2024-2025学年第一学期期末调研考试九年级数学试题
说明：
1．本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．
2．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效．
3．如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．一元二次方程的根是（ ）
A. x1＝0，x2＝1 B. x1＝0，x2＝﹣1 C. x1＝x2＝0 D. x1＝x2＝1
2．为筹备班级联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，然后决定买什么水果，最值得关注的应该是统计调查数据的（ ）
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数
3．⊙O的半径为5，同一个平面内有一点P，且OP=7，则P与⊙O的位置关系是（ ）
A．P在圆外 B．P在圆上 C．P在圆内 D．无法确定
4．寒假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（ ）
A. B. C. D.
5．已知二次函数，当﹣1≤x≤1时，函数y的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若，则的大小为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．20°
（第6题图） （第7题图） （第8题图）
7．如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB∶BC=1∶2，DF=6，则EF的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．某农场的粮食产量在两年内从3000吨增加到3630吨，若设平均每年增产的百分率为x，则所列方程为 ▲ ．
10．关于x的方程有两个相等实数根，则m的值为 ▲ ．
11．某公司全体员工年薪如表所示，则该公司全体员工年薪的中位数是 ▲ 万元．
年薪/万元 50 30 20 10 8 6 5
员工数/人 1 1 2 3 11 9 3
（第11题表） （第13题图）
12．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，则树高PQ= ▲ m．
13．圆锥的底面半径是4cm，母线长为5cm，则这个圆锥的侧面积是 ▲ cm （结果保留π）
14.如图是一个可以自由转动的转盘，如果转动一次转盘，转盘中阴影部分的扇形的圆心角度数为120°．则停止后指针指向阴影部分的概率是__▲__．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，已知∠ADC=2∠ACB，则∠ABC= ▲ °．
（第14题图） （第15题图）
16．已知点A、B、C在⊙O上，若∠AOC=100°，则∠ABC= ▲ °
17．已知A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）三点在二次函数图象上，则将y1，y2，y3按照从小到大的顺序排列为 ▲ ．
18．如图，一个由8个正方形组成的“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为 ▲ ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题满分8分）解方程：
（1）（x+1）（x﹣2）＝（x﹣2）； （2）．
20．（本题满分8分）某校七年级一班和二班各派出10名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：
跳绳成绩（个） 132 133 134 135 136 137
一班人数（人） 1 0 1 5 2 1
二班人数（人） 0 1 4 1 2 2
（1）两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表：
众数 中位数 平均数 方差
一班 a 135 135 c
二班 134 b 135 1.8
表中数据a＝ ▲ ，b＝ ▲ ，c＝ ▲ ；
（2）请用所学的统计知识，从两个不同的角度比较两个班跳绳比赛的成绩．
21．（本题满分8分）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为 ▲ ．
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
22.（本题满分8分）如图，学校准备修建一个面积为48 m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20 m的围栏．已知墙长9 m，问围成矩形的长和宽各是多少？
23.（本题满分10分）小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值．
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 3 4 3 0 -5 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）该二次函数的图象与直线y=n恒有两个交点A，B，请直接写出n的取值范围．
24．（本题满分10分）如图，在△ABC中，AC=4，∠B=66°，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，E为上一点，且∠EDC=40°．
（1）求的长；
（2）若∠DCE=74°，判断直线AB与⊙O的位置关系，
并说明理由．
25.（本题满分10分）某商场以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为60元时，月销量达到40件，现决定降价促销，提高利润，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加2件．
（1）求出月销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当售价定为何值时，该商品月销售利润最大，求最大利润．
26．（本题满分10分）如图，在等边三角形中，点P是边上一动点（P点不与端点重合），作，PE交边AC于点E，交边AB于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
27．（本题满分12分）阅读下面的问题及其解决途径．结合阅读内容，完成下面的问题．
（1）填写下面的空格．
问题：将函数的图像向左平移1个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是什么？ 解决途径： → →
（2）将函数的图像沿y轴翻折，所得到的图像对应的函数表达式为 ▲ ．
（3）将函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转180°，求所得到的图像对应的函数表达式．
28．（本题满分12分）如图，
（1）如图1，在矩形ABCD中，CE⊥BD于点H，交AD于点E．求证：；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=4，BC=9，CD=7．E是边AB上的一动点，过点C作CG⊥ED，交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F．试探究是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由；
（3）如图3，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，将△ABD沿BD翻折得到△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接CF，DE．若∠AED=∠AFC，且，则的值为 ▲ ．2024-2025 学年第一学期期末调研考试九年级数学试题
参考答案及评分建议
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答
不同，参照本评分标准的精神酌情给分.
一、选择题（本大题共有 8小题，每小题 3分，共 24分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A B D B C C
二、填空题（本大题共有 10小题，每小题 3分，共 30分）
9．3000 1 x 2 3630 10．1 11．8 12．6 13． 20
1 20
14. 15.60 16．50 或 130 17． y
3 2
y3 y1 18． 1313
三、解答题（本大题共有 10小题，共 96分）
19．（1）解：（x+1）（x﹣2）＝（x﹣2），
（x+1）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x+1﹣1）（x﹣2）＝0，
解得 x1＝0，x2＝2．………………………………………4分
（2）解： 2 + 6 = 4
2 + 6 + 9 = 4+ 9
+ 3 2 = 5………………………………………6分
∴x + 3 =± 5
∴ 1 = 3+ 5， 2 = 3 5………………………………………8分
20．解：（1）a＝135，b＝134.5，c＝1.6； ………………………………………6 分
（2） ①从众数（或中位数）来看，一班成绩比二班要高，所以一班的成绩好于二班；
②一班和二班的平均成绩相同，说明他们的水平相当；
③一班成绩的方差小于二班，说明一班成绩比二班稳定．………………………………………8 分
1
21．解：（1） ………………………………………3分
4
（2）如图，画树状图如下：
第 1 页 （共 6 页）
{#{QQABIYQEggAAAhBAABhCEQXQCkMQkBGAAagGQAAYsAIAyBNABAA=}#}
………………………………………5分
所有可能的结果数为 16个，第 2次摸到的小球编号比第 1次摸到的小球编号大 1的结果数为
3个
3
∴第 2次摸到的小球编号比第 1次摸到的小球编号大 1的概率为： ．……………………8分
16
22.解：设宽为 x m，则长为 (20 2x)m． ………………………………………1 分
由题意，得 x (20 x) 48， ………………………………………………3 分
解得 x1 4， x2 6． ………………………………………………5 分
当 x 4时，20 2 4 12 9 （舍去）， ……………………………………………6 分
当 x 6时，20 2 6 8． ……………………………………………7 分
答：围成矩形的长为 8 m、宽为 6 m． ………………………………………8 分
23．解：（1）由列表可知，该二次函数的图象经过点（ 2，3），（0，3）．
∴该二次函数的图象的对称轴为 x= 1，顶点坐标为（ 1,4）． …………………2 分
设该二次函数的表达式为
y=a(x + 1)2+4．…………………………………4 分
把（0，3）代入，得 a+4=3．
解得 a= 1．
∴该二次函数的表达式为 y= (x + 1)2+4．………………………………………6 分
（2）n<4． ………………………………………10 分
24．（1）解：连接OE,
Q EDC 40 ,
COE 2 EDC 80 ,
AC 4， AC为直径，
OC 2,
80 2 8
∴C E的长 ；………………………………………5分180 9
（2）直线 AB与 O相切，
理由：连接OD，
Q CDE 40 , DCE 74 ,
CED 180 40 74 66 ,
COD 2 DEC 132 ,
OD OC,
ACB 1 180 COD 1 180 132 24 ,
2 2
Q B 66 ,
第 2 页 （共 6 页）
{#{QQABIYQEggAAAhBAABhCEQXQCkMQkBGAAagGQAAYsAIAyBNABAA=}#}
BAC 180 66 24 90 ,
∵ AC是 O的直径，
∴直线 AB与 O相切．………………………………………10分
25.解：（1）解：∵该商品每降 1元，销售量增加 2件
∴设 y 与 x之间的函数关系式为 y 2x b，
∵当商品售价为 60元时，月销量达到 40件，
∴ 40 2 60 b，
∴b 160，
∴月销售量 y（件）与售价 x（元）之间的关系式为 y 2x 160；………………………3分
∵ y 0，
∴ 2x 160 0，
∴ x 80，
∵某商场以每件 30元的进价购进一批商品，
∴30 x 80，…………………………2分
（2）设该商品月销售利润为w，
w (x 30)y (x 30)( 2x 160) 2x2 220x 4800
2 0
开口向下，
x 220在 55 w2 2 时， 有最大值，
把 x 55代入 w 2x2 220x 4800 2 552 220 55 4800 1250
当售价定为 55元时，利润最大，最大利润为 1250元．…………………………………10分
26．解：（解：（1）证明：∵VABC是等边三角形，
∴ B C 60 ，
∴ BDP 180 B BPD 120 BPD，
∵ DPE 60 ，
∴ CPE 180 DPE BPD 120 BPD，
∴ BPD CEP，
∴ BPD∽ CEP；………………………………………5分
（2）解：∵ AC 10，BD 3，BP :CP 4 :1，
∴ BC AB 10，
4 4 4 1 1 1
∴BP BC BC 10 8，CP BC BC 10 2，
1 4 5 5 1 4 5 5
∵ BPD∽ CEP，
BP BD
∴ ，
CE CP
∴CE
BP CP 8 2 16
，
BD 3 3
16
∴CE的长是 ．………………………………………10分
3
6
27．（1） x 1，y， y x 1 ………………………………………3分
（2）设函数 y 2x2 3x 1的图象的任意点 P坐标为 x, y ，将 P关于 y 轴翻折后得到
第 3 页 （共 6 页）
{#{QQABIYQEggAAAhBAABhCEQXQCkMQkBGAAagGQAAYsAIAyBNABAA=}#}
P ( x，y)，………………………………………4分
∴翻折后的图象对应的函数表达式为 y 2( x)2 3( x) 1 2x2 3x 1．
故答案为： y 2x2 3x 1．………………………………………7分
（3）方法一
设变换后新的函数图像上任意点 P的坐标为 x, y ．
将点 P x, y 绕原点旋转180 ，得点P ( x， y)．………………………………………8分
将点 P ( x， y)沿 y 轴翻折，得点 P (x， y)．………………………………………9分
将点 P (x， y)向右平移1个单位长度，得点 P (x 1， y)．…………………………10分
因为点 P 在函数 y ax2 bx c的图像上，
所以 y a(x 1)2 b(x 1) c ．………………………………………11分
即所得到的图像对应的函数表达式是
y ax2 (2a b)x a b c ．………………………………………12分
方法二
2
y a x b 4ac b
2
原函数可化为 ．
2a 4a
2
y a x b 4ac b
2
将 函 数 的 图 像 向 左 平 移 1 个 单 位 长 度 ， 得 函 数
2a 4a
b 2y a x 1 4ac b
2
的图像．
2a 4a
y b
2 4ac b 2
将 函 数 a x 1
的 图 像 沿 y 轴 翻 折 ， 得 函 数
2a 4a
b 2 4ac b 2y a x 1 的图像．
2a 4a
2
y a x b 1 4ac b
2
将 函 数 的 图 像 绕 原 点 旋 转 180° ， 得 函 数
2a 4a
第 4 页 （共 6 页）
{#{QQABIYQEggAAAhBAABhCEQXQCkMQkBGAAagGQAAYsAIAyBNABAA=}#}
2 2
y a x b 4ac b 1
的图像．
2a 4a
2
y a x b 1 4ac b
2
∴所得到的图像对应的函数表达式是 2a 4a
28．（1）解：∵四边形 ABCD为矩形，
∴ ADC DCB 90 ，
∵CE BD，
∴ DBC BCH BCH ECD 90 ，
∴ DBC ECD，
∴ CED∽ BDC，
CE CD
∴ BD BC ；………………………………………4分
CF
（2） DE 是定值，
如下图，过点C作CH AF交 AF 延长线于点 H ，
∴ A B H 90 ，
∴四边形 ABCH 为矩形，
∴ AB CH ， BC AH ，
∵ GFD HFC， GDF ADE，
又∵ GFD GDF HFC HCF，
∴ ADE HCF，
∵ A H ，
∴ DEA∽ CFH ，
CF CH
∴ DE AD ，
∵BC 9，CD 7， AD 4，
∴DH AH AD BC AD 5，
2 2
∴CH CD DH 2 6，
CF CH 2 6 6
∴ DE AD 4 2 ，
CF 6
∴ DE 为定值 2 ；………………………………………8分
（3）如下图，过点C作CG AD于点G，交 BD于点 H ，作HM CD于点M ，
∴ CGF A 90 ，
∴CG∥AB，
∴ ABD GHD，
∵ AED AFC， CGF A，
∴ AED∽ GFC，
CF CG 3
∴ DE AD 5，
第 5 页 （共 6 页）
{#{QQABIYQEggAAAhBAABhCEQXQCkMQkBGAAagGQAAYsAIAyBNABAA=}#}
∵将△ABD沿 BD翻折得到△CBD，
∴ AD CD， ADB CDB，
设GC 3x，则 AD CD 5x，
∴DG CD
2 CG2 4x，
∵HG AD，HM CD， ADB CDB，
∴HG HM，
S
∵ HDG
S CHD S CDG ，
1
4x HG 1 5x HM 1 3x 4x
即 2 2 2 ，
HG 4x
∴ 3 ，
∵CG∥AB，
∴ DGH∽ DAB，
DG HG
∴ AD AB
AD DG 4x
3
AB HG 4 x
∴ 3 ．………………………………………12分
第 6 页 （共 6 页）
{#{QQABIYQEggAAAhBAABhCEQXQCkMQkBGAAagGQAAYsAIAyBNABAA=}#}
