九年级 数学
参考答案
一、选择题
1.C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.C 7.C 8.B 9.B 10.D
二、填空题
11.y=x2（答案不唯一） 12. 13. 4 14. 9 15. ①②③
三、解答题（一）
16.解：x2-4x+3=0
x2-4x=3.............................................................1分
x2-4x+4=3+4....................................................2分
(x-2)2=1................................................................3分
x-2=±1................................................................5分
x-2=1, x-2=1
x1=3，x2=1.........................................................7分
(其他解法酌情给分)
17解：（1）把A（-1，0），B（2，-3）分别代入y2=ax2+bx-3，
得
解得
所以抛物线的解析式为y2=x2-2x-3.
由图象得，当y1＞y2时，-1＜x＜2.
18.解：（1）∵小明抽到一张卡片的结果有4种，且它们的可能性相等，
∴...............2分
（2）方法1:
列表如下：
A B C D
A ﹣ （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） ﹣ （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） ﹣ （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） ﹣
.............................................................................................................................................5分
由表格可知，一共有12种等可能性的结果，其中符合条件的结果有2种，
∴．.....................................................7分
方法2:(参照方法1给分)
画树状图如下：
，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“”和“D”的结果有2种，
∴．.....................................................7分
19.解：（1）
如图△即为所求；.....................................................4分
（2）AC⊥A1C1.........................................................................6分
（3）
如图点O即为所求.................................................................9分
20.解：（1）70
设皱纱鱼腐的售价应定为每千克x元，则每千克的销售利润为（x-50）元
月销售量为 =（1100-10x）千克.
根据题意，得（x-50）（1100-10x）=8750.
整理，得x2-160x+6375=0，
解得x1=75，x2=85．
答：皱纱鱼腐的售价应定为每千克75元或85元.
21. （1）证明：如图，连接OC.
因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°.所以∠ACO+∠BCO=90°.
因为OC=OA，所以∠ACO=∠A.
因为∠A=∠BCD，所以∠ACO=∠BCD.所以∠BCD+∠BCO=90°.所以∠OCD=90°，即OC⊥DC.
因为OC是⊙O的半径，所以CD是⊙O的切线.
题21图
（2）解：设OC=x.因为BD=2，OB=OC，所以DO=x+2.
由（1）知∠OCD=90°.
在Rt△OCD中，由勾股定理，得x2+=（x+2）2，解得x=2.所以⊙O的半径是2.
22（1）AO，OB;...........................................................................................................2分
（2）证明：如图3，过点O作MN⊥BC，交AD于M，交BC于N，
∵四边形ABCD为正方形
∴∠DAB=∠CBA=90°
∵AD∥BC，MN⊥BC，
∴MN⊥AD，
∴∠AMO＝∠BNO=90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OAM＝∠OBN，
∴△AOM≌△BON（AAS），
∴OM＝ON，
又∵∠GOM＝∠HON，∠GMO＝∠HNO＝90°，
∴△GMO≌△HNO（ASA），
∴OG＝OH；......................................................................................7分
（3）解：过点O作KQ⊥AB，交AB于Q，交CD于K，
当点P在点K的右侧时，
∵OA＝OB，OQ⊥AB，
∴AQ＝BQ＝9 cm，
∵点O到AB距离是7 cm，
∴OQ＝7 cm，
∴OB＝＝＝ cm，
∵∠C＝∠ABC＝∠KQB＝90°，
∴四边形BCKQ是矩形，
∴BQ＝KC＝9 cm，KQ＝BC＝18 cm，
∴KO＝11 cm，
∵PO＝OA＝OB＝ cm，
∴KP＝＝＝3 cm，
∴PC＝KC-KP=9-3=6 cm．....................................................................................11分
当点P在点K的左侧时，PC＝KC+KP=9+3＝12 cm，
综上所述：PC＝6 cm或12 cm．.....................................................................................13分
23.（1）∵一次函数y=-x+2与x轴分别交于点A、B两点
当x=0时，y=2，
∴B（0，2）
令y=0，则x=2
∴A（2，0）
将A（2，0），B（0，2）分别代入y=-2x2+bx+c中，得
解得
∴抛物线的解析式为：y=-2x2+3x+2;..........................................................4分
（2）设P（n，-2n2+3n+2）（0＜n＜2）
过点P作PM⊥AB于点M，过点P作PN∥y轴交AB于点N，
∴N（n，-n+2）
∴PN=-2n2+3n+2-（-n+2）
=-2n2+4n
∵A（2，0），B（0，2）
∴AO=BO=2
∴∠OAB=∠OBA=45°
∴∠PNB=∠OBA=45°
∵PM⊥AB
∴∠PNB=∠NPM=45°
∴PM=MN
∵PM2+MN2=PN2
∴PM2+PM2=PN2
∴PM2=PN2
∴PM=PN=（-2n2+4n）（0＜n＜2）
∴当n=1时，PM最大为
∴点P到直线AB的最大值为;.........................................................9分
（3）当直线l与抛物线只有一个交点时，
令-2x2+3x+2=-x+m
-2x2+4x+2-m=0
则=0
∴42-4×（-2）（2-m）=0 ∴m=4
∴当m=4时，直线l与“心形图”右上方只有一个交点，
根据“心形图”关于直线AB对称可知：
当m=0时，直线l与“心形图”左下方只有一个交点，
由图可知，当0≤m≤4时，直线l与“心形图”有交点....................................................14分2024—2025 学年第一学期教学质量检测统考
九年级 数学试题
本试卷共 6页，满分 120分．考试用时 120分钟．
说明：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的学校、姓名、班级、
考号等考生信息。用 2B铅笔把对应考号栏的标号涂黑。
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域
内相应位置上。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。不准使用铅笔、涂改
液、涂改带等。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生务必保持答题卡的整洁，切勿折叠。
一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．下面关于新能源汽车品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A B C D
2．在平面直角坐标系中，点 P（3， 2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（ 3，2） B．（3，2） C．（ 3， 2） D．（ 2，3）
3．已知 x＝2是一元二次方程 x2 3x+c＝0的一个实数根，则 c等于（ ）
A 1 1． 2 B． C． D．2
2 2
4．已知⊙O的直径为 10，圆心 O到直线 l 的距离为 5，则直线 l 与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
5．用配方法解一元二次方程 x2 2x 1＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x 2）2＝2 B．（x 1）2＝2 C．（x+2）2＝1 D．（x 1）2＝1
6．如题 6图，点 A、B、C在⊙O上，若∠AOB＝74°，则∠ACB等于
（ ）
A．16° B．26°
C．37° D．46°
题 6图
7．如题 7图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝55°，∠C＝90°，将其
绕点 A按顺时针方向旋转得到△AB1C1，使得点 C、A、B1在
同一条直线上，那么旋转角等于（ ）
A．55° B．70°
题 7图
C．125° D．145°
8. 罗定市自古以来就与龙有着深厚的渊源，古称泷州，又名龙乡，城雕是“双龙献珠”，象征
着龙的文化在当地的重要性.英文单词“Loong”翻译成中文表示“龙”，从中任选一个字母，
选中字母 o 的概率是（ ）
1 2 2 1
A． B． C． D．
5 5 3 2
9．在平面直角坐标系中，将二次函数 y＝ x2的图象向左平移 2个单位长度，再向下平移 3
个单位长度，所得函数图象的解析式为（ ）
A．y = （x 2）2 3 B．y = （x+2）2 3
C．y = （x+3）2 2 D．y = （x 3）2+2
10．如题 10图，在半径为 2的⊙O中，点 A、B、P是圆上的三个点，
且满足∠APB＝135°，则弦 AB长为（ ）
A．2 B． 2
C．3 D．2 2
二、填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分. 题 10图
11．请写出一个对称轴是 y轴的二次函数的解析式 ；
12．如题 12图，在⊙O中，圆心 O到弦 AB的距离 OC为 1，AB＝4，则⊙O的半径 OA长
为 ；
13 8．如题 13图，点 M为双曲线 y 上一点，若 MP⊥x轴于点 P，则△OMP的面积为 ；
x
14．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 72场，共有 个队参加比赛；
15．如题 15图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a＜0）与 x轴交于 A、B两点，与 y轴的正半轴交于点
C，对称轴是直线 x＝ 1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①abc＞0；②2a b＝0；
1
③若 OA＝OC，则 OB＝ ；④不论 m取任何实数，均有 a b＞am2+bm . 其中正确的
a
有 .
题 12图 题 13图 题 15图
三、解答题（一）：本大题共 3小题，每小题 7分，共 21分.
16．解方程：x2 4x+3＝0
17．如图，直线 y1=-x-1与抛物线 y2=ax2+bx-3相交于 A（-1，0），B（2，-3）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 y1＞y2时，直接写出自变量 x的取值范围．
题 17图
18．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞、滑板、冲浪、运动攀岩，依次记为 A、B、
C、D，小明同学把这四个项目分别写在了背面完全相同的四张卡片上，将这四张卡片背
面朝上，洗匀放好．
（1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，求恰好抽到的卡
片是 B（滑板）的概率；
（2）体育老师想从中选出两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机
抽取一张不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，请用列表法或画树状图法表示出
所有可能的结果，并求体育老师抽到的两张卡片恰好是 C（冲浪）和 D（运动攀岩）
的概率．
四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题 9分，共 27分.
19．△ABC的顶点均在格点上，请在网格中按要求作图．
（1）在题 19-1图中以点B为旋转中心，作△ABC绕点B逆时针旋转 90°后得到的△A1BC1；
（2）直接写出线段 AC与 A1C1的位置关系： ；
（3）在题 19-2图中用无刻度的直尺作出△ABC的外心 O．（保留作图痕迹）
题 19-1图 题 19-2图
20．项目化学习
项目主题：探究皱纱鱼腐销售利润
项目背景：皱纱鱼腐，形似圆球，色泽金黄，“鱼腐”即“愈富”，不仅鲜香滋味奇，更有美
好寓意，这道地方非遗文化在悄悄走向全国.某校学习小组以“探究皱纱鱼腐销售
利润问题”为主题开展项目学习．
驱动任务：按预期利润制定合理售价．
收集数据：
某特产专卖店销售皱纱鱼腐，其进价为每千克 50元，按每千克 90元出售，平均每月
素 材 可售出 200千克，后经市场调查发现，单价每降低 5元，平均每月的销售量可增加 50
千克．
解决问题：
（1）若每月的销售量为 400千克，则每千克皱纱鱼腐的售价为_______________元；
（2）若专卖店销售皱纱鱼腐想要平均每月获利 8750元，求皱纱鱼腐的售价应定为每千克多
少元？
21. 如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，点 D在 AB的延长线上，∠BCD=∠A.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若 BD=2，CD= 2 3 ，求⊙O的半径.
题 21图
五、解答题（三）：本大题共 2小题，第 22题 13分，第 23题 14分，共 27分.
22．综合探究
操作一：折叠正方形纸片 ABCD，使顶点 A落在边 DC上点 P处，得到折痕 EF，把纸片
展平（如题 22-1图）；
操作二：折叠正方形纸片 ABCD，使顶点 B也落在边 DC上的点 P处，得到折痕 GH，
GH与 EF交于点 O，连接 OA，OB，OP（如题 22-2图）.
（1）根据以上操作，直接写出题 22-2图中与线段 OP相等的两条线段：_____________；
（2）探究发现：把题 22-2图中的纸片展平，得到题 22-3图，通过观察发现无论点 P在
线段 DC上任何位置，线段 OG与线段 OH始终相等，请你直接用第一问发现的结
论写出完整的证明过程；
（3）拓展应用：已知正方形纸片 ABCD的边长为 18 cm，在以上探究过程中当点 O到
AB的距离是 7 cm时，求线段 PC的长.
题 22-1图 题 22-2图 题 22-3图 备用图
23．如题 23-1图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝ x+2的图象与 x轴、y轴分别交于 A、
B两点，抛物线 y＝ 2x2+bx+c经过点 A、B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点 P到直线 AB的最大距离；
（3）如题 23-2 图，将抛物线在直线 AB上方的部分沿 AB翻折得到“心形图”（包含 A、B
两点），若直线 l：y＝ x+m与该图形有交点，求 m的取值范围.
题 23-1图 题 23-2图
