北京市2025届高三数学二轮复习专题过关检测
立体几何
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2、已知四面体中，设，，，为的中点，为的中点，则用向量可表示为（ ）
A、 B、 C、 D、
3、已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
4、正四棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成角的余弦值为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、如图，在棱长为的正方体中，为的中点，动点沿着线段从点移动到点．则下列结论中正确的是（ ）
A、直线与直线为异面直线 B、恒为钝角
C、三棱锥的体积越来越大 D、
6、如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点P到平面ABC的距离为（ ）
A. 1 B. C. D.
7、沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的，则这些细沙的体积为（ ）
A. B. C. D.
8、已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的高为（ ）
A. B. C. D.
9、坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
A. B. C. D.
10、如图，在棱长为6的正四面体中，以为顶点的圆锥在正四面体的内部（含表面），则该圆锥体积的最大值为（ ）
A、 B、
C、 D、
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在正方体中,直线与所成角的大小为 .
12、已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则_______.
13、在棱长为2的正四面体中，M，N分别是的中点，则______.
14、我国有着丰富悠久的印章文化，印章是签署文件时代表身份的信物，因其独特的文化内涵，有时作为装饰物来使用．图1是一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2所示．已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为，且该几何体的顶点在球的表面上，则球的半径为
15、在棱长为1的正方体中，点在线段上（不与重合），于于，以下四个结论：
①平面；
②线段与线段的长度之和为定值；
③面积的最大值为；
④线段长度的最小值为．
其中所有正确的结论的序号是_________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在直三棱柱中，，，，是的中点.
（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
17、如图，在三棱锥中，平面，．
（1）求证：平面PAB；
（2）求二面角的大小．
18、已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上一点，．
（1）若F是PE中点，证明：平面．
（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
19、如图，在多面体中， 四边形为正方形，，为线段的中点，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若平面，求直线与平面所成角的正弦值.
20、如图，在五面体中，平面，，，，，，分别为的中点，连接．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
21、如图，在四棱锥中，平面，四边形是边长为的正方形，是的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度．
参考答案
一、选择题
1、C 2、B 3、A 4、D 5、D 6、C 7、B 8、D 9、C 10、A
二、填空题
11、
12、 13、 14、3 15、①②④
三、解答题
16. 解：（Ⅰ）由，，可得两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系， 2分
则，，，，
所以，，. 4分
设平面的法向量为，
所以即 6分
令，则，，于是， 8分
设直线与平面所成角为，
则， 9分
所以直线与平面所成角的正弦值为. 10分
（Ⅱ）因为， 12分
所以点到平面的距离为. 15分
17、（1）因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，
所以平面.
（2）由（1）平面，又平面，则，
以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，即
令，则，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以，
所以，
又因为二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为.
18、（1）取的中点为，接，则，
而，故，故四边形为平行四边形，
故，而平面，平面，
所以平面.
（2）因为，故，故，
故四边形为平行四边形，故，所以平面，
而平面，故，而，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则由可得，取，
设平面的法向量为，
则由可得，取，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为
19、解：（Ⅰ）连结，设．
因为四边形为正方形，
所以为中点．
因为为的中点，
所以，且．
由已知，且，
所以．
所以四边形为平行四边形．
所以，即．
因为平面，平面，
所以//平面．
（Ⅱ）因为平面，
所以．
因为四边形为正方形，所以．
所以两两垂直．
如图所示，建立空间直角坐标系．
因为，
所以，
所以．
设平面的一个法向量为，
由 得即
取，得．
设直线与平面所成角为，
则.
即直线与平面所成角的正弦值为．
20、（1）因为平面平面，所以．
又因为，平面，所以平面．
又平面，所以．
又因为为线段的中点，所以．
因为，所以．
因为分别为线段的中点，所以．
又，所以．即四点共面．
又平面平面，
所以平面．
（2）因为平面，所以．
又，所以两两垂直．
如图建立空间直角坐标系．
于是．
可得
由（1）可得AP平面DCE．
所以平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角为，则有
．
则直线与平面所成角的正弦值为．
（3）设是线段上的一点，则存在，使．
，从而．
由点的坐标可得．
设平面的法向量为
则有，即
令，则法向量为
令，即，解得．
此时，又显然有平面，从而平面．
所以，线段上存在点，使得平面，此时．
21、解：（Ⅰ）证明：连接，设，连接，
因为在四棱锥中，四边形是正方形，
所以为的中点，
因为为的中点
所以在中，，
又,
所以．
（Ⅱ）法1：，，
所以．
因为四边形是正方形，
所以，，
因为，，
所以．
法2：因为平面，平面，平面，
所以．
又四边形为正方形，，
以为坐标原点，分别为轴如图建立空间直角坐标系．设，
由题意得，，，，
，
所以，，
因为，
所以． ………9分
（Ⅲ）因为平面，平面，平面，
所以．
因为四边形为正方形，所以，
以为坐标原点，分别为轴如图建立空间直角坐标系．
设，平面的法向量为，
则 ，所以，即
令，则，，
，
设直线与平面所成的角为
，
解得，或，
所以或．
