2024-2025学年湖南省永州一中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的虚轴长为( )
A. B. C. D.
2.已知，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
4.平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为，则抛物线的方程为
A. B. C. D.
6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与轴交于点，与的右支交于点，且满足，若点四点共圆为坐标原点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一动点，且满足，则直线和直线所成角的余弦值的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C. 直线的倾斜角的取值范围是
D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是
10.已知圆的半径为定长，是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点当点在圆上运动时，下列判断正确的是( )
A. 当点在圆内不与圆心重合时，点的轨迹是椭圆
B. 点的轨迹可能是一个定点
C. 点的轨迹不可能是圆
D. 当点在圆外时，点的轨迹是双曲线
11.著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是( )
A. 的图象是轴对称图形 B. 的值域是
C. 先减小后增大 D. 方程有三个解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点是点在坐标平面内的射影，则 ．
13.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为______．
14.已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书。甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为，，，在实践技能考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格互不影响．
假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大
这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率．
16.本小题分
已知圆：和定点，直线：．
当时，求直线被圆所截得的弦长；
若直线上存在点，过点作圆的切线，切点为，满足，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点．
证明：平面；
求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知、分别为椭圆：的左、右顶点，为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．
求的方程；
证明：直线过定点．
19.本小题分
若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“依赖函数”．
判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值．
参考答案
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15.解：记甲乙丙三人在医学综合笔试中合格依次为，，，在实践考试中合格依次为，，，
则甲乙丙获得执业医师证书依次为，，，
并且与，与，与相互独立，
，
故乙获得执业医师证书的的可能性最大；
由于事件，，彼此相互独立
“恰有两人获得执业医师证书”指，
故人中恰有两人获得执业医师证书的概率满足：
．
故人中恰有两人获得执业医师证书的概率为．
16.解：圆：，圆心，半径，
当时，直线的方程为，所以圆心到直线的距离，
故弦长为；
设，则，
由，，
得，化简得，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
又因为点在直线：上，所以与圆有公共点，
所以，解得，
所以的取值范围是．
17.解：证明：取的中点，连接，，
因为，是的中点，所以，
因为，，
因为在底面的射影为的中点，所以平面，
又平面平面，所以平面，
又面，所以，
因为，，平面，
所以平面；
如图，以为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，
则，，，，
，，，．
设平面的法向量为，
则，则，
得，
取，得，
因为平面，
所以即为平面的一个法向量，
则，
所以平面与平面的所成角的余弦值为．
18.解：
由题意
，
椭圆的方程为．
由知
设，则直线的方程为，
联立
由韦达定理，
代入直线的方程得，，
即，
直线的方程为，
联立
由韦达定理，
代入直线的方程得，，
即，
直线的斜率，
直线的方程为，
整理得，
直线过定点．
19.解：对于函数的定义域内存在，则无解，
故不是“依赖函数”；
因为在递增，故，即，，
由，故，得，
从而在上单调递增，故；
若，故在上最小值，此时不存在，舍去；
若故在上单调递减，从而，解得舍或，
从而，存在，使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，由，
得，由，可得，
又在单调递减，故当时，，
从而，解得，
故实数的最大值为．
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