江苏省苏北四市（徐连淮宿）2025届高三第一学期期末调研测试数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.在矩形中，，则以，为焦点，且过，两点的椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5.若为偶函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知，若，且的最小值为，则( )
A. B. C. D.
7.已知正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.定义：，两点间的“距离”为把到两定点，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”，则“椭圆”的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球现从甲袋中任取个球放入乙袋，用事件，分别表示从甲袋中取出的是白球和红球再从乙袋中随机取出个球，用事件表示从乙袋中取出的是白球，则( )
A. ，互斥 B. 与相互独立 C. D.
10.已知，为锐角，，，则( )
A. B.
C. D.
11.已知数列，，，，前三项，，成等差数列，且公差不为，后三项，，成等比数列，则( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 当，时，或
D. ，，，可能成等比数列
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，，，则 ．
13.写出一条与圆和抛物线都相切的直线的方程 ．
14.已知函数，则的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某新能源汽车公司对其销售的，两款汽车向消费者进行满意度调查，从购买这两款汽车消费者中各随机抽取名进行评分调查满分分，评分结果如下：
数据Ⅰ型车，，，，，，，，，
数据Ⅱ型车，，，，，，，，，．
求数据Ⅰ的百分位数
该公司规定评分在分以下的为不满意，从上述不满意的消费者中随机抽取人沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的人中购买型车的消费者人数为，求的概率分布及数学期望．
16.本小题分
如图，三棱柱的底面是边长为的等边三角形，为的中点，，侧面底面．
证明：
当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，
当时，求曲线在点处的切线方程
当时，，求的取值范围．
18.本小题分
已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，渐近线方程为
求的方程
过的直线分别交的左、右两支于，两点，直线交于另一点，
若，求点的坐标
是否存在常数，使得若存在，请求出的值若不存在，请说明理由．
19.本小题分
定义：表示正整数的各位数之和，如：记．
求和
求数列的通项公式
若正整数的各位数非零且成等差数列，，求的值．
答案和解析
1.
【解析】解：集合，即，
即
则．
故选：．
2.
【解析】解：因为，
所以，
所以，
所以．
故选：．
3.
【解析】解：因为，，，
所以 ，
即，所以，
即可得，解得．
故选：．
4.
【解析】解：，则，
因为在椭圆上，所以由椭圆定义知：，
即，解得．
故选：．
5.
【解析】解：因为为偶函数，所以，
则，
即 ，即，
解得．
故选：．
6.
【解析】解：因为函数，满足，
不妨令，，，
两式相减得：，
又，
．
故选：．
7.
【解析】解：设正四棱锥的斜高为，高为，外接球的半径为，
因为正四棱锥侧面积为，
则，解得，
则正四棱锥的高，
则，解得，
则该四棱锥的外接球的表面积．
故选：．
8.
【解析】解：设，则“椭圆”方程是，
即，
易得“椭圆”关于轴，轴，原点对称，
研究“椭圆”在第一象限图象，
当，时，方程为，是一条线段，端点坐标分别为，，
当，时，方程为，表示一条线段，端点坐标分别为，，
结合曲线的对称性，“椭圆”大致图象如图：
四边形是直角梯形，上底长为，下底长为，高为，
梯形面积为，
所以“椭圆”面积为．
故选：．
9.
【解析】解：由题意 ， 是互斥的事件，故A正确；
且 ，， ，故C正确
， ，故D错误；
， ，
，故B错误．
故选：．
10.
【解析】解：，为锐角，，
可得，
，得，
由得 ，
又，得，
则，故B正确；
，故C正确；
又，，，
从而，故D正确；
由知，则有，，
，
又，，
则，所以，即，故A错误．
故选：．
11.
【解析】解：因为，，成等差数列，，，成等比数列，
所以，，
对于，当时，
则，即，
又，所以，所以，故A正确；
对于，取满足，，成等差数列，，，成等比数列，
又，但，故B错误；
对于，设等差数列的公差为，，
则，
因为，，
所以
解得或，故C正确；
若，，成等比数列，
则，
所以，
，
，
，
可取，，
则，
取，则，，，
，，，，
此时，，，成等比数列，故D正确．
故选：．
12.
【解析】解：在中，由，
可得，
由正弦定理得，，即，解得，
由余弦定理得，，
整理得，，
即，
解得舍去或，
故答案为：．
13.或 填一个即可
【解析】解：设公切线与抛物线切于点，而 ，
所以处的公切线方程为，
即，
结合公切线与圆，
即相切得，
解得 ，
所以公切线的方程为或 ，
故答案为：或 填一个即可．
14.
【解析】解：的定义域为，
，
：当时，恒成立，故单调递增，
则不等式恒成立，满足题意；
：当时，，
令，可得或，
令，可得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
又，则，
所以要使不等式成立，只需满足，且，即，且，
：当时，，令，可得或，令，可得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
因为，
又，
所以要使不等式成立，需满足，再结合，解得，
综上所述，不等式的解集为：
故答案为：
15.解：将数据Ⅰ从小到大排列为：，，，，，，，，，．
因为，所以数据Ⅰ的百分位数为；
数据Ⅰ中分以下的有分，分，
数据Ⅱ中分以下的有分，分，分，
所以上述不满意的消费者共人，其中车型中人，车型中人，
所以的所有可能取值为，，，
，
，
，
所以的概率分布为
数学期望．
16.解：证明：
在等边三角形中，为中点，
所以，
因为侧面底面，侧面底面，
平面，所以平面，
又因为平面，
所以；
在中，，，
所以，
所以，
所以是等腰三角形，
又为中点，所以，
由知，，平面，
又平面，
所以，
所以，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则
不妨取，则，，
所以平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
记平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：当时，，，
则，又，
所以曲线在点处的切线方程为；
当时，由可知恒成立，符合题意，
当时，由，得恒成立，
令，，则，
令，得，列表得
极大值
所以，
则，即．
综上所述，．
即的取值范围为
18.解：由题意得，
解得，所以的方程为；
设，，
设，，，
由，得，
则
由，得，
则
因为，所以，
则，整理得，
因为，，
所以，
即，
因为点在双曲线上，所以，
则，解得，
则，所以，
则，即直线垂直于轴，故；
由知，，
，
所以，
则
，
而
，
所以，
即存在满足题意．
19.解：
，
；
设的前项和为，
则，
即，
当时，，
所以，
即，
所以，又，
故是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
故的通项公式为；
设为位正整数，
由的各位数非零可知，，所以，
又，则，所以，
因为，所以，即，，
设，则，所以是递减数列，
又，，所以，
又，所以或或或，
因为的各位数成等差数列，设公差为，
若，当时，，
所以，此时
当时，，
所以，不满足，
若，当时，，
所以，此时
当时，，不符合题意
若，当时，，
所以，此时
当时，，不符合题意
若，当时，，
所以，此时
当时，，不符合题意．
综上所述，的值为．
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