中牟高中第14次周测
三角函数的图象与性质
测试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f(x)＝的定义域是( )
A．
B．
C．
D．
2．使得函数y＝sin x为减函数，且值为负数的区间为( )
A． B．
C． D．
3．函数f＝2cos 是( )
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
4．若 a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则( )
A．b
如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏，并让沙漏在偏离平衡位置一定角度后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．设线长为l m，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝cos ，t∈[0，＋∞).若重力加速度g≈10 m/s2，要使沙漏摆动的最小正周期是π s，则线长l约为( )
A．5 m B．2 m C． m D．20 m
6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数f(x)＝的部分图象大致为( )
7．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则φ的值为( )
A． B． C． D．
8．已知函数y＝sin (ω>0)在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．
9.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是( )
A．y＝|sin x| B．y＝cos x
C．y＝－tan x D．y＝sin
10．已知函数f(x)＝tan ，则( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的定义域为|x|x≠＋kπ，k∈Z}
C．f(θ)＝1，则θ＝kπ(k∈Z)
D．f(x)在其定义域上是增函数
11．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，满足f(x)≤f对任意x∈R恒成立，且函数图象相邻的最高点和最低点之间的距离为，则以下结论正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)的图象关于点对称
D．f(x)在区间(0，π)上有两个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数f(x)＝sin (x＋φ)且f＝－，写出满足条件的φ的一个值__________．
13．若函数f(x)＝tan (π＋ωx)(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝1所得的线段长为，则f＝________．
14．已知函数f(x)＝(cos x＋|cos x|)，则f(x)的最小正周期为________，不等式f(f(x))>的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024·广东阳江高一期末)已知函数f＝2sin ＋1(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f的值；
(2)求函数f的单调递增区间．
16．(15分)已知函数f(x)＝
(1)作出该函数的图象；
(2)若f(x)＝，求x的值．
17．(15分)函数f(x)＝A sin ＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
18．(17分)已知函数f(x)＝tan ，ω>0.
(1)若ω＝2，求函数f(x)的最小正周期以及函数图象的对称中心；
(2)若函数f(x)在[0，π]上单调递增，求ω的取值范围．
19．(17分)已知函数f(x)＝sin .
(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值；
(3)若函数g(x)＝f(x)－，x∈有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围与f的值．
郑州市中牟高中第14次周测
三角函数的图象与性质
1．A [由题可得，解得x≠(k∈Z)，
∴函数f(x)＝的定义域为{x|x≠(k∈Z}．故选A.]
2．C [由y＝sin x的图象与性质可知x∈时，函数单调递减，且函数值为负数．故选C.]
3．C [因为f＝2cos ＝－2sin 2x，所以f的最小正周期为T＝＝π，
且f＝－2sin 2＝2sin 2x＝－f，为奇函数，可得f是最小正周期为π的奇函数．故选C.]
4．A [因为<<，所以a＝sin >sin ＝，b＝cos ＝cos
6．A [f(x)＝的定义域为R，且f(－x)＝＝－＝－f，
故f(x)＝为奇函数，图象关于原点对称，C、D错误；
当x∈时，cos x>0，sin x>0，故f(x)＝>0，A正确，B错误．故选A.]
7．B [因为函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以该函数的最小正周期为2×＝，又因为ω>0，所以有＝ ω＝3，即f(x)＝2sin (3x＋φ)，
因为该函数图象关于点对称，所以3×＋φ＝kπ φ＝kπ－，
因为－<φ<，所以令k＝1 φ＝.故选B.]
8．C [令X＝ωx＋，－≤x≤，则－＋≤X≤＋，所以函数y＝sin X在区间上单调递增，从而可得 ，
则，解得ω≤.当0≤x≤π时，≤X≤πω＋，所以函数y＝sin X在区间上恰好取得一次最大值1，所以≤πω＋<，解得≤ω<.综上，可知≤ω≤.故选C.]
9．AC [y＝|sin x|的最小正周期为π，在区间上y＝|sin x|＝sin x单调递减，故A符合题意；y＝cos x的最小正周期为2π，故B不符合题意；y＝－ tan x的最小正周期为π，在区间上单调递减，故C符合题意；y＝sin 的最小正周期为4π，故D不符合题意．故选AC.]
10．ABC [f(x)＝tan ，函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，故A正确；x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为，故B正确；f(θ)＝tan ＝1，得θ＋＝＋kπ，k∈Z，解得θ＝kπ，k∈Z，故C正确；－＋kπ
∴22＋＝，解得T＝π，故A正确；
∵T＝＝π，
∴ω＝2，则f(x)＝sin (2x＋φ)，又∵f(x)在x＝处取得最大值，
∴2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，即φ＝2kπ＋(k∈Z)，又∵0<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝sin ，∴f(x)图象的对称轴为2x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，故B正确；f＝sin ＝sin ≠0，
∴f(x)的图象不关于点对称，故C错误；∵0
所以＋φ＝－＋2kπ或－＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ或－＋2kπ，k∈Z，
所以满足条件的φ可以是－.
[答案] －(答案不唯一，满足条件即可)
13．[解析] 由题意知函数f(x)的最小正周期T＝＝，所以ω＝3，所以f＝tan ＝tan ＝1.
[答案] 1
14．[解析] 由题意可知，当cos x≥0时，函数f(x)＝cos x；当cos x<0时，函数f(x)＝0.作出函数f(x)的图象，如图所示：
结合图形可知，函数f(x)的最小正周期为2π.令f(x)＝t，t∈[0，1]，所以f(t)＝(cos t＋|cos t|)＝cos t∈[cos 1，1]，因为函数f(t)在上单调递减，所以f(t)≥cos 1>cos ＝，则不等式f(f(x))>的解集为R.
[答案] 2π R
15．[解] (1)因为f＝2sin ＋1(ω>0)的最小正周期为π，
所以＝π，ω＝2，则f＝2sin ＋1，
故f＝2sin ＋1＝＋1.
(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故f的单调递增区间为，k∈Z.
16．[解] (1)作出函数
f(x)＝
的图象，如图1所示．
(2)因为f(x)＝，所以在图1基础上再作直线y＝，如图2所示．
由图象知，当－π≤x<0时，x＝－；当0≤x≤π时，x＝或x＝.综上，可知x的值为－或或.
17．[解] (1)因为函数f(x)的最大值为3，所以A＋1＝3，即A＝2.因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以最小正周期T＝π，所以ω＝2，故函数f(x)的解析式为y＝2sin ＋1.
(2)因为f＝2sin ＋1＝2.
即sin ＝，
又因为0<α<，
所以－<α－<，
所以α－＝，故α＝.
18．[解] (1)∵f(x)＝tan ，ω＝2，
∴f(x)＝tan 的最小正周期为.
令2x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z.
故f(x)的图象的对称中心为，k∈Z.
(2)若函数f(x)在[0，π]上单调递增，则ω×π＋<，解得ω<，
即ω的取值范围为.
19．[解] (1)由f＝sin 可得：函数f的最小正周期为T＝＝π；
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得：－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f的单调递增区间为，k∈Z.
(2)因为x∈，则2x－∈，
当2x－＝，即x＝时，f在区间上可取得最大值1；
当2x－＝－，即x＝0时，f在区间上可取得最小值－，
所以f在区间上最大值为1，最小值为－.
(3)因为x∈，令t＝2x－∈，则y＝sin t在内的图象如图所示，
令g(x)＝f(x)－＝0，可得f(x)＝，即sin t＝，若函数g(x)＝f(x)－，x∈有两个零点x1，x2，
则y＝sin t与y＝在内有两个交点t1，t2，
结合图象可得：≤<1，t1＋t2＝2x1－＋2x2－＝π，即x1＋x2＝，
所以≤a<2，f＝sin ＝sin ＝－sin ＝－.
