2024-2025学年广东省潮州市饶平县九年级（上）期末
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各图中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.把方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.“小伟掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为”，这个事件为( )
A. 不可能事件 B. 必然事件 C. 确定事件 D. 随机事件
4.二次函数的图象的顶点坐标为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，所对的圆周角，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.某品牌运动商店销售一种乒乓球拍，原来的销售价格为元，为了清理库存，连续两次降价后的销售价格是元，设每次降价的百分率为，根据题意列出方程为( )
A. B.
C. D.
7.若扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.如图，将绕点逆时针旋转后得到，若，则( )
A.
B.
C.
D.
10.抛物线的顶点坐标为，抛物线与轴的交点位于轴下方以下结论正确的为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的个红球、个白球、个黑球，则任意摸出一个球是黑球的概率为______．
12.已知是方程的一个实数根，则 ______．
13.把抛物线向右平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为______．
14.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，与相交于点，则的长为______．
15.如图，已知线段，动点满足，则的面积的最大值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
16.解方程：．
四、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，．
请画出关于原点的对称图形并写出点，，的坐标；
的面积为______．
18.本小题分
如图，在中，，是的角平分线．
请按如下要求完成尺规作图不写作法，保留尺规作图痕迹：
作线段的垂直平分线，且与相交于点；
以点为圆心，以长为半径作．
求证：为的切线．
19.本小题分
如图，两个可自由转动的转盘，转盘被分成等份，转盘被分成等份，转盘上的数字分别是，，，转盘上的数字分别是，小王与小张两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动，两个转盘两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘当指针落在两个扇形的交线上时，当作指向右边的扇形，如果积为的倍数，则小王获胜；否则，小张获胜．
用列表法或画树状图求小王获胜的概率；
你认为这个游戏对双方公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你改变游戏规则，使这个游戏对双方都公平．
20.本小题分
如图，为加强新时代中学生的劳动教育，培养学生的动手实践能力，某学校生物兴趣小组用长为的篱笆，一面利用墙墙的最大长度为，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园．
能围成一个面积为的矩形菜园吗？请说明理由；
的长度为多少时，围成的菜园面积最大？并求出此时菜园面积的最大值．
21.本小题分
综合与实践
【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
【问题背景】如图，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索．
【数学建模】如图，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口．
【解决问题】
求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
请求出内边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标；
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围．
22.本小题分
如图，是的直径，点为下方上一点，点为弦的中点，连接且延长交于点，连接，．
求证：；
如图，延长，相交于点．
求证：；
若，，求的半径．
23.本小题分
如图，已知直线与轴、轴交于，两点，抛物线经过点，，点为线段上一个动点，过点作垂直于轴的直线交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．
求抛物线解析式；
当，求的值；
若点到直线的距离为，求的最大值；
在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：，，，
，
，
，．
17.
18.解：如图所示，为所求．
证明：连接，
，
，
是的角平分线，
，
，
．
又，
，
，
又是的半径，
是的切线．
19.解：根据题意，列表如下：
一共有种等可能结果，其中两个数的积为的倍数有种结果，
所以，积为的倍数，
因此小王获胜的概率是．
不公平，
游戏规则修改为：两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相加，
如果和为的倍数，则小王获胜：否则，小张获胜答案不唯一．
20.解：能围成一个面积为的矩形菜园．
理由：设，则，
令，
解得，，
墙的最大长度为，
，
解得，
，
能围成一个面积为的矩形菜园；
设，菜园的面积为，
由题意可得，，
由知：，
当时，该函数取得最大值，此时，
即的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为．
21.解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点，
设，
抛物线过点，
，
，
外边缘抛物线的函数解析式为：，
当时，，
解得：，舍去，
喷出水的最大射程为；
由左右平移得到，
设，
经过点，
，
解得：，舍去，
，
把代入，得：
解得：，舍去，
点的坐标为；
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
点与点重合或点在上，
当点与点重合时，，
当点在上时，，
解得：，不合题意，舍去，
，
，
的取值范围是．
22.证明：点为弦的中点，
，
是的垂直平分线，
．
证明：点为弦的中点，
，
，
又是的直径，
，
，
，
，
由得，
是等腰三角形，
点为的中点，
平分，
，
．
解：连接，则，如图所示，
，
，
由得，
，
，
，
，
，
．
设的半径为，则，
，
，
，
整理得，
解得，不符合题意，舍去，
的半径为．
23.解：直线与轴、轴交于，两点，则点的坐标为，点的坐标为．
由题意得：，
解得：
抛物线的解析式为；
点，则点，，
，，
，
，
解得：或与点重合，舍去，
；
点到直线的距离为，求的最大值即为求面积的最大值，
连接、，如下图所示，
点的坐标为、，
，，
由得：，
，
面积最大为，
，
，
解得，
即的最大值为；
存在点使是以为腰的等腰直角三角形，有三种可能：或或，理由如下：
当时，，点在轴的正半轴，如下图所示，
过点作轴，过点作轴交延长线于点，
，，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
解得：或负值舍去，
，
；
当时，，点在轴的负半轴，如图所示，
，
，，
，
≌，
，，
，，
，
，
解得：，
或，
点在轴的负半轴，
，；
综上可得：或或．
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