6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、选择题
1． 已知向量，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．0
3．已知向量满足，则在方向上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（ ）
A．为定值 B．不为定值，有最大值
C．为定值 D．不为定值，有最小值
5．已知向量与向量的夹角为，且，，则（ ）
A．4 B．3 C． D．1
6．已知平面向量，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
二、多项选择题
9．已知向量，满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若，则
C．在方向上的投影向量为
D．若，则在的夹角为
10．所在平面内一点满足，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．延长交于点，则
C．若，且，则
D．若，则
11．在中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，，则为等边三角形
C．若点是边上的点，且，则的面积是面积的
D．若分别是边中点，点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
12．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．在上的投影向量为；
D．若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4.
三、填空题
13．已知，，，则实数的值为 .
14．平面立角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是 ．
15．在平行四边形中，，，点在边上，满足，若，点分别为线段上的动点，满足，则的最小值为 .
16．如图，在平行四边形ABCD中，与相交于.若，则AB的长为 .
四、解答题
17．已知，
（1）当k为何值时，与平行：
（2）若，求的
18．如图，在中，是的中点，．
（1）若，，求；
（2）若，求的值．
19．平面向量，满足
（1）若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值；
（2）若为钝角，求实数t的取值范围．
20．已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若恰好为函数的最大值，且此时，求3a＋4b的最小值．
参考答案
1．B
2．A
3．D
4．C
5．B
6．C
7．B
8．D
9．A,B,D
10．B,C,D
11．A,B,D
12．B,C,D
13．
14．
15．
解：若，则，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示：
则，设，则，即，
因为，，所以，，
又因为，所以，
所以，，
所以，是关于的开口向上，对称轴为的二次函数，当时，故取得最小值.
16．4
17．解：（1），，，
，与平行，
；
（2），
，
.
18．（1）解：为中点，，
，.
（2）解：，，，
三点共线，，解得：.
19．（1）解：由题意得，
则，即，
因为，则，
所以，
，
所以，解得.
（2）解：由（1）知，，
因为为钝角，所以，即，
若共线，设，即
则，解得或，
要使为钝角，则且，
即实数t的取值范围为．
20．（1）解：
，
则函数的最小正周期.
（2）解：由（1）可知，
当，即时，取得最大值为，
则，，
因为平分，所以，
则点分别到的距离，
由，
则，
即，整理可得，
则
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故最小值为.
