自贡市蜀光中学学校2024～2025学年度上期九年级期末考试
数 学
注意事项:
1.本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效;在试题卷、草稿纸上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
第I卷（选择题）
一、单选题（每题4分，共48分）
1．一副扑克牌中有“黑桃”、“红桃”、“梅花”、“方块”四种花色，其中外轮廓既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．当时，y随x的增大而增大
C．有最小值4 D．顶点坐标是
3．将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．福山气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着福山明天一定下雨
C．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5
5．已知是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
6．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些小球除颜色外都相同，小红通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．以上均不正确
7．明明在解关于x的方程时，抄错了a的符号，解出其中一个根是．则原方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有一个实数根是：
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
8．如图，已知抛物线（）的顶点坐标是，与x轴的两个交点是A，B，其中点B的坐标是，则下列结论正确的是：（ ）
A． B．
C．点A的坐标为 D．
9．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，半径为3的扇形AOB，∠AOB=120°，以AB为边作矩形ABCD交弧AB于点E，F，且点E，F为弧AB的四等分点，矩形ABCD与弧AB形成如图所示的三个阴影区域，其面积分别为，，，则为（ ）（取）
A． B． C． D．
12．如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标，半径为5，函数的图象被截得的弦的长为8，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知是一元二次方程，则 ．
14．关于的一元二次方程中，= ．
15．圆心角为，半径为3的扇形的面积为 ．
16．有五张正面分别标有，，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，将该数字加1记为b，则关于x的一元二次方程有解的概率为 ．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，，则阴影部分的面积为 ．
18．如图，的顶点O是坐标原点，点，点，点M是边上一动点，从O向A运动，连接，过点A作于点C，连接．当取得最小值时，的坐标是 ．
三、解答题（共78分）
19．（本题8分）解方程：
20．（本题8分）随着科技的进步，购物支付方式日益增多．为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据调查结果，绘制成如下统计图．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
(1)______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度；
(2)本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．
21．（本题8分）在小正方形边长为1的网格图中，画有△ABC，，，．
(1)画出以点为旋转中心，将△ABC沿顺时针方向旋转后的图形．
(2)若点坐标为，在图中画出相应的直角坐标系．
(3)若是点关于原点的对称点，则点的坐标为________．
22．（本题8分）如图，直角三角形中，，点为上一点，以为直径的上一点在上，且平分．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求的长．
23．（本题10分）为了迎接新年的到来，某商场销售一批拜年服，平均每天可售出40件，每件盈利60元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件拜年服每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
(1)写出商场每天的利润W元与每件拜年服降价x元之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）．
(2)若商场平均每天销售这种拜年服的盈利要达到3000元，则每件拜年服应降价多少元
(3)每件拜年服降价多少元时，商场每天盈利最多 最多盈利为多少元
24．（本题10分）如图，坡的坡度为，坡面长26米，，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡(请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：)．
(1)若修建的斜坡的坡角(即)恰为，则此时平台的长为多少米？
(2)坡前有一建筑物，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°，在坡底A点测得建筑物顶部H的仰角为60°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？
25．（本题12分）在矩形中，，，点从点出发沿边以的速度向点移动（点可以与点重合），同时，点从点出发沿以的速度向点移动（点可以与点重合），其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒．
(1)如图1，几秒后，的长度等于
(2)如图1，几秒后，△BPQ的面积等于四边形面积的
(3)若以为圆心，为半径作．如图2，若与四边形的边有三个公共点，则的取值范围为_____．（直接写出结果，不需说明理由）
26．（本题14分）已知抛物线与轴交于点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值；
(3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D D B C D D B D
题号 11 12
答案 A D
13．
14．
15．
16．
17．
18．
19．解：
..................................（2分）
..................................（5分）
∴，．..................................（8分）
20．（1）解：由统计图可得，本次调查的总人数为：，
，
，
在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为．
故答案为：20；18；36．..................................（3分）
（2）由题意得，用现金支付方式的居民共有5人，
用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，
用现金支付方式的居民里有名女性，..................................（4分）
设男性为、，女性为、、，列表得：
由列表可知，共有20种等可能的结果，恰好选到都是女性的情况有6种，.................（7分）
恰好都是女性的概率．
答：恰好都是女性的概率为．..................................（8分）
21．（1）解：如图，为所作；..................................（2分）
（2）解：如图；..................................（3分）
（3）解：如图，点的坐标为．
故答案为：．..................................（8分）
22．（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
∴，..................................（2分）
，
，
，
，
为半径，
是切线；..................................（4分）
（2）解：设，
在中，，，
，
由勾股定理，得：，
解得：，..................................（6分）
，
．..................................（8分）
23．（1）解：设每件拜年服降价x元，则每天多销售2x件，
根据题意得：W＝（60 x）（40＋2x）＝ 2x2＋80x＋2400，..................................（3分）
∴商场每天的利润W元与每件拜年服降价x元之间的函数关系式W＝ 2x2＋80x＋240；
（2）令W＝3000，则 2x2＋80x＋2400＝3000，
解得：x1＝10，x2＝30，
∵要扩大销售，减少库存，
∴每件拜年服应降价30元；..................................（6分）
（3）由（1）得：
W＝ 2x2＋80x＋2400＝ 2（x 20）2＋3200，..................................（8分）
∵ 2＜0，
∴x＝20时，W最大＝3200元．..................................（10分）
∴每件衬衫应降价20元时，商场平均每天盈利最多，每天最多盈利3200元．
24．（1）解：∵坡的坡度为，坡面长26米，D为的中点，
∴，，
∴，..................................（2分）
∴，，
∵，
∴，而，
∴，， ..................................（4分）
∴（米）； ..................................（5分）
则平台的长为7米；
（2）过点D作，垂足为P．
在中，，
同理可得：，
在矩形中，，，
在中， ，
∴， ..................................（8分）
∵，
∴ ，
解得：，
∴（米）， ..................................（10分）
答：建筑物高约为米．
25．（1）解：根据题意可得：，
，
，
，
解得：或（舍去），
后的长度等于；..................................（3分）
（2）解：根据题意可得：，
，，
，，..................................（4分）
，
的面积等于四边形面积的，
，
解得：或，..................................（7分）
1秒或2秒后，△BPQ的面积等于四边形面积的；
（3）解：当时，如图，与四边形有两个公共点，
，
如图，当经过点时，与四边形有两个公共点，则，
，
根据题意可得：，
，，
，，..................................（9分）
，，
，
解得：（舍）或，
当时，与四边形的边有三个公共点，
故答案为：．..................................（12分）
26．（1）解：∵抛物线与轴交于点，，
， ..................................（2分）
解得，
∴抛物线的解析式为；..................................（3分）
（2）设，直线为，据题意得，
，解得，
∴，..................................（4分）
联立得，
解得或，
∴，
设，直线为，据题意得，
，解得，
∴，..................................（6分）
联立得，
解得或，
∴， ..................................（8分）
，
，
∴；..................................（9分）
（3）设直线为，由得，
∴，
∴，
设，，
联立直线与抛物线，
得，
，
根据根与系数的关系可得：，，..................................（10分）
作点关于直线的对称点，连接，
由题意得直线，则，
∴，
过点作于F，则．
则，， ..................................（12分）
在中，
，
即当时，，此时，
故的最小值为．..................................（14分）
