2024—2025学年第一学期期末质量检测
九年级数学试题参考答案
选择题
B；2.C；3.C；4.D；5.D；6.C；7.B；8.A；9.B；10.B；11.A；12.C
填空题
； 14. 9； 15. 3； 16.
三、解答题
17.解：（1）90；90.5；25；..............................................3分（每空1分）
（2）解：∵七年级和八年级的平均数一样，但八年级的中位数和众数大，
∴八年级的成绩更好；.............................................................5分
（3）解：×500+×600=580（人），
答：估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀的学生共有580人．........7分
18.（1）证明：∵是半圆的直径，
∴，.....................................................1分
∵为弧的中点，与交于点，
∴，即，.......................................2分
∴，.........................................3分
∴；....................................................4分
（2）解：连接，
∵，，
∴，...........................................5分
∵为弧的中点，
∴，..................................................6分
∴，...............................................7分
∴．.....................................................8分
19.解：二和三，.................................................2分（填写不全不得分）
选方案一，
，
，.................................................3分
，
，............................................4分
设，
则，
同理可得，
，.................................................5分
，
解得：，................................................................7分
，
答：灯柱的高度为．......................................8分
20.（1）解：∵斜坡的坡度，设，，............1分
∵，
∴，
解得，x=-5（舍去）.............................................3分
答：点D到地面的距离为米；...................................4分
（2）解：如图，过点作，垂足为，
由题意得：米，，，
斜坡的坡度，米，
设米，
米，............................................................5分
在中，，
米，.........................................................6分
在中，，
米，..............................................7分
，
，
解得：，........................................................................8分
米，
塔高约为米．.............................................................9分
21.解：（1）①四种方案小路面积的大小相等；...........................................1分
②99，99；...................................................................2分（两个全对才得分）
③-x +100x，-x +100x；..................................................3分（两个全对才得分）
（2）设小路的宽为，则，.................................4分
解得：或a=98（不合题意，舍去），...........................................5分
答：小路的宽为；....................................................6分
（3）①方法1：，
，
方法2：，
；....................................................................7分（两种方法写出一种即可）
②由题意得：，
设方程的两个根分别为，，则，且，
则：，，a＜30，..........................................................8分
，
故甲和乙的说法都不正确．..........................................................9分
22.（1）解：当时，图象是双曲线的一部分，图象经过点，
设，
则，解得，
∴；.............................................................2分
当时，，
∴，
∴，......................................................3分
当时，图象是线段，则该段函数是一次函数，点，
设，
则，解得，
∴；........................................................5分
当时，，..........................................................6分
∴注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式为
（2）解：当时，，
解得，，....................................................7分
当时，，
解得，，.......................................................8分
根据图象可知，注意力指标不低于的时间为（分钟），
∵，.....................................................9分
∴这节课张老师至多能讲解道数学综合题能让学生完全理解和接受．...................10分
23.（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，........................................................1分
为的中点，，
，则垂直平分，
，............................................................2分
，，
，................................................3分（全等的方法不唯一）
，............................................4分
与相切；............................................................5分
（2）解：，，
，......................................................................6分
由（1）可知，，
，..........................................7分
设，
，
，......................................8分
，
解得， .........................................................9分
故的半径为． .........................................................10分
24.（1）解：设抛物线的关系式为，
将点代入到中得，
解得，..............................................2分
抛物线的关系式为．...................................4分（设一般式求解亦可）
（2）解：在中，当时，，............................5分
∵，，
石块不能飞越防御墙．.....................................................7分
（3）解：由题意可知点的坐标为，
设直线的表达式为，
∴，
∴，
直线的表达式为．..................................8分
如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点，
设点，则点的坐标为，
，..............................................10分
当时，有最大值，最大值为，
在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米．........................11分2024—2025学年度第一学期期末教学质量检测
九年级数学试卷
题号 一 二 三 总分
得分
本试卷满分120分。分选择题、填空题、解答题三部分。
得分 评卷人
一、选择题（12个小题，每题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．水果超市售卖一批散装苹果，苹果大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的苹果．设原有苹果质量（单位：）的方差为，该顾客选购的苹果质量的方差为，则与的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．它们的大小关系不确定
2．已知是关于x的二次函数，其图像经过，则a的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．在△ABC中，、都是锐角，且，，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
4．为△ABC的外接圆，，为的直径，若，则为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ）
甲 乙 丙 丁
两边同时除以得到． 移项得： ， ∴， ∴或， ∴，． 整理得 ∵，，， ∴ ∴ ∴，． 整理得 配方得： ， ∴， ∴， ∴，．
A．只有甲 B．只有乙 C．只有丙 D．乙和丁
6．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为，以点P为圆心，2为半径的以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动，移动时间为t，当与y轴相切时，t的值为（ ）
A． B．1 C．或 D．1或3
7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A、B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点M，且．则下列结论正确的个数是（ ）
①；
②当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大；
③方程只有一个解为；
④当时，．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在一张纸片中，，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线DE剪下一块三角形，则△ADE的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．已知二次函数，图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，对于下列结论：①；②；③（其中）；④若和均在该函数图像上，且，则.其中正确结论的个数共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
得分 评卷人
二、填空题（四个小题，每题3分，共12分）
13．如图，若的部分图像如图所示，则关于的方程的另一个解为 .
（第13小题图） （第14小题图） （第16小题图）
14．正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为
15．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，若，则的值为 .
16．如图，一小孩在荡秋千，秋千的纤绳长为2米，当小孩在最低位置时，秋千底部距离地面0.4米，当小孩达到最大高度时，秋千底部距离地面1.4米，那么小孩从最低位置达到最大高度位置秋千底部所经过的路径长为 米.（结果保留π）
得分 评卷人
三、解答题（8道题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）传统节日是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，也是传承和弘扬传统文化的重要载体．某中学在全校七、八年级学生中开展了“传统节日彰显中华文化”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．）下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩是：78，79，82，83，84，85，86，87，88，89，90，90，90，93，94，94，95，96，97，100
八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：90，91，91，92，93，94
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 八年级抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图
年级 平均数 中位数 众数
七年级 89 89.5 a
八年级 89 b 91
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_________，_________，_________；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加了此次知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的学生中成绩优秀（x≥90）的学生共有多少人？
18．（8分）如图，AB是半圆的直径，是半圆上的两点，为弧的中点，与交于点．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
19．（8分）一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案：
方案一：在操场上点C处放一面平面镜，小组成员从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．人员从点F处向后退1.8m到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度为1.5m，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计，根据平面镜成像原理：反射角等于入射角）
方案二：利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高1.5m，测得．
方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离．
三种方案中，方案 不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度．
20．（9分）某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求：
（1）点D到地面的距离；
（2）塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，）
21．（9分）综合实践：
项目主题 “亚运主题”草坪设计
项目情境 为了迎亚会，同学们参与一块长为60米，宽为40米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一 请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案
驱动问题一 （1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关系？ ①直观猜想；我认为 ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为__________m 和__________m ； ③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为_________m 和__________m ．
活动任务二 为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为2204平方米．
驱动问题二 （2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三 为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形，如图．
驱动问题三 （3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽，长． ①若用长30米的篱笆来围，请用含x的关系式表示y． ②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗﹖请说明理由．
22．（10分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图像如图所示，当和时，图像是线段：当时，图像是双曲线的一部分，根据函数图像回答下列问题：
（1）求注意力指标数y随时间x（分钟）的函数表达式；
（2）已知为了让学生在听数学综合题讲解时能完全理解和接受，注意力指标不低于30，而张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要8分钟，则这节课张老师至多能讲解几道数学综合题能让学生完全理解和接受．
23．（10分）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的半径．
24．（11分）图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点米时达到最大高度米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为米，与地面的竖直距离为米，是高度为米的防御墙．若以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求石块运动轨迹所在抛物线的表达式．
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙．
（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．
