2025河北版数学中考专题
第六模块 圆
第1讲 与圆有关的概念及性质
课时1
基础练
1．[2024张家口一模]如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出的圆的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
2．[2024张家口宣化一模]如图，内接于，是的直径， ，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．[2024石家庄十八县模拟]如图，点在以为直径的圆上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4．[2023石家庄摸底]如图，，为的两条弦，连接，，点为延长线上一点，若 ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5．[2024石家庄裕华模拟改编]如图，内接于，是的直径， ，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
6．[2024石家庄模拟]如图，，为的两条弦，、分别为，的中点，的半径为2．若 ，则的长为（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
7．[2024石家庄新华一模]如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，若， ，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
8．[2024沧州一模]一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，垂直于轴的截面是个半径为的圆，如图所示，杯内水面，则水的最大深度是______．
【答案】2
提升练
9．[2024石家庄桥西模拟]如图，菱形中，对角线，交于点， ，以为圆心，为半径作，与交于点，点为上异于点，的一点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
10．[2024九地市模拟]如图，中，，，以为直径的分别交，于点，，连接，则的长为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】连接，
为直径，，
，.
由四边形内接于，可知，又，
，，
即,．
11．[2024邯郸武安二模]如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，连接，，，过点作，交的延长线于点．设的面积为，的面积为，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过点C作于，
,，
.
，，
，，
，即，
设，则，
，
则，
，
.故选A．
12．[2024邯郸十三中二模]如图，量角器的直径与直角三角尺的斜边重合，其中量角器零度刻度线的端点与点重合，射线从处出发，沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第35秒时，点在量角器上对应的读数是____度．
【答案】140
13．[2024衡水模拟]如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，其所在圆的圆心为，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处离地面的高度为.在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度相等，都为.
（1） 求圆弧形拱顶的半径的长度；
（2） 求的长度.
【解析】
（1）设分别交，于，,连接，设半径为.由题意，知，，，,，在中，，即,解得，故圆弧形拱顶的半径为.
（2）连接，由题意可知，，在中，，，，即的长度为.
课时2
基础练
1．[2024石家庄裕华二模]如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，的半径为1，圆心在格点上，则等于（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
2．[2024石家庄十八县模拟]如图，是的直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．[2024衡水模拟]如图，在中，弦，若 ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4．[2024石家庄十八县一模]如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、，则的外接圆的圆心坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5．[2024石家庄裕华一模]如图，点、、在上，，连接并延长，交于点，连接，.若 ，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6．[2024沧州任丘一模]如图，点是中优弧的中点， ，为劣弧上一点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7．[2024沧州一模]如图，圆内接四边形中， ，连接，，，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
8．[2024邯郸邱县一模]如图，点是的六等分点．若，的周长分别为，，面积分别为，，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接,,,
点是的六等分点，
,, ,
,是等边三角形，
,故D正确，C不正确;
和有两条边相等，一条边是2倍关系，且,故A、B不正确.故选D.
9．[2022沧州一模]将量角器按如图所示的方式放置，点、、在一条直线上，点在 刻度线处，点在 刻度线处.
（1） ____ （填“ ”“ ”或“”）；
（2） 已知量角器（看作半圆）的半径为，点到量角器中心的距离为，则________.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（2） 过点作于点，和是直角三角形. ，，，，又，，.
提升练
10．[2024邯郸广平模拟]如图，是的一条弦，是上一动点（不与点，重合），，分别是，的中点．若， ，则长度的最大值为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】B
11．[2023石家庄质检]如图，是半圆的直径，、、三点依次在半圆上，若 ， ，则 与 之间的关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
12．[2024石家庄正定一模]、、、四点在上的位置如图，其中对应的圆心角为 ，且，．若在上取一点，在上取点，使 ，则下列叙述正确的是 （ ）
A. 在上，且的长的长
B. 在上，且的长的长
C. 在上，且的长的长
D. 在上，且的长的长
【答案】B
【解析】连接，，，,,由题得 ，
，，
.
在下方的圆周上取一点,连接，， ，
.
取的中点，连接，,
则 ，
，
在上，且的长的长.
13．[2022四川宜宾]我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为____.
【答案】289
【解析】设四个全等的直角三角形中,较长的直角边的长为,较短的直角边的长为,为斜边的长,
由直角三角形的内切圆半径为3,
结合角平分线的性质易得,即,
小正方形的面积为49，,又,,
,.,
,
解得或（舍去）,
大正方形的面积为.
14．[2024邯郸模拟]装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆,,如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，,半圆与相切于水槽最低点.如图1，初始情况下,重合， .
图1 图2
（1） 求圆心到水面的距离.
（2） 探究图1中的水槽沿向右无滑动地滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，此时,重合，如图2.
① 求水位下降的高度；
② 求圆心移动的距离，并比较圆心移动的距离与半径的大小.
【解析】
（1） 在题图1中，设与交于,,,由题意得,,.在中，, ,，即圆心到水面的距离为.
（2） ① 在题图2中，设与的交点为,,.同（1）知,.在中,,,, 水位下降的高度为.
② 在题图2中连接,则,
, , , .由题意可得点移动的距离为的长， 点移动的距离为， 圆心移动的距离大于半径.
第2讲 与圆有关的位置关系
基础练
1．[2024河北一模]如图，过上一点作的切线，可以作（ ）
A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条
【答案】B
2．[2023重庆B]如图，为的直径，直线与相切于点，连接，若 ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
3．[2023四川眉山]如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若 ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4．[2024邯郸十三中模拟]如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角 为 ，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5．[2023北京]如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若 ，，则线段的长为______．
【答案】
6．[2024河北模拟]如图，在中， ，，，点是的中点，点是射线上一点，以点为圆心，为半径作．
（1） ______；
（2） 若与边相切，则________．
【答案】（1） 8
（2）
7．[2024邯郸模拟]如图，是的直径，点是弧的中点，过点作于点，连接.
（1） 判断与的位置关系，并证明；
（2） 若，，求的半径．
【解析】
与相切.证明：连接， 点是弧的中点，，，，，，
为半径，是圆的切线.
（2） 连接，是的直径， ，在中，，.设，则，，，，的半径为5．
提升练
8．[2024唐山一模]如图，是半圆的直径，点、将弧分成相等的三段弧，点在的延长线上，连接.三个人给出以下说法：
甲：若为半圆的切线，则 ；
乙：连接、，则 ；
丙：连接、，则.
三位同学给出的说法正确的是（ ）
A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有甲
【答案】C
9．[2024保定竞秀一模]如图，已知及外一定点，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：
①点是的中点；
②直线，都是的切线；
③点到点、的距离相等；
④连接，，，，，则．
对上述结论描述正确的是（ ）
A. 只有①正确 B. 只有②正确
C. ①②③正确 D. ①②③④都正确
【答案】C
【解析】如图.
由第一步作图痕迹可知直线是的垂直平分线，因此点A是的中点，故①正确；
是的直径，
，
，， 直线，都是的切线，故②正确；
根据切线长定理，可知，故③正确；
，，，
，，
,
点A是的中点，
，故④错误．故选C.
10．[2024石家庄十八县模拟]如图，在中， ，．是的内切圆，分别与，，相切于点，，．
（1） __ ；
（2） 若，则________．
【答案】（1） 60
（2）
【解析】
（2） ， ，，，连接，,则，，易证四边形为正方形，.设，则，，，解得,即．
11．[2024廊坊一模]如图是汽车前轮的截面示意图，已知轮胎的半径为，轮胎的最高点比汽车底盘高，轮胎与地面接触的长度．
（1） 求汽车底盘到地面的距离．
（2） 现计划在处加装挡泥板．当车辆行驶时，泥沙会从点处沿切线向后甩出．若轮胎中心到的水平距离是，求挡泥板至少要多长才能挡住泥沙．
【解析】
（1）如图，连接并延长交于点，
则，，连接，则， 汽车底盘到地面的距离为.答：汽车底盘到地面的距离为.
过点作 地面于点，过点作的切线交于点，则，的长即为长度的最小值. ，
又 ，，，，到的水平距离是，，即，，.
答：挡泥板至少要才能挡住泥沙．
第3讲 与圆有关的计算
基础练
1．[2024石家庄十八县一模]如图，四边形内接于，的半径为3， ，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．[2024沧州模拟]如图，为的直径，射线交于，为劣弧的中点，连接.若 ，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
3．[2023黑龙江牡丹江]用一个圆心角为 ，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】C
4．[2024邯郸模拟]如图，在中，， ，以为直径作圆，交于点，交于点，则弧的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5．[2024河北一模]如图，、、、均为圆周上的十二等分点，若用直尺测量弦的长时，发现点、点分别与刻度1和4对齐，则、两点间的距离是（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】C
【解析】设圆心为，连接,,，由题意可知，是的直径，, ，
，
在中，，
，．
6．[2024邯郸模拟]在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，以为直径作半圆，其中，是半圆与正方形网格的两个交点．
（1） 与是否垂直？__（填“是”或“否”）.
（2） 的长为________．
【答案】（1） 是
（2）
7．[2024邯郸十三中二模]水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明从摩天轮底部出发开始观光.
（1） 小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______；
（2） 在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于，两点），求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）和直线距离（线段的长）（结果保留）
【解析】
（1） 101.
（2） 由题意可知每相邻两个座舱之间的劣弧所对的圆心角为 ， ，，的长为.连接， 且，为等边三角形，．答：两人所在座舱在摩天轮上的距离为，直线距离为．
提升练
8．[2024邯郸模拟]如图，是圆锥的顶点，是圆锥底面的直径，是的中点．在圆锥的侧面上过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆锥侧面沿剪开，所得圆锥的侧面展开图可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
9．[2024邯郸邱县二模]如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，,,,是四个格点（小正方形的顶点），经过,,三点的圆弧与交于点.
结论Ⅰ：点是线段的中点，同时也是的中点；
结论Ⅱ：阴影部分的面积为.
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对
C. Ⅰ不对Ⅱ对 D. Ⅰ对Ⅱ不对
【答案】A
【解析】连接,,
,,,
,,
是等腰直角三角形，且 , .
易知 ,即,
点为的中点，
,
,,
点是线段的中点，同时也是的中点，故结论Ⅰ正确.
由图可知弧与弦所围成的弓形面积等于阴影部分的面积，
,
，故结论Ⅱ正确.
10．[2024张家口宣化一模]如图，的周长为20，的半径为1，从与相切的点的位置出发，在外部，按顺时针方向沿三角形作无滑动滚动，当滚动一周又回到点的位置时，圆心运动的路径长度____（填“ ”“ ”或“”）三角形的周长，运动路径的长度为__________．
【答案】；
【解析】如图，四边形、四边形、四边形都是矩形，
根据题意可知，圆心的运动路径长度为线段、、及、、的长度的和.
，，，
圆心运动路径的长度大于的周长.
，
，
、、的长度和等于一个半径为1的圆的周长，即 ，
，
圆心运动路径的长度为 ．
11．[2024河北一模]图1为某游乐场“海盗船”未启动时的示意图，船体为，为地面，为转轴，为船最中间的位置，与交于点，测得，米，转轴到地面的高度为13米．
图1
（1） 直接写出与的位置关系并求未启动时点到地面的高度.
（2） “海盗船”启动后，当或转到与同一高度时开始折返，如图2，船体转到了（与在同一高度）的位置时，船体旋转了多少度？
（3） 从在最高点到在最高点的过程中，求点运动的路径长度．
图2
【解析】
（1） .由题意知米，，米，则米，米. 未启动时到地面的高度为（米）．
（2） 由题意知 ，，， ， ，即船体旋转了 ．
（3） 由（2）可知从在最高点到在最高点，船体旋转了 ，则点运动的路径长度为 （米）．
第六模块检测卷
一、选择题
1．[2023石家庄一模]如图，用直角曲尺检查制作成半圆形的工件，则合格的工件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
2．[2024张家口一模]如图，传送带的一个转动轮的半径为，当转动轮转 时，传送带上的物品被传送，则为（ ）
A. 90 B. 108 C. 120 D. 无法判断
【答案】B
3．[2023秦皇岛一模]一个圆锥的底面圆的半径是，其侧面展开图的圆心角是 ，则圆锥的母线长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4．[2024石家庄十八县模拟]如图，的三个顶点都在的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将绕点顺时针旋转到的位置，且点、落在格点上，则线段扫过的图形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．[2024保定、张家口一模]如图是及其内接正四边形和内接正五边形，且点在，之间，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6．[2023保定模拟]是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧.甲、乙、丙三种不同的作法如图所示：
作法正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
7．如图，在中， ， ，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
8．[2024河北一模]三角尺（含 角）、量角器和直尺如图摆放，三角尺的斜边与半圆相切于点，点、、分别与直尺的刻度1、9、19重合，则三角尺的直角边的长为（ ）
A. B. C. 5 D. 6
【答案】D
二、填空题
9．[2023邢台一模]如图，已知点、在圆上，连接、，过点作圆的切线，若 ，则直线与直线相交所得的锐角度数为________.
【答案】
10．[2024沧州一模]如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则的值为________．
【答案】
11．[2023石家庄质检]如图①，冰淇淋的外壳（不计厚度）可近似地看作圆锥，其母线长为，底面圆的直径为.
（1） 这个冰淇淋外壳的侧面展开图的形状是____；
（2） 当冰淇淋被吃掉一部分后，其外壳仍可近似地看作圆锥，如图②，其母线长为，则此时冰淇淋外壳的侧面积为________.
【答案】（1） 扇形
（2）
三、解答题
12．[2024河北一模]如图，是半圆的直径，点为半圆上一点（不与点,重合），点是的中点，过点作半圆的切线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1） 判断与的位置关系，并说明理由；
（2） 若， ，求与线段的长度，并比较二者的大小．
【解析】
（1） .理由：连接，，是半圆的切线，，即 ． 点是的中点，，， ，即.
（2） ， ，， ，的长为 .， ， ． ，，. ，的长度大于线段的长度．
13．[2024张家口一模]如图，点在数轴上对应的数是，以原点为圆心，的长为半径作优弧，点在原点左上方，且，点为的中点，点在数轴上对应的数为4．
（1） 求扇形的面积；
（2） 点是优弧上任意一点，求的最大值．
【解析】
（1） ， ，，．
（2） 当与相切时，的值最大．如图，不妨设点在数轴上方，连接，.
是的切线，， ，， ，即的最大值为 ．
14．[2024邯郸广平模拟]如图，为外一点，线段交于点，，，的半径为5，点在上，连接,．
（1） 当的面积最大时，求的长；
（2） 当与相切时，求的长．
【解析】
（1）连接并延长交于点，连接，当时，的面积最大，如图所示，
，，，则.
（2）不妨设点在下方，连接并延长交于点，连接,,易知 ， ，
又， .是的切线，， ， ，，，，，，．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2025河北版数学中考专题
第六模块 圆
第1讲 与圆有关的概念及性质
课时1
基础练
1．[2024张家口一模]如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出的圆的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．[2024张家口宣化一模]如图，内接于，是的直径， ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024石家庄十八县模拟]如图，点在以为直径的圆上，则（ ）
A． B． C． D．
4．[2023石家庄摸底]如图，，为的两条弦，连接，，点为延长线上一点，若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．[2024石家庄裕华模拟改编]如图，内接于，是的直径， ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．[2024石家庄模拟]如图，，为的两条弦，、分别为，的中点，的半径为2．若 ，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
7．[2024石家庄新华一模]如图，的直径的延长线与弦的延长线交于点，若， ，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．[2024沧州一模]一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，垂直于轴的截面是个半径为的圆，如图所示，杯内水面，则水的最大深度是______．
提升练
9．[2024石家庄桥西模拟]如图，菱形中，对角线，交于点， ，以为圆心，为半径作，与交于点，点为上异于点，的一点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．[2024九地市模拟]如图，中，，，以为直径的分别交，于点，，连接，则的长为（ ）
第10题图
A．1 B． C．2 D．
11．[2024邯郸武安二模]如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，连接，，，过点作，交的延长线于点．设的面积为，的面积为，若，则的值为（ ）
第11题图
A． B． C． D．
12．[2024邯郸十三中二模]如图，量角器的直径与直角三角尺的斜边重合，其中量角器零度刻度线的端点与点重合，射线从处出发，沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第35秒时，点在量角器上对应的读数是____度．
13．[2024衡水模拟]如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，其所在圆的圆心为，隧道的水平宽为，离地面的高度，拱顶最高处离地面的高度为.在拱顶的，处安装照明灯，且，离地面的高度相等，都为.
（1） 求圆弧形拱顶的半径的长度；
（2） 求的长度.
课时2
基础练
1．[2024石家庄裕华二模]如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，的半径为1，圆心在格点上，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
2．[2024石家庄十八县模拟]如图，是的直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．[2024衡水模拟]如图，在中，弦，若 ，则的度数为（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．[2024石家庄十八县一模]如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、，则的外接圆的圆心坐标是（ ）
第4题图
A． B． C． D．
5．[2024石家庄裕华一模]如图，点、、在上，，连接并延长，交于点，连接，.若 ，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．[2024沧州任丘一模]如图，点是中优弧的中点， ，为劣弧上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．[2024沧州一模]如图，圆内接四边形中， ，连接，，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．[2024邯郸邱县一模]如图，点是的六等分点．若，的周长分别为，，面积分别为，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．[2022沧州一模]将量角器按如图所示的方式放置，点、、在一条直线上，点在 刻度线处，点在 刻度线处.
（1） ____ （填“ ”“ ”或“”）；
（2） 已知量角器（看作半圆）的半径为，点到量角器中心的距离为，则________.
提升练
10．[2024邯郸广平模拟]如图，是的一条弦，是上一动点（不与点，重合），，分别是，的中点．若， ，则长度的最大值为（ ）
第10题图
A．2 B． C．4 D．
11．[2023石家庄质检]如图，是半圆的直径，、、三点依次在半圆上，若 ， ，则 与 之间的关系是（ ）
第11题图
A． B．
C． D．
12．[2024石家庄正定一模]、、、四点在上的位置如图，其中对应的圆心角为 ，且，．若在上取一点，在上取点，使 ，则下列叙述正确的是 （ ）
A．在上，且的长的长
B．在上，且的长的长
C．在上，且的长的长
D．在上，且的长的长
13．[2022四川宜宾]我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为____.
14．[2024邯郸模拟]装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆,,如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，,半圆与相切于水槽最低点.如图1，初始情况下,重合， .
图1 图2
（1） 求圆心到水面的距离.
（2） 探究图1中的水槽沿向右无滑动地滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，此时,重合，如图2.
① 求水位下降的高度；
② 求圆心移动的距离，并比较圆心移动的距离与半径的大小.
第2讲 与圆有关的位置关系
基础练
1．[2024河北一模]如图，过上一点作的切线，可以作（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
2．[2023重庆B]如图，为的直径，直线与相切于点，连接，若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．[2023四川眉山]如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．[2024邯郸十三中模拟]如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角 为 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．[2023北京]如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若 ，，则线段的长为______．
第5题图
6．[2024河北模拟]如图，在中， ，，，点是的中点，点是射线上一点，以点为圆心，为半径作．
第6题图
（1） ______；
（2） 若与边相切，则________．
7．[2024邯郸模拟]如图，是的直径，点是弧的中点，过点作于点，连接.
（1） 判断与的位置关系，并证明；
（2） 若，，求的半径．
提升练
8．[2024唐山一模]如图，是半圆的直径，点、将弧分成相等的三段弧，点在的延长线上，连接.三个人给出以下说法：
甲：若为半圆的切线，则 ；
乙：连接、，则 ；
丙：连接、，则.
三位同学给出的说法正确的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有甲
9．[2024保定竞秀一模]如图，已知及外一定点，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：
①点是的中点；
②直线，都是的切线；
③点到点、的距离相等；
④连接，，，，，则．
对上述结论描述正确的是（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确
C．①②③正确 D．①②③④都正确
10．[2024石家庄十八县模拟]如图，在中， ，．是的内切圆，分别与，，相切于点，，．
（1） __ ；
（2） 若，则________．
11．[2024廊坊一模]如图是汽车前轮的截面示意图，已知轮胎的半径为，轮胎的最高点比汽车底盘高，轮胎与地面接触的长度．
（1） 求汽车底盘到地面的距离．
（2） 现计划在处加装挡泥板．当车辆行驶时，泥沙会从点处沿切线向后甩出．若轮胎中心到的水平距离是，求挡泥板至少要多长才能挡住泥沙．
第3讲 与圆有关的计算
基础练
1．[2024石家庄十八县一模]如图，四边形内接于，的半径为3， ，则的长是（ ）
第1题图
A． B． C． D．
2．[2024沧州模拟]如图，为的直径，射线交于，为劣弧的中点，连接.若 ，，则阴影部分的面积为（ ）
第2题图
A． B． C． D．
3．[2023黑龙江牡丹江]用一个圆心角为 ，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．[2024邯郸模拟]如图，在中，， ，以为直径作圆，交于点，交于点，则弧的长是（ ）
第4题图
A． B． C． D．
5．[2024河北一模]如图，、、、均为圆周上的十二等分点，若用直尺测量弦的长时，发现点、点分别与刻度1和4对齐，则、两点间的距离是（ ）
第5题图
A． B． C． D．6
6．[2024邯郸模拟]在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，以为直径作半圆，其中，是半圆与正方形网格的两个交点．
（1） 与是否垂直？__（填“是”或“否”）.
（2） 的长为________．
7．[2024邯郸十三中二模]水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了24个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明从摩天轮底部出发开始观光.
（1） 小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______；
（2） 在小明进座舱后间隔3个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于，两点），求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）和直线距离（线段的长）（结果保留）
提升练
8．[2024邯郸模拟]如图，是圆锥的顶点，是圆锥底面的直径，是的中点．在圆锥的侧面上过点，嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆锥侧面沿剪开，所得圆锥的侧面展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
9．[2024邯郸邱县二模]如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1，,,,是四个格点（小正方形的顶点），经过,,三点的圆弧与交于点.
结论Ⅰ：点是线段的中点，同时也是的中点；
结论Ⅱ：阴影部分的面积为.
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
10．[2024张家口宣化一模]如图，的周长为20，的半径为1，从与相切的点的位置出发，在外部，按顺时针方向沿三角形作无滑动滚动，当滚动一周又回到点的位置时，圆心运动的路径长度____（填“ ”“ ”或“”）三角形的周长，运动路径的长度为__________．
11．[2024河北一模]图1为某游乐场“海盗船”未启动时的示意图，船体为，为地面，为转轴，为船最中间的位置，与交于点，测得，米，转轴到地面的高度为13米．
图1
（1） 直接写出与的位置关系并求未启动时点到地面的高度.
（2） “海盗船”启动后，当或转到与同一高度时开始折返，如图2，船体转到了（与在同一高度）的位置时，船体旋转了多少度？
（3） 从在最高点到在最高点的过程中，求点运动的路径长度．
图2
第六模块检测卷
一、选择题
1．[2023石家庄一模]如图，用直角曲尺检查制作成半圆形的工件，则合格的工件是（ ）
A． B．
C． D．
2．[2024张家口一模]如图，传送带的一个转动轮的半径为，当转动轮转 时，传送带上的物品被传送，则为（ ）
A．90 B．108 C．120 D．无法判断
3．[2023秦皇岛一模]一个圆锥的底面圆的半径是，其侧面展开图的圆心角是 ，则圆锥的母线长是（ ）
A． B． C． D．
4．[2024石家庄十八县模拟]如图，的三个顶点都在的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将绕点顺时针旋转到的位置，且点、落在格点上，则线段扫过的图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．[2024保定、张家口一模]如图是及其内接正四边形和内接正五边形，且点在，之间，则（ ）
A． B． C． D．
6．[2023保定模拟]是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧.甲、乙、丙三种不同的作法如图所示：
作法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图，在中， ， ，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
8．[2024河北一模]三角尺（含 角）、量角器和直尺如图摆放，三角尺的斜边与半圆相切于点，点、、分别与直尺的刻度1、9、19重合，则三角尺的直角边的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
二、填空题
9．[2023邢台一模]如图，已知点、在圆上，连接、，过点作圆的切线，若 ，则直线与直线相交所得的锐角度数为________.
10．[2024沧州一模]如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点，，在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心，则的值为________．
第10题图
11．[2023石家庄质检]如图①，冰淇淋的外壳（不计厚度）可近似地看作圆锥，其母线长为，底面圆的直径为.
第11题图
（1） 这个冰淇淋外壳的侧面展开图的形状是____；
（2） 当冰淇淋被吃掉一部分后，其外壳仍可近似地看作圆锥，如图②，其母线长为，则此时冰淇淋外壳的侧面积为________.
三、解答题
12．[2024河北一模]如图，是半圆的直径，点为半圆上一点（不与点,重合），点是的中点，过点作半圆的切线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1） 判断与的位置关系，并说明理由；
（2） 若， ，求与线段的长度，并比较二者的大小．
13．[2024张家口一模]如图，点在数轴上对应的数是，以原点为圆心，的长为半径作优弧，点在原点左上方，且，点为的中点，点在数轴上对应的数为4．
（1） 求扇形的面积；
（2） 点是优弧上任意一点，求的最大值．
14．[2024邯郸广平模拟]如图，为外一点，线段交于点，，，的半径为5，点在上，连接,．
（1） 当的面积最大时，求的长；
（2） 当与相切时，求的长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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