17.3一元二次方程的根的判别式
一、单选题
1．关于x的一元二次方程3x2-2x＝x+1的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
2．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
3．如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．
4．一元二次方程2x2﹣5x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m＜1且m≠0 C．m≤1 D．m≤1且m≠0
二、填空题
6．若关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有实数根，则k的取值范围是
7．已知关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则 ．
8．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 ．
9．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为 .
10．若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值为．
11．若关于x的一元二次方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝ ．
三、计算题
12．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，请你写出一个满足条件的m值，并求出此时方程的根．
13．定义：若直线：与函数交于、两点，将叫做函数在直线上的弦长，且，其中叫做函数在直线上的截距．
（1）求出在轴上的截距；
（2）若直线过定点，抛物线在该直线上的弦长等于，求直线的解析式；
（3）若二次函数与反比例函数在第一象限交于点，在第三象限交于、两点．
若、两点的横纵坐标均为整数，请直接写出正整数的值；
若，求该二次函数在直线上的截距的取值范围．
四、解答题
14．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．
五、综合题
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a+2）x+2a+1＝0．
（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根：
（2）若该方程两个根x1，x2满足x12﹣x22＝0，求a的值
16．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．
17．已知关于x的方程
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）当k取何值时，方程有两个相等的实数根，并求出这两个根．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
6．【答案】k≤2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
7．【答案】16
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
8．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
9．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
10．【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
12．【答案】（1）
（2）取，，(答案不唯一)
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
13．【答案】（1）；
（2）；
（3）或；．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
14．【答案】（1）m＜2；（2）m=1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
15．【答案】（1）证明：△＝（2a+2）2﹣4×（2a+1）＝4a2，
∵a2≥0，
∴4a2＞0，
∴不论a取任何实数，该方程都有两个实数根
（2）解：x2﹣（2a+2）x+2a+1＝0，
（x﹣2a﹣1）（x﹣1）＝0，
x1＝2a+1，x2＝1，
∵x12﹣x22＝0，
∴（2a+1）2﹣12＝0，
解得：a＝0或a＝﹣1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
16．【答案】（1）解：∵Δ＝4(k－1)2－4k2≥0，∴－8k＋4≥0，∴k≤
（2）解：∵x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2，∴2(k－1)＝1－k2，
∴k1＝1，k2＝－3.
∵k≤ ，∴k＝－3.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
17．【答案】（1）解：
∵方程有两个不相等的实数根，
∴k 1≠0，即k≠1，且△＞0，即（-4）2 4×（k 1）×4＞0，
解得k＜2，则k＜2且k≠1，
∴k＜2且k≠1；
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
∴k 1≠0，即k≠1，且△＝0，即（-4）2 4×（k 1）×4＝0，
解得k＝2，
原方程变形为：x2 4x＋4＝0，
∴（x 2）2＝0，
∴x1＝x2＝2．
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