2024--2025 学年第一学期期末督测
九年级数学试题 (人教版)
说明: 1. 本试卷共 6 页, 满分 120 分。
2. 请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效。
一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1. 二次函数 = 3 5 + 1 的一次项系数是 ( )
A. 1 B. 3 C. - 5 D. 5
2. 在△ABC 中, ∠C=90°, 设∠A, ∠B, ∠C 所对的边分别为 a,b, c, 若 b=c◆, 则“◆”
表示 ( )
A. sinA B. sinB C. cosB D. tanA
3. 如图，学校可能位于小明家 ( )
A. 南偏西 60°方向上
B. 南偏西 30°方向上
C. 南偏东 60°方向上
D. 南偏东 30°方向上
4. 下列 4 个袋子中，装有除颜色外都相同的 10 个小球，分别从每个袋子中任意摸出一个
球，摸到的球是红球这一事件属于必然事件，a 则应选择的袋子是 ( )
5.下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是 ( )
6. 如图, 将△AOB 绕点 O逆时针方向旋转 60°得△COD, 若∠COD=21°, 则∠AOD 的度数是
( )
A. 18°
B. 28°
C. 39°
D. 49°
7. ⊙O 是边长为 4 的正六边形 ABCDEF 的外接圆，点 M在 上, 连
接 BM, 则 BM 的长可以是 ( )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 9
8. 如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与右边四边形相似的是
( )
9. 如图，正方形纸片 ABCD 的中心 O 刚好是△ABM 的外心, 则∠AMB
= ( )
A. 135°
B. 125°
C. 115°
D. 105°
10. 如图，某小区在一块长为 16m，宽为 9m 的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一
条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得
小路占地面积为 40 m ，求小路的宽度. 设小路的宽度为 x m，甲、乙两位同学分别得
到如下方程：甲: (16--2x)(9-x)=16×9-40;乙： 9 × 2 + 16 = 40.
其中正确的是 ( )
A. 甲对、乙不对
B. 甲不对、乙对
C. 甲、乙均对
D. 甲、乙均不对
11. 如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升 20° ,加热到 100℃，停止加热，水温
开始下降，此时水温 ° 与通电时间 x(min)成反比例关系. 当水温降至 20° 时，饮水
机再自动加热，若水温在 20℃时接通电源，水温 y 与通电时间 x 之间的关系如图所示，
则下列说法中错误的是 ( )
A. 水温从 20℃加热到 100℃, 需要 4min
400
B. 水温下降过程中，y与 x的函数关系式是 =
C. 上午 10 点接通电源，可以保证当天 10：30 能喝到不低于 38℃的水
D. 在一个加热周期内水温不低于 40℃的时间为 7min
= 112. 抛物线 L: + 4 6(常数 t>0),双曲线 = (x>0),设 L 与双曲线有个
2
交点 的横坐标为 x ，且满足 3
. 3 < < 2 B. 3
二、填空题 (本大题共 4个小题，每小题 3分，共 12 分)
= 13. 如图是反比例函数 0)的图象，整数 k 的值是 .
14. 已知点 A(a, b)与点 B(-3, 4)是关于原点 O的对称点，则 AB 长为
.
15. 若 a, b 是方程 + 3 = 0 的两个实数根, 则 ab-a-b 的值
为 .
16. 如图，点 C 为扇形的弧 AB 上一个动点，连接 AC、BC, 若 OB=8,
∠AOB=60°,则阴影部分面积的最小值为 .
三、解答题 (本大题共 8 个小题，满分 72 分，解答题应写出必要的解题步骤或文字说明、
证明过程)
17. (本小题满分 7分)
2
已知反比例函数 = 的图象位于第二、四象限.
(1) 求 k 的取值范围;
(2) 若点 A(-4, y ), B(-1, y )是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值 y ，y
的大小.
18. (本小题满分 8分)
若一元二次方程的右边被墨水污染 2 + 1 = ■.
(1) 若方程的一个解为 x=--1 时, 求“■”的值;
(2) 若“■”表示 3x, 求 x.
19.(本小题满分 8 分)
如图，三根同样的绳子. , < 穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各
自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等.
(1) 姐姐从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子. 的概率为 ;
(2) 用画树状图 (或列表) 的方法，求姐姐和姐妹选中的两个绳头恰好是同一根绳子的概率.
20. (本小题满分 8 分)
如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 BC 上, ∠DAB=∠DEA.
(1) 求证: △ADE∽△DEC;
(2) 若 CE=4, DE=6, 求 BE 的长.
21. (本小题满分 9 分)
探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分.
我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图 1 可总结规律：一个中心对称图形，
的直线将它分成面积相等的两部分.
应用 1 如图 2，若矩形 ABCD 是老林家的一块田地，P 为水井，现要把这块田地平均分
给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井 P 相邻. 请你帮老林
家设计一下，画出图形，并说明理由.
应用 2 图 3 是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线 EF 将图 3 的阴影部
分分成面积相等的两部分. (不写作图过程，保留作图痕迹)
22.(本小题满分 9分)
图 1 是我国古代提水的器具桔棒(jiégāo)，创造于春秋时期.它选择大小两根竹竿，大竹
竿中点架在作为杠杆的竹梯上. 大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿 (小竹竿始
终与地面垂直)，小竹竿上悬挂水桶. 其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用
力，从而提水出井. 当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里.
如图 2 是桔棒的示意图，大竹竿 AB=8 米，O 为 AB 的中点，支架 OD 垂直地面 EF, 此时
水桶在井里时, ∠AOD=120°.
(1) 如图 2, 求支点 O到小竹竿 AC 的距离;
(2) 如图 3，当水桶提到井口时，大竹竿 AB 旋转至 A B 的位置，小竹竿 AC 至 A C
的位置, 此时 ∠ = 143°,求点 A 上升的高度.(注： 37° ≈ 0.6, 37° ≈
0.8, 37° ≈ 0.75)
23.(本小题满分 11 分)
图 1 是木马玩具底水平放置的示意图，点 O 是 所在圆的圆心.⊙O 的半径为 75cm,
已知 A、B 所在的直线与 MN 平行, 且 A、B 两点间的距离为 90cm.
计算
(1) 求点 A 的竖直高度;
操作
(2) 将图 1 的木马玩具沿地面 MN 向右作无滑动的滚动，当⊙O 与 MN 相切于点 B 时，
如图 2，点 A 的竖直高度升高了多少
探究
4
(3) 在(2) 操作过程中，直接写出圆心 O运动的路径长. (参考数据： tan53 = )
3
24. (本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线 = 2 3 0).
(1) 抛物线的对称轴为直线 ；
(2) 当-2≤x≤2 时, 函数值 y 的取值范围是-4≤y≤b,
①求 a 和 b 的值;
②抛物线上一点 P 到 x 轴的距离为 6，求点 P 的坐标；
③将该抛物线在 0≤x≤4 间的部分记为 G，将 G 在直线 y=t 下方的部分沿 y=t 翻
折，其余部分保持不变，得到的新图象记为 Q. 设 Q 的最高点、最低点的纵坐标分
别为 y ，y ，若 < 6,求 t 的取值范围.2024-2025学年第一学期期末质量监测
九年级数学答案（人教版）
1-5 CBBBC 6-10 CCDAA 11-12 DD
13．1
14．10
15．－2
16．
17．解：（1）∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，
∴k－2＜0，∴k＜2；……………………………………………………………………4分
（2）∵反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵－4＜－1＜0，∴y1＜y2………………………………………………………………7分
18. 解：（1）时，■=…………………………………………3分
（2）2x2+1=3x,
∴2x2－3x+1=0
∵△=b2－4ac=(－3)2－4×2×1=1
∴
∴，……………………………………………………………………8分
19．（1）……………………………………………………………………………………3分
（2）
(
A
1
B
1
C
1
A
1
B
1
C
1
A
1
B
1
C
1
)
共有9种等可能的结果数，其中两人选到同一条绳子的结果数为3，
所以两人选到同一条绳子的概率=．…………………………………………8分
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠C，AD∥BC，
∵∠DAB=∠DEA，∴∠DEA=∠C，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC，
∴△ADE∽△DEC；………………………………………………………………4分
（2）解：由△ADE∽△DEC，得，∴AD＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=9，∴BE=BC－CE=9－4=5………………8分
21．探究：经过对称中心……………………………………………………………………3分
(
A
B
C
D
P
O
)应用1 如图……………………………………………………………………6分
理由：矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点O，过O、P的直线满足把矩形面积等分，且都与水井P相邻。
应用2……………………………………………………………………………………9分
(
E
F
)
22．解：（1）过点O作OG⊥AC，垂足为G，∴∠AGO=90°，
由题意得：AC∥OD，∴∠DOG=∠AGO=90°，
∵∠AOD=120°，∴∠AOG=∠AOD－∠DOG=30°，
∵O为AB的中点，∴OA=AB=4（米），
在Rt△AOG中，∴OG=AG=2（米），
∴此时支点O到小竹竿AC的距离约为2米；………………………………………5分
（2）设OG交A1C1于点H，由题意得：OG⊥A1C1，OD∥A1C1，OA1=OA=4米，
∴∠A1=180°－∠A1OD=180°－143°=37°，
在RtΔOA1H中，A1H=OA1 cos37°=4×0.8≈3.2（米），
在Rt△AOG中，∵∠AOG=30°，∴AG=AO=2（米），
∴A1H－AG=3.2－2=1.2（米），
∴点A上升的高度约为1.2米…………………………………………………………9分
23．解：（1）过点O作OC⊥AB于C点，延长OC交与⊙O交于点D，如图，
由题意得：OA=OB=OD=75cm，AB=90cm，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝45cm，
在Rt△AOC中，OA=75cm，∴OC＝ (cm)，
∴CD=OD－OC=75－60=15（cm），
∵AB∥MN，∴CD⊥MN，即点A的竖直高度为15cm；…………………………………4分
（2）当⊙O与MN相切于点B时，
过点A作AE⊥OB于点E，AF⊥MN于点F，如图，
∵⊙O与MN相切于点B，∴OB⊥MN，
∵AE⊥OB，AF⊥MN，∴四边形AFBE为矩形，∴AF=BE，AE=BF，
设AF=BE=x cm,∴OE=（75－x）cm,
在Rt△AOE中，AE2=OA2－OE2=752－（75－x）2，
在Rt△ABE 中，
AE2=AB2－BE2=902－x2，∴752－（75－x）2=902－x2，
解得：x=54，即：AF=54cm,
∴当⊙O与MN相切于点B时，A的竖直高度为54cm,
∵54－15=39（cm），
∴点A的竖直高度升高了39cm；……………………………………………………8分
（3） cm…………………………………………………………………………11分
24．解：（1）x=1；…………………………………………………………………………2分
（2）①函数对称轴为x=1，当－2≤x≤2时，函数值y的取值范围是－4≤y≤b.
故y=－4 是函数的最小值，即抛物线的顶点为（1，－4）．
将函数顶点坐标代入函数表达式并解得：a=1．……………………………………4分
故抛物线的表达式为：y=x2－2x－3，
则b=（－2）2－2（－2）－3=5；……………………………………………………5分
②∵抛物线上一点P到x轴的距离为6，而顶点坐标为（1，－4），
x2－2x－3=6，
解得 x＝1±
故点P的坐标为 (1+，6）或 (1 ，6）；……………………………………8分
③设图象折叠后顶点M的对应点为M′，点N是直线y=t与抛物线在对称轴右侧的交点，点H是x=4抛物线上的点，图象Q为曲线C′M′－M′N－NH，
(
N
)点M（1，－4），点H（4，5），则点M′（1，2t+4），
当点M′不在点H上方时，2t+4≤5，t≤，
函数Q的最高点为H，最低点为N，则5－t＜6，
解得：t＞－1，故－1＜t≤；
当点M′在点H上方时，同理可得：＜t＜2；
故－1＜t＜2．…………………………………………………………………………12分
