如图所示,二次函数 y ax 2 bx c (a、b、c 为常数,a 0)的图象与 x轴交于
点 A 3,0 ,B 1,0 .有下列结论:① abc 0;②若点 2, y1 和 0.5, y2 均在抛物
线上,则 y1 y2;③ 5a b c 0;④ 4a c 0.⑤若点C m,n 在二次函数图象
上,则 a b m am b ,其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第 II 卷(非选择题)
二、填空题(共 12 分)
13.直角坐标系中,点 3, 4 关于坐标原点O成中心对称的点的坐标是 .
14 2 2.已知:x1, x2是关于 x的方程 x 2a 1 x a 0的两个实数根,
x1 2 x2 2 11,则 a的值为 .
15.如图,在平面直角坐标系中,以原点 O为中心,把点 A 2,1 顺.时.针.旋 转90 得
到点 B x, y ,则 x y的值为 .
4
16.如图,直线 y x 8与 x轴、y轴分别交于点 B和点 A,点 C是线段OA上的一点, 若将
3
V ABC沿BC折叠,点 A恰好落在 x轴上的 A'处,若 P是 y轴负半轴上一动点,且 BCP 是等腰三
角形,则 P的坐标为 .
三、解答题(共 72 分)
1
2
17.(本题 6分)计算: 8 1 3.14
0 3 2
2
1 1 x
18.(本题 6分)化简: .
x 2 x 2 x2 4
19.(本题 6分)如图,四边形 ABCD中, ABC ADC 45 ,将△BCD绕点 C顺时针旋转一定角度后,
点 B的对应点恰好与点 A重合,得到△ACE.
(1)请求出旋转角的度数;
(2)请判断 AE与 BD的位置关系,并说明理由.
20.(本题 7分)为了激发学生对中国古诗词的学习兴趣,某校举 行了古
诗词比赛,比赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计,按成 绩分为
如下 5组(满分 100分),A组:75 x 80,B组:80 x 85.C组:85 x 90,D组:90 x 95,E
组:95 x 100,并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图,解答下列问题:
(1)本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩,并补全学生成绩频数直方图:
(2)若成绩在 90分及以上为优秀,学校共有 3000名学生,估计该校成绩优秀的学生有多少人?
(3)学校将从获得满分的 5名同学(其中有两名男生,三名女生)中随机抽取两名,参加五一劳动节的文艺
汇演,请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.
21.(本题 7分)某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品,据市场分析,若按每千克 50 元销售,
一个月能售出500千克,销售单价每涨0.5元,月销售量就减少 5千克,针对此回答:
(1)当销售价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润.
(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
(3)当售价为多少时,销售利润最大?
22 2.(本题 8分)已知关于 x的方程 x k 6 x 3k 9 0.
(1)求证:无论 k为何值,方程总有实数根;
(2)若方程的两个实数根为x x x 31, 2,求代数式 1 x2 3 2
的值.
23.(本题 8分)图 1是一种淋浴喷头,图 2是图 1的示意图,
若用支架把喷头固定在点A处,手柄长 AB 20cm, AB与墙壁
AD的夹角 30 ,喷出的水流 BC与 AB形成的夹角 ABC 80 ,现在住户要求:当人站在 E处淋浴时,
水流正好喷洒在人体的C处,且使DE 50cm,CE 150cm.问:安装师傅应将支架固定在离地面多高的位
置?
(结果精确到1cm,参考数据:
sin 40 0.64,cos 40 0.77, tan 40 0.84, 3 1.73, 2 1.4 1)
24.(本题 12分)如图,AB为 O的直径,点C是 O上一点,CD与 O相切
于点C,过点A作 AD DC,连接 AC, BC, BC 2.
(1)求证: AC 2 AD AB;
AD 3
(2)若 ,求阴影部分的面积.(结果保留 )
AB 4
25.(本题 12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 y x2 bx c经过点 A 3, 4 ,与 y轴交于点
B 0, 1 .
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)点 P为直线 AB下方抛物线上的任意一点,连接
PA, PB,求 PAB面积的最大值;
(3)将该抛物线向右平移 2个单位长度得到抛物线
y a1x
2 b1x c1 a1 0 ,平移后的抛物线与原抛物线相
交于点C,
①求点C的坐标;
②已知点D为原抛物线对称轴上的一点,是否存在点 E,使以点 B,C,D, E为顶点的四边形为菱形,
若存在,请直接写出点 E的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A D D C D D C
题号 11 12
答案 D C
13. 3,4
14. 1
15. 1
(0, 9 3) 0,3 3 5 0, 16. 或 或 2
17 1
1
2
.解: 8 3.14
0
2 3 2
2 2 2 1 2 3
5 2 2 3
1 1 x
18.解: 2 , x 2 x 2 x 4
x 2 x 2 x2 4

x 2

x 2 x 2 x 2 x
4 x2 4

x2
x ,
4 x
4

x
19.解:(1)由将△BCD绕点 C顺时针旋转一定角度后,点 B的对应点恰好与点 A重合,得到△ACE可得:
BCD≌ ACE,
∴BC=AC,
∵ ABC ADC 45 ,
∴∠CBA=∠CAB=45°,
∴∠ACB=90°,
即旋转角度为对应边的夹角,故旋转角为∠ACB=90°;
(2)AE⊥BD,理由如下:如图所示,
由(1)可得: BCD≌ ACE,
∴∠DBC=∠EAC,
∵∠ACB=90°,
∴∠2+∠DBC=90°,
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠EAC=90°,
∴BD⊥AE.
20(1)解:本次调查一共随机抽取的学生总人数为96 24% 400(名);
∴B组的人数为 400 15% 60(名),即m 60;
∴E组的人数为: 400 20 60 96 144 80(人),
补全学生成绩频数分布直方图如下:
3000 144 80(2)解: 1680 (人),
400
答:估计该校成绩优秀的学生有 1680人;
(3)解:画树状图如下:
共有 20种等可能的结果,其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有 12种,
12 3
∴抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为 .
20 5
21.(1)解: 销售单价每涨 0.5元,月销售量就减少 5千克
当销售价定为每千克 55元时,销售单价上涨了 5元,那么月销售量将较少 50千克,
月销售量为:500 50 450kg
月利润为: 55 40 450 6750元
故月销售量为 450kg,月销售利润为 6750元;
(2)解:设销售单价应定为每千克 x元,则月销售量为 500 x 50 0.5 5 kg,而每千克的销售利润为
x 40 元
根据题意得, x 40 500 x 50 0.5 5 8000
整理得, x2 140x 4800 0
解得: x1 60, x2 80
当销售单价为每千克 60元时,月销售量为500 60 50 0.5 5 400(千克),月销售成本为
40 400 16000 10000(元),不符合题意;
当销售单价为每千克 80元时,月销售量为500 80 50 0.5 5 200(千克),月销售成本为
40 200 8000 10000(元),符合题意;
答:在月销售成本不能超过 10000元时,要使月销售利润达到 8000元,销售单价应定为每千克 80元.
(3)解:设月销售利润为W,销售单价定为每千克 x元,由(2)可得,
W x 40 500 x 50 0.5 5
10x2 1400x 40000
10 x 70 2 9000
10 0
当 x 70时,W取得最大值,
答:当售价定为每千克 70元时,销售利润最大.
2
22.(1)解:∵Δ k 6 4 3k 9
k 2 12k 36 12k 36
k 2 0,
∴方程总有实数根;
(2)解:由根与系数的关系可得, x1 x2 k 6, x1 x2 3k 9,
∴ x1 3 x2 3 2
x1 x2 3 x1 x2 11
3k 9 3 k 6 11
3k 9 3k 18 11
2.
23.解:过点 B作 BF CE,垂足为点 F ,
过点 B作 BG AD,垂足为点G
在 Rt ABG中, a=30
1
GB AB 10cm,AG ABcosa 10 3cm 17.3cm
2
在 Rt BCF 中, FBC 180 60 80 40
BF DE BG 40cm
CF BFtan FBC 40tan40 33.6cm
AD CE CF AG 150 33.6 17.3 166cm
答:安装师傅应将支架固定在离地面166cm高的位置.
24(1)证明:如图,连接OC,
∵CD与 O相切于点C, AD DC,
∴ OCD CDA 90 ,
∴ OCD CDA 180 ,
∴OC AD,
∴ OCA DAC,
∵OA OC,
∴ OCA OAC,
∴ DAC BAC,
又∵ ADC ACB 90 ,
∴△ADC∽△ACB ,
AD AC
∴ ,
AC AB
∴ AC 2 AD AB;
AD 3
(2)解:∵ ,
AB 4
∴设 AD 3x,
∴ AB 4x,
由(1)得 AC 2 AD AB,
∴ AC 2 3x 4x 12x2,
∵ ACB 90 , BC 2,
∴ AB2 AC2
2
BC2,即 4x 12x2 22,
解得 x 1(负值已舍去),
∴ AB 4x 4,
∴OC OB BC 2,
∴△OBC是等边三角形,
如图,过点O作OE BC于点 E,
∴OE OB sin 60 2 3 3,
2
60 22 2 3 2
∴阴影部分的面积是 3.
360 2 3
25.(1)解:∵抛物线 y x2 bx c经过点 A 3, 4 ,与 y轴交于点 B 0, 1 ,
9 3b c 4
∴ ,
c 1
b 4
解得: ,
c 1
∴该抛物线的函数表达式为 y x2 4x 1;
(2)解:设直线 AB的解析式为 y kx n k 0 ,
3k n 4
将 A 3, 4 , B 0, 1 代入解析式可得 ,
n 1
k 1
解得:
n 1

∴直线 AB的解析式为 y x 1,
如图,过点 P作 PQ x轴交 AB于Q,
P m,m2设 4m 1 3 m 0 ,则Q m,m 1 ,
∴ PQ m 1 m2 4m 1 m2 3m,
2
∴ S 1 PAB PQ
1
xB xA m 2 3m 0 3
3 2 9
m m
3 3 27
m ,2 2 2 2 2 2 8
3
∵ 0,
2
∴当m
3 27
时, S PAB 最大,为 ;2 8
2
(3)解:①∵ y x2 4x 1 x 2 5,
∴将该抛物线向右平移 2个单位长度得到抛物线为 y x2 5,
令 x 2 2 5 x2 5,
解得 x 1,
∴C 1, 4 ;
②存在;
∵ y x2 4x 1 x 2 2 5,
∴抛物线的对称轴为直线 x 2,
∴设D 2, t , E s, r ,
∵以点 B,C,D, E为顶点的四边形为菱形,
∴当 BC为边,点 E在点D的上方时,
2 0 1 s

1 s 4 r
s 1
解得: ,
r 2
此时 E 1,2 ;
当 BC为边,点 E在点D的上下方时,
2 1 0 s
4 t 1 r ,
2 s 2 t r
2 1 s 2 2 4 r
s 3 s 3
解得: 或 ,
r 4 6 r 4 6
此时 E 3, 4 6 或 E 3, 4 6 ;
当 BC为对角线时,
0 1 2 s

1 4 t r ,

s 1
2
r 2 2 4 s2 r 1
s 1
解得: r 3,
此时 E 1, 3 ;
综上所述,点 E的坐标为 1,2 或 3, 4 6 或 3, 4 6 或 1, 3 .

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