九年级数学试卷参考答案
选择题
1~5 BCDBA 6~10 DCACC
填空题
11、 12、6 13、 14、（1）4 （2）
三、解答题 16、如图（1）﹍﹍﹍﹍﹍4分
15、解：原式=（）2+（）2-× ﹍﹍4分 （2）﹍﹍﹍﹍﹍8分
=+-1 ﹍﹍﹍﹍﹍6分
= ﹍﹍﹍﹍﹍8分
第16题图
解：（1）将（1，-6）和（-1，0）代入y=x2+bx+c中，
得{ 解得{ ∴y=x2-3x-4 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分
令y=0，得x2-3x-4=0解得x1=-1 x2=4
∴抛物线与x轴交点为（-1,0）和（4,0） ∴当x＜-1或x＞4时，抛物线在x轴上方。﹍﹍﹍6分
又∵抛物线对称轴为直线x= ∴当x＞时，y随x的增大而增大。 ﹍﹍﹍﹍8分
18、解（1）∵平行四边形ABCD ∴ABCD ∴△DCF∽△EAF
∵AE:BE=1:2 ∴ ∴△AEF与△CDF的周长比为1:3 ﹍﹍﹍4分
（2）∵△AEF∽△CDF ∴=()2=()2= ∴cm2
又∵ ∴ ∴cm2 ∴cm2
∴平行四边形ABCD=2cm2 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分
19、解：（1）作CH⊥AB于H cosA= 即 ∴AH=1
CH==2 BH==3 ∴AB=AH+BH=4 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
∵CH⊥AB DE⊥AB ∴CH∥DE ∴
∴EH=BH=2 ∴tan∠CEA= ﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分
解：（1）作DH⊥CE于H，∴i= 设DH=x米，则CH=3x米
∵DH2+CH2=CD2 即x2+ X1=2 x2=-2（舍） ∴DH=2米 CH=6米
答：王刚同学从点C到点D上升的高度为2米。 ﹍﹍﹍﹍5分
（2）过点D作DG⊥AB于G，设AB=y米
∵∠ACB=45 ∠ABC=90 ∴BC=AB=y米
∵矩形DHBG ∴DG=BH=（y+6）米 BG=DH=2米 ∴AG=（y-2）米
∵∠ADG=30 ∴tan∠ADG= 即 解得y=6+
答：大树AB的高度为（6+）米 ﹍﹍﹍﹍10分
解：（1）设y1=kx1，将（1,2）代入得k=2 ∴y1=2x1 ﹍﹍﹍﹍2分
（2）当0≤x2＜4时，设y2=a（）+16， 将（0，0）代入得a=-1
∴y2=-（）+16 =-+8 当4≤≤10时，=16
综上： ﹍﹍﹍﹍7分
（3）设总收益量为W，当0≤＜4时， W=-+8+2（20-）=-+49 ∴=3时W=49当4≤≤10时 W=16+2（20-）=-2+56 ∴=4时W=48
综上：=3时W=49此时20-3=17，即小明解题时间为17分钟，回顾反思时间为3分钟时，学习总收益最大。 ﹍﹍﹍﹍12分
（1）证明：∵AB=AC ∴∠B=∠C
∵∠ADC=∠B+∠BAD 即∠1+∠EDC=∠B+∠BAD且∠1=∠B
∴∠EDC=∠BAD ∴△DCE∽△ABD ﹍﹍﹍﹍4分
∵△DCE∽△ABD 设CE=y ∴ 即
∴ 当x=4时CE最大 ﹍﹍﹍﹍8分 （3）x=2或 ﹍﹍﹍﹍12分
解：（1）A（4，0） B（0，3）﹍﹍﹍2分 （2）①m=-t，n=+3 ﹍﹍﹍﹍4分
② 当+3=+3时，
∴C（t， +3），D（ t，） CD= ∴CD为定值 ﹍﹍﹍﹍9分
③∵△OCD边CD边上高为定值，CD又为定值 ∴S为定值∴当OC最短时，h最大。此时OC⊥AB
OC= ∵△OPC∽△OCA∴OP== ∴当t=时，h最大 ﹍﹍﹍﹍14分2024—2025 学年度第一学期期末质量监测
九年级数学试卷
一、选择题（每小题 4 分，计 40 分）
1.抛物线 y=2(x + 9) -3的顶点坐标是（ ）
A. (9,-3) B. (-9,-3) C. (9,3) D. (-9,3)
a 5
2.已知 ,下列等式不一定正确的是（ ）
b 2
a b a b 7
A.2a=5b B. C.a+b=7 D.
5 2 b 2
3.一次函数 y=ax+b的图像如图，则二次函数 y=ax2+bx 的图像可能是（ ）
4. 如图，D是△ABC的边 AB上一点，要使△ACD∽△ABC,则必须具备的条件可以是（ ）
A. CD2=AD·DB B. AC2=AD·AB C. AC AD D. CD BC
CD BC AD AB
y
P
C
α
o
x
B D A
第 4题图 第 6题图 第 7题图
5.在平面直角坐标系中，将抛物线 y=x -2x-1先向下平移 5个单位，再向左平移 2个单位，所
得抛物线的表达式为（ ）
A.y=(x+1) -7 B.y=(x+1) -1 C.y=(x-3) -7 D.y=(x-3) -3
6.如图，在平面直角坐标系内有一点 P（3,4），连接 OP,则 OP与 x 轴正方向所夹锐角α的正弦
值是（ ）
3 4 3 4
A. B. C. D.
4 3 5 5
7.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为 1，则阴影部分的面积为（ ）
16 17
A.5 B.6 C. D.
3 8
8.如图，若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x轴交于 A，B两点，与 y 轴交于点 C。若∠OAC=∠OCB,
学校： 班级： 姓名： 学号：
…………………………………装…………………………………订………………………………线………………………………
则 ac的值为（ ）
1 1
A.-1 B.-2 C. D
2 3
y
y
D
C
C
O A
x
A O B x B
第 8题图 第 9题图 第 10题图
9.如图，正方形 ABCD 的边长为 5，点 A 的坐标为（4,0），点 B 在 y 轴上，若反比例函数
y k (k≠0)的图像过点 C，则 k的值为（ ）
x
A.4 B.-4 C.-3 D.-2
10.如图，抛物线 y=ax +bx+c(a≠0) 的顶点在直线 y=kx+c上，对称轴为直线 x=1, 下列结论： x
①abc>0;②3a+c<0;③a=-k;④若方程|ax +bx+c|=m(m≥0,m 为常数)有四个根，分别为 x1, x2, x3,
x4, 则 x1+x2+x3+x4=4，其中正确的结论是（ ）
A.②③ B.①④ C.①③④ D.①②③
二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分）
11.已知点 C是线段 AB的黄金分割点，且 AB=2，AC＜BC，则 AC长是
1
12.一辆汽车刹车后行驶的距离 S（m）与行驶时间 t（s）之间的函数关系为 S=6t－ t2，当
2
t= 时，汽车停下来了. y
A
A C
O
C D x
B
第 13题图 第 14题图
13.如图，在平行四边形 ABCD中，E为 AB延长线上一点，F为 AD上一点，∠DEF=∠C，
7
若 DE=4，AF= ，则 AD的长是
3
8
14.如图，在平面直角坐标系中，经过坐标原点 O的直线与反比例函数 y 的图像交于 A,B
x
k
两点，点 C在反比例函数 y （x﹤0）的图像上，过点 A作 AD⊥x轴于点 D，连接 BD。
x
（1）△BOD的面积为
AC 5
（2）若 AC=BC， ,则 k的值为
AB 8
三、解答题（共 90 分，第 15-18 题每题 8 分，第 19-20 题每题 10 分，第 21-22 题每题 12 分，
第 23 题 14 分）
15.计算：cos 30 +sin 45 －tan60 ·tan30
16.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为 A（1,2），B(4,3),C(2,0)
(1) 画出△ABC关于 x轴对称的△A B C
(2) 以原点为位似中心，在网格中画出（1）中△A B C 的位似图形△A B C ，使得
△A B C 与△A B C 的相似比为 3:1
C
第 16题图 第 18题图 第 19题图
17.已知抛物线 y=x2+bx+c，若抛物线经过点（1，-6），（-1,0）
（1）求抛物线的表达式；
（2）当 x 为何值时，抛物线在 x轴上方？当 x 为何值时，y 的值随 x 的增大而增大？
18.如图，在平行四边形 ABCD中，E为边 AB上一点，DE与 AC相交于点 F，且 AE:BE=1:2
（1）求△AEF与△CDF的周长比；
（2）若△AEF的面积为 2cm2,求平行四边形 ABCD的面积.
5
19（. 10分）如图，在△ABC中，AC= 5，BC= 13，cosA= ,点 D在 BC边上，且 CD=2BD，
35
DE⊥AB，垂足为 E，连接 CE。
（1）求线段 AB的长；
（2）求∠CEA的正切值。
20.王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树
AB的高度，他在点 C处测得大树顶端 A的仰角为 45 ，再从 C点出发沿斜坡走 2 10 米到
达斜坡上 D点，在点 D处测得树顶端 A的仰角为 30 ，若斜坡 CF的坡比 i=1:3（点 E,C,B在
同一水平线上，点 A,B,C,D在同一平面内）。
（1）求王刚同学从点 C到点 D的过程中上升的高度；
（2）求大树 AB的高度。（结果保留根号）
第 20题图 第 21题图 第 22题图
21.善于不断改进学习方法的小明发现，对解题进行回馈反思，学习效率更好。某一天小明有
20分钟时间可用于学习，假设小明用于解题的时间 x1（单位：分钟）与学习收益量 y1的关系
如图 1所示，用于回顾反思的时间 x2（单位：分钟）与学习收益量 y2的关系如图 2所示（其
中 OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时
间。
（1）求小明解题的学习收益量 y1与用于解题的时间 x1之间的函数关系式；
（2）求小明回顾反思的学习收益量 y2与用于回顾反思的时间 x2的函数关系式；
（3）问小明如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这 20分钟的学习收益总量最大？
22.(12分）如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，点 D是 BC边上的一个动点，点 E在
AC上，点 D在运动过程中始终保持∠1=∠B，设 BD的长为 x（0＜x＜8）。
（1）求证：△DCE∽△ABD；
（2）求 x为何值时，CE最大？
（3）直接写出 x为何值时，△ADE为等腰三角形？
3
23.如图，直线 y=－ x+3分别交 x 轴、y 轴于 A、B两点，线段 OA上有一动点 P由原点 O
4
向点 A运动，速度为每秒 1个单位长度，设运动时间为 t秒。
（1）直接填出两点的坐标：A： B：
（2）如图，过点 P作 x 轴的垂线交直线 AB于点 C，设以 C为顶点的抛物线 y=（x+m）2+n
与直线 AB的另一交点为 D。
①用含 t的代数式分别表示 m= ，
n= ；
②随着点 P运动，CD长是否为定值？若是，请求出 CD长；若不
是，说明理由；
③设△COD的 OC边上的高为 h,当 t为何值时，h的值最大？
第 23题图
