19.3正方形
一、单选题
1．下列叙述，错误的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相垂直
B．菱形的对角线相等
C．矩形的对角线互相垂直
D．正方形的对角线互相垂直且相等
3．将一正方形分割成个小正方形，则在下列数据中，不可能取的数是（ ）
A．4 B．5 C．9 D．16
4．下列命题中，属于真命题的是 （ ）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
5．如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G．若，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题
6．顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形中点所得到的四边形是 ．
7．如图，长方形中，正方形AEFG的边长为2．正方形绕点A旋转的过程中，线段的长的最小值为 ．
8．如图，点是正方形的边上一点，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．若，则的长为 ．
9．如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为 ．
10．正方形的对角线长为10 cm，则正方形的周长是
11．如图，在四边形中，，，对角线于点，若添加一个条件后，可使得四边形是正方形，则添加的条件可以是 （不再增加其他线条和字母）
三、计算题
12．（1）计算：．
（2）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，且四边形为正方形求证：．
13．R△ABC中，∠BAC=90°，
（1）如图1，分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABFG、ACPE、BCDE，其面积分别记为S1，S2 ，S3
①若AB=5，AC=12，则S3= ▲ ；
②如图2，将正方形BCDE沿C折， 点D、E的对应点分别记为M、M，若点从M、N分别在直线FG和PH上， 且点M是GO中点时，求S1：S2：S3 ；
③如图3，无论R△ABC三边长度如何变化，点M必定落在直线FG上吗 请说明理由；
（2）如图4，分别以AB， AC， BC为边向外作正三角形ABD， ACF， BCE， 再将三角形BCE沿BC翻折，点E的对应点记为P，若AB= 保持不变，随着AC的长度变化，点P也随之运动，试探究AP的值是否变化，若不变，直接写出AP的值；若改变，直接写出AP的最小值.
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点D、C，直线与y轴交于点，与直线交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）点E是射线上一动点，过点E作轴，交直线于点F．若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；
（3）设P是射线上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
四、解答题
15．已知：如图，正方形，连接，E是延长线上一点，，连接交于点F．
（1）求的度数；
（2）若，求点F到的距离．
五、作图题
16．如图，已知四边形ABCD是矩形，尺规作图，求作正方形BECF，使得顶点E在矩形ABCD内．
六、综合题
17．如图，点E是正方形ABCD内的一点，将△BEC绕点C顺时针旋转至△DFC．
（1）请问最小旋转度数为多少？
（2）指出图中的全等图形以及它们的对应角？
（3）若∠EBC=30°，∠BCE=80°，求∠F的度数．
18．如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B'，连接AB'并延长交直线DC于点F．
（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；
（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
19．在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 、 满足 ，连接 、 、 、 ，如图所示.
（1）求证： ；
（2）试判断四边形 的形状，并说明理由.
七、实践探究题
20．【问题背景】
如图，是一张等腰直角三角形纸板，，取、、中点进行第次剪取，记所得正方形面积为，如图，在余下的和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第次剪取，并记这两个正方形面积和为如图.
【问题探究】
（1） ______ ；
（2）如图，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第次剪取，并记这四个正方形面积和为继续操作下去，则第次剪取时， ______ ；第次剪取时， ______ ．
【拓展延伸】
在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
3．【答案】B
【知识点】正方形的性质
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
6．【答案】正方形
【知识点】正方形的判定
7．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
8．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质
9．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
10．【答案】 cm
【知识点】勾股定理；正方形的性质
11．【答案】或
【知识点】正方形的判定
12．【答案】（1）解：原式
．
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
四边形是正方形，
，
，
，
即．
【知识点】实数的运算；平行四边形的性质；正方形的性质
13．【答案】（1）解：①169
②设正方形ABGF的边长为a，则AB=BF=AG=FG=a，
∵正方形ABGF，正方形AHPC，∠BAC=90°，
∴∠AGO=∠GAH=∠AHO=90°
∴四边形AGOH是矩形，
∴∠F=∠NOM=90°，OG=AH
∵将正方形BCDE沿C折， 点D、E的对应点分别记为M、M
∴BM=MN，∠BMN=90°
∴∠BMF+∠NMO=90°，∠NMO+∠MNO=90°
∴∠BMF=∠MNO
在△BFM和△MON中
∴△BFM≌△MON（AAS）
∴OM=BF=a
∵点G是GO的中点，
∴OG=AH=2OM=2a，
∴正方形AHPC的边长为2a，
AB2+AC2=BC2
∴S12+S22=S32
∴S32=a2+4a2=5a2
∴ S1：S2：S3 =a2：4a2：5a2=1：4：5；
③过点M作MQ⊥HB于点Q，
∵正方形BCNM
∴BM=BC，∠BAC=∠MQB=90°，
∵∠MBQ+∠BMQ=90°，∠MBQ+∠ABC=90°，
∴∠BMQ=∠ABC
在△MBQ和△BCA中
∴△MBQ≌△BCA（AAS）
∴MQ=BA，
∵正方形ABFG，
∴AB=BF=AG，
∴FB=GA=MQ
∵BF∥AG∥MQ
∴点F、G、M三点共线即点M一定落在直线FG上.
（2）AP值会改变，AP最小值为
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
14．【答案】（1）
（2）或
（3）或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质
15．【答案】（1）
（2）2
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的性质
16．【答案】解：如图，正方形BECF为所作．
【知识点】正方形的性质；尺规作图-垂直平分线
17．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CA，∠BCA=90°，
∴△BEC绕点C顺时针旋转90°可得到△DFC，
∴最小旋转度数为90°
（2）解：△BCE≌△DCF，对应角为：∠CBE与∠CDF，∠BCE与∠DCF，∠BEC与∠DFC
（3）解：∵∠EBC=30°，∠BCE=80°，∴∠BEC=180°-30°-80°=70°，
∴∠F=∠BEC=70°
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
18．【答案】（1）解：由折叠可得AB=AB'，BE=B'E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC=DF，∠CB'E=45°，
∴B'E=B'F，
∴AF=AB'+B'F，
即DF+BE=AF；
（2）解：图（2）的结论：DF+BE=AF；
图（3）的结论：BE﹣DF=AF；
图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，
需证△ABE≌△ADG，
∵CB∥AD，
∴∠AEB=∠EAD，
∵∠BAE=∠B'AE，
∴∠B'AE=∠DAG，
∴∠GAF=∠DAE，
∴∠AGD=∠GAF，
∴GF=AF，
∴BE+DF=AF；
图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，
需证△ABM≌△ADF，
∵∠BAM=∠FAD，AF=AM
∵△ABE≌△A'BE
∴∠BAE=∠EAB'，
∴∠MAE=∠DAE，
∵AD∥BE，
∴∠AEM=∠DAB，
∴∠MAE=∠AEM，
∴ME=MA=AF，
∴BE﹣DF=AF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
19．【答案】（1）解：证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，则∠ABE=∠ADF=135°，
又∵BE=DF，
∴△ABE △ADF。
（2）解：解：四边形AECF是菱形。理由如下：由（1）得∴△ABE △ADF，
∴AE=AF。
在正方形ABCD中，CB=CD，∠CBD=∠CDB=45°，则∠CBE=∠CDF=135°，
双∵BE=DF，
∴△CBE △CDF。
∴CE=CF。
∵BE=BE，∠CBE=∠ABE=135°，CB=AB，
∴△CBE △ABE。
∴CE=AE，
∴CE=AE=AF=CF，
∴四边形AECF是菱形。
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的性质
20．【答案】（1）；（2），；【拓展延伸】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
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