参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B A B C A C D D
二．填空题（共5小题）
11． （1+4a2）（1+2a）（1﹣2a） ．
12． 且x≠4，x≠0 ．
13． 36°或72° ．
14． 336 °．
15． ①②④ ．
三．解答题（共9小题）
16．（1）4；（2）x＝2，
17．解：原式，∵＝2﹣1+3＝4，
∴原式．
18．解：在Rt△ACD中，AD2+DC2＝AC2，
∵CF＝DE＝1.5，BE＝0.5，
设秋千的绳索长为x m，则AD＝AB﹣BD＝AB﹣（CF﹣BE）＝（x﹣1）m，
故x2＝22+（x﹣1）2，解得：x＝2.5，
答：绳索AC的长度是2.5m．
19．解：设招募安装横杠的工人x名，则安装竖杠的工人（6﹣x） 名．
由题意，得，解得 x＝2，经检验，x＝2 是原方程的解，则 6﹣x＝4，
支付给工人师傅的总费用为：2×200+4×240＝1360（元）．
答：支付给工人师傅的总费用为1360元．
20．解：（1）证明：∵∠AFC＝180°﹣∠2，∠BEA＝180°﹣∠1，且∠1＝∠2，
∴∠AFC＝∠BEA，∵∠2＝∠CAF+∠ACF，∠BAC＝∠CAF+∠BAE，且∠2＝∠BAC，
∴∠CAF+∠ACF＝∠CAF+∠BAE，∴∠ACF＝∠BAE，在△ACF和△BAE中，
，∴△ACF≌△BAE（AAS），∴AF＝BE．
（2）解：由（1）得△ACF≌△BAE，∴S△ACF＝S△BAE，∵CD＝2BD，∴S△ACD＝2S△ABD，
∴S△ABD+2S△ABD＝S△ABC＝18，∴S△ABD＝6，S△ACD＝12，∵S△BDE＝1.4，
∴S△ACF＝S△BAE＝S△ABD﹣S△BDE＝6﹣1.4＝4.6，
∴S△CFD＝S△ACD﹣S△ACF＝12﹣4.6＝7.4，∴△CFD的面积为7.4．
21．解：（1）
（2）
（3）原式＝10﹣1＝9；
（4）原式
．
22．证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，
又∵∠BAC＝∠AEB，∠ABD+∠BAC+∠BDA＝180°，∠AEB+∠EBD+∠BHE＝180°，
∴∠BHE＝∠AHD＝∠ADH，∴AH＝AD；
（2）∵AH＝AD，G为DH中点，∴AG⊥BD，∵BD平分∠ABC，∴∠BAF＝∠BFA，
∴BA＝BF．又∵∠BAC＝80°，∠C＝40°，∴∠ABF＝60°，∴△ABF为等边三角形，
∴BA＝BF＝AF．
23．解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，则AE＝DB；
（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，
如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
则CD＝BC+DB＝3．里仁学校 2024—2025 学年（上）八年级期末考试 甲、乙两个工程队，甲队修路 400 米与乙队修路 600 400
嘉嘉： 20
600 米所用的时间相等，乙队每天比甲队多修 20 y y
数学试卷 米，求甲队每天修路的长度. 400 600淇淇：
x x 20
一．选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 下列判断正确的是（ ▲ ）
1．在第 19届杭州亚运会上，中国健儿勇于挑战，超越自我，共获得 201金 111银 71铜的骄 A．嘉嘉设的未知量是甲队每天修路的长度 B．淇淇设的未知量是乙队每天修路的长度
人战绩．在下列的运动标识中，是轴对称图形的是（ ▲ ） C．甲队每天修路的长度是 40米 D．乙队每天修路的长度是 40米
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以 A为圆心，任意长为半径画弧分别交 AB、
A． B． C． D． 1AC于点 M和 N，再分别以 M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点 P，
2
2．下列运算结果正确的是（ ▲ ）
连接 AP并延长交 BC于点 D，则下列说法中正确的个数是（ ▲ ）
A．x3 x4＝x12 B．x2+x3＝x C．x6÷x3＝x2 D．（﹣2x2）3＝﹣8x6
①AD是∠BAC的平分线 ②∠ADC＝60°
1 1 x2 1 3x y 3 1
3．在中 、、 、 、 、a ，分式的个数是（ ▲ ） ③点 D在 AB的垂直平分线上 ④S DAC：S ABC＝1：3．
x 2 2 x y m △ △ 第 9 题图
A．1 B．2 C．3 D．4
A．2 B．3 C．4 D．5
m n 10．如图 OP＝1，过点 P作 PP1⊥OP且 PP1＝1，得 OP1 2；再过点 P1作 P1P2⊥OP1且
4．将分式 2 2 中 m与 n的值同时扩大为原来的 2倍，分式的值（ ▲ ）m n
1 P1P2＝1，得 OP2 3；又过点 P2作 P2P3⊥OP2且 P2P3＝1，得 OP3＝2…依此法继续作
A．缩小为原来的 B．扩大 2倍 C．不变 D．无法确定
2
下去，得 OP4019等于（ ▲ ）
5．某校项目化学习小组研究“三角形周长”的课题，将 3根木棒首尾顺次相接围成一个三角
A． B． C． D．
形，其中两根木棒的长分别为 3cm和 4cm 4017 4018 4019 4020，则该三角形的周长可能是（ ▲ ）
A．8cm B．10cm C．14cm D．15cm 二．填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
第 10题图
2 1 m 11．因式分解：1﹣16a
4＝ ▲ ．
6．分式方程 的解为正数，则 m的取值范围（ ▲ ）
x 1 x 1
A．m＞﹣3 B．m＜3 C．m＞﹣3且 m≠﹣2 D．m＜3且 m 2 2x 1≠﹣ 12 0．若式子 x 有意义，则 x的取值范围是 ▲ ．
x 4
7．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长 AD至 E，使 AD＝DE，连接 BE，
13．△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线 DM交直线 BC于点 M，交 AB于点 D，若 CA
AB
△BDE的面积为 10，△ABC的面积是 13，则 的值为（ ▲ ）
AC ＝CM，则∠ABC的度数为 ▲ ．
10 13
A． B． C．3 D．2 14．窗棂是中国传统文化的一种元素，山西省晋中市常家庄园窗棂常见的几何形式有万字纹、
3 10
第 7题图
8．如图是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏
的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图 19．(8分)山西某中学为提升学生的劳动能力，开辟一块菜地供学生实践使用，为保护菜地，
案，若∠1+∠3+∠5＝156°，则∠2+∠4+∠6＝ ▲ ． 需要利用护栏将菜地圈起来，李老师以招募工人和发放劳动报酬的方式来完成该项工
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点 D在 AC边上，点 F在 AB边上，过点 D作 DE⊥BC， 作．小组的同学把“劳动基地菜地护栏建设”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实
垂足是 E，∠FED＝∠B，4∠FDE﹣∠A＝180°．下列结论：①2∠CDE＝∠A；②BC＝ 践调查，并形成了活动报告．请根据活动报告计算支付给工人的总费用．
BF+CD；③△DEF是等边三角形；④过点 D作 DM⊥DE，交 AB边于点 M，若 M是 AF 课题 劳动基地菜地护栏建设
的中点，DM＝3，则 BC＝9．其中正确的是 ▲ ． 调查方 走访调研、实地查看测量
式
测量过 调研内容 相关数据及说明：
程及计 及图示 ①护栏安装工作包括安装横杠和安装竖杠两部分，
第 14题图
第 15 题图 算 且要求所有的安装工作在一天内完成，安装横杠的
三．解答题（本题共 8 小题，共 75 分） 工人每人当天费用为 200元，安装竖杠的工人每人
0
16 (10 ) 1 3 2 1
2 3 2 当天费用为 240元．
． 分 （ ）计算： 2022 ． 2 2 3 1 ②共招募 6名工人，每名工人在相同的时间内安装
x 15
（2）解方程： 1 ． 横杠 2根或竖杠 3根，且每名工人只完成一项工作，
x 3 x2 9
要求两项安装任务同时开始，并在当天同时完成．
x217 (10 ) 2x 1 1 2x 4 1
1
． 分 先化简，再求值： ，其中2 2 x 2024
0 3 ．
x 1 x 1 x x 2 计算结果 …
18．(7分)广州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 BE＝0.5m，将它往前推 20.(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点 D在边 BC上，CD＝2BD，点 E，F在
2m至 C处时，水平距离 CD＝2m，踏板离地的垂直高度 CF＝1.5m，它的绳索始终拉直， 线段 AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．
求绳索 AC的长． （1）求证：AF＝BE；
（2）若△BDE的面积为 1.4，△ABC的面积为 18，求△CFD的面积．
21．(8分)阅读下列材料，然后解答下列问题： 23．(12 分)已知，在等边三角形 ABC中，点 E在 AB上，点 D在 CB的延长线上，且 ED＝
1 1 2 1 EC．
2 1 2 1；2 1 2 1 （1）【特殊情况，探索结论】
1 1 3 2 如图 1，当点 E为 AB的中点时，确定线段 AE与 DB的大小关系，请你直接写出结论：
3 2 ；3 2 3 2 3 2 AE ▲ DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
1 1 5 2 （2）【特例启发，解答题目】
5 2 5 2；5 2 5 2 如图 2，当点 E为 AB边上任意一点时，确定线段 AE与 DB的大小关系，请写出结论，并
以上这种化简的方法叫分母有理化． 说明理由。（提示：过点 E作 EF∥BC，交 AC于点 F）．
1 （3）【拓展结论，设计新题】
（1） ▲ ．
7 6 在等边三角形 ABC中，点 E在直线 AB上，点 D在线段 CB的延长线上，且 ED＝EC，若
1 △ABC的边长为 1，AE＝2，求 CD的长．
（2） （n为正整数）＝ ▲ ．
n 1 n
1 1 1 1（3）化简： ▲ ．
2 1 3 2 4 3 100 99
1 1 1 1
（4）化简下列式子的值： ．
3 1 5 3 7 5 99 97
22．(10 分)已知，如图△ABC，E是 BC上一点，∠BAC＝∠AEB＝α，△ABC角平分线 BD
交 AE于 H，G为 DH中点，延长 AG交 BC于 F．
（1）求证：AH＝AD；
（2）若α＝80°，∠C＝40°，求证：AF＝AB．
