泸州市古蔺县2024-2025学年九年级上期期末教学质量测试
数 学
注意事项：
1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.试卷满分120分，考试时间120分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（每题3分，共36分）
1．下列各图是一些交通标志的图案，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．福山气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着福山明天一定下雨
C．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5
4．已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．小明家1至6月份的用水量统计如图所示，关于这组数据，下列说法中错误的是（ ）
A．众数是6吨 B．平均数是5吨 C．中位数5.5吨 D．方差是1.2
6．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
7．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转至使得点A恰好落在上，则旋转角度为（ ）
A． B． C． D．
8．我国对教育经费的投入一直在增长，在某地的政府工作报告中，2022年的教育投入是2500万元，2024年将投入3600万元，设该地投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．、、三点都在抛物线上，则，，的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2.5
11．如图，四边形是的内接四边形，的半径为，连接交于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
12．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题3分，共12分）
13．已知和关于原点对称，则 ．
14．设a、b是方程的两个实数根，则的值为
15．如图，在△ABC中，，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为 ．
16．如图，△ABC是等边三角形，矩形的顶点在边上，且，，连接、、，若将矩形绕点旋转一周，当最小时，则 ．
三、解答题（共72分）
17．（本题6分）计算：．
18．（本题6分）化简：．
19．（本题6分）已知：如图，AB=CD，E、F在AC上，∠AFB=∠CED=90°，AE=CF．求证：AB∥DC．
20．（本题7分）“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，D跆拳道四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题．
(1)本次抽取调查学生共有___________人，估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为___________人．
(2)请将以上两个统计图补充完整．
(3)甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率．
21．（本题7分）某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数（辆）与定价（元）（取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水费和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？
22．（本题8分）关于的一元二次方程有两个不相等实数根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，求的值．
23．（本题8分）如图，某人以公里/小时的速度在南北方向的公路上行走，在处时，他观测到在点的东北方向有一古塔．他沿正北行走分钟后到达处，观测到古塔在点的北偏东方向，求点与古塔的距离（结果精确到公里，参考数据：，，，）．
24．（本题12分）如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，．
(1)求证：；
(2)若点在的延长线上，且，证明：是的切线；
(3)求的半径．
25．（本题12分）如图1，抛物线经过，两点，与交于点，顶点坐标为，对称轴与轴交于点，与直线交于点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若线段上存在一点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，求的最大值．
（3）设是抛物线上一点，点是轴上一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D A D A B B C C
题号 11 12
答案 C C
13．
14．
15．/24度
16．
17．
18．
19．∵AE=CF ∴AF=CE ...................................（2分）
又∵AB=CD ∠AFB=∠CED=90° ∴△ABF≌△CDE...................................（5分）
∴∠A=∠C ∴AB∥DC....................................（6分）
20．（1）解：本次抽取调查学生的总人数为（人），
估计该校3000名学生喜爱“跆拳道”兴趣班的人数约为（人），
故答案为：60，300．...................................（2分）
（2）解：喜欢书法的学生人数人（人），
喜欢舞蹈的学生所占百分比为，
喜欢跆拳道的学生所占百分比为．
则补全两个统计图如下：
...................................（4分）
（3）解：由题意，画树状图如下：
由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种，
则两人恰好选择同一类的概率为，...................................（7分）
答：两人恰好选择同一类的概率为．
21．（1）解：依题意，设与的函数关系式为
则：，...................................（2分）
解得：
即与的函数关系式为：；...................................（4分）
（2）解：设利润为元，
则由题意知：
...................................（6分）
∵
∴抛物线开口向下
∵，且是整数
∴或18
即当定价为17元或18元，汽车清洗店每天获利最大．...................................（7分）
22．（1）解：∵于的一元二次方程有两个不相等实数根和，
∴，...................................（2分）
解得；...................................（4分）
（2）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根和，
∴，
∵，
∴，...................................（6分）
∴，
解得或（舍去）．...................................（8分）
23．此时他与古塔的距离约为公里
解：由题意得，，，（公里），
，...................................（2分）
如图所示，过作于，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
（公里），...................................（6分）
在中，，
∴（公里），...................................（7分）
∴此时他与古塔的距离约为公里．...................................（8分）
24．（1）证明：∵点是弧的中点，
∴
∴．...................................（2分）
∵，，
∴．
∵，，
∴．...................................（4分）
（2）证明：连接交于点．
∵，
∴，且，...................................（5分）
∵，
∴，
∴．...................................（6分）
∵点是弧的中点，
∴半径，
∴半径，
∴是的切线．...................................（8分）
（3）解：设的半径为．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵点是的中点，
∴点是的中点．...................................（10分）
∵点是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去）．
∴的半径为．...................................（12分）
25．解：（1）抛物线经过，两点，
∴...................................（2分）
解得，
∴
∴抛物线解析式为．...................................（3分）
（2）令，，
∴，
设直线AC所在的直线为，
，解得，
∴，...................................（5分）
设G点坐标为，
∵轴，H为抛物线上一点，
∴H点坐标为，
∴
，
∵，
∴当时，GH取得最大值为．...................................（7分）
（3）存在．如图1，过点N作轴，交轴于点T，当NS为平行四边形的一条边时，
且，则，
轴，轴，
∴，
在和中，
∴，...................................（8分）
又∵，
∴，
设点N的坐标为，
当点N在x轴上方时，
解得，
此时点N的坐标为或，
当点N在轴下方时，
则，
解得，
此时点N的坐标为或...................................（10分）
如图2．当NS是平行四边形的对角线时，则轴，
∴点N的纵坐标为2，
∴
解得，
∴点N的坐标为或．...................................（11分）
综上，满足条件的点N有4个，坐标分别为或或或．...................................（12分）
