2024-2025学年河北省石家庄市辛集市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.珠海风筝节于月日在海天公园沙滩盛大举办敏敏自制了一个风筝去参加风筝节，为了风筝更稳定地在空中飞行，他所设计的风筝骨架结构为三角形，如图所示，这种设计的原理是( )
A. 三角形具有稳定性
B. 两点之间，线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 垂线段最短
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是( )
A. 两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B. 两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C. 两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D. 两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
4.如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，，则下列关于周长的说法正确的是( )
A. 点与点重合时的周长最小
B. 点与点重合时的周长最小
C. 点落在之间不包括端点时的周长最小
D. 点落在的延长线上时的周长最小．
6.下列等式不成立的是( )
A. B. C. D.
7.已知：，则是位正整数．
A. B. C. D.
8.已知，，用尺规在边上求作一点使，图是甲、乙两位同学的作图，下列判断正确的是( )
A. 甲、乙的作图均正确 B. 甲、乙的作图均不正确
C. 只有甲的作图正确 D. 只有乙的作图正确
9.解分式方程时，去分母正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在中，平分，于点，已知的面积为，则阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
11.如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数( )
平分；；；．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12.如图，是的边上点，连接，平分交于点，交于点的外角的平分线所在直线与的延长线交于点当时，有下列四个结论：
与互余；
；
；
．
其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.分解因式： ______．
14.已知，满足则的值为______．
15.一个正八边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若，分别平分正八边形与正六边形的内角，则的度数为______．
16.如图，直线，平分，过点作交于点动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动已知，设动点，的运动时间为当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______．
三、计算题：本大题共2小题，共15分。
17.老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用字母代替了原代数式的一部分，如下：
求代数式，并将其化简；
原代数式的值能等于吗？请说明理由．
18.已知：，平分，点、、分别是射线、、上的动点、、不与点 重合，连接交射线于点设．
如图，若，则
的度数是______；
当时，______；当时，______．
如图，若，则是否存在这样的的值，使得中有两个相等的角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
四、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
多项式为______，多项式为______，例题的计算结果为______；
计算：．
20.本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
在图中画出关于轴对称的图形，并写出顶点、和的坐标．
若点与点关于一条直线成轴对称，请在图中描出点与点，并画出这条对称轴；
若点关于轴的对称点为，求，的值．
21.本小题分
如图，在中，，，，点为上一点，且，，交于点．
试说明≌；
猜想的度数，并证明．
22.本小题分
为了改善我县的交通现状，县政府决定扩建某段公路，甲、乙两工程队承包该段公路的修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的倍；若由甲队先修建天，剩下的工程再由甲、乙两队合作天完成．
求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元，工程预算的施工费用为万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
23.本小题分
【生活观察】甲、乙两人买水果，甲习惯买一定质量的水果，乙习惯买一定金额的水果，两人每次买水果的单价相同，例如：
第一次
水果单价元千克
质量 金额
甲 千克 元
乙 千克 元
第二次：
水果单价元千克
质量 金额
甲 千克 ______元
乙 ______千克 元
完成上表；
计算甲两次买水果的均价和乙两次买水果的均价．均价总金额总质量
【数学思考】设甲每次买质量为千克的水果，乙每次买金额为元的水果，两次的单价分别是元千克、元千克，用含有、、、的式子，分别表示出甲、乙两次买水果的均价、，比较、的大小，并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为，所需时间为；如果水流速度为时，船顺水航行速度为，逆水航行速度为，所需时间为请借鉴上面的研究经验，比较、的大小，并说明理由．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，与轴正半轴交于点，且．
点的坐标是______；
如图，点从点出发，沿射线方向运动，同时点在边上从点向点运动，在运动过程中：
若点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，当是直角三角形时，求的值；
若点、的运动路程分别是，，当是等腰三角形时，求出与满足的数量关系．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.或
17.解：
；
原代数式的值不能等于，
理由：若原代数式的值等于，
则，得，
当时，原代数式中的除式等于，原代数式无意义，
故原代数式的值不能等于．
18.
；
，；
当点在线段上时，
是的角平分线，
，
，
，
，
若，则
若，则
若，则，
当点在射线上时，因为，且三角形的内角和为，
所以只有，此时
综上可知，存在这样的的值，使得中有两个相等的角，
且、、、．
19.
20.解：如图，即为所求，，，；
如图，点，点，直线即为所求；
点关于轴的对称点为，
，
解得．
21.证明：，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌；
解：，
理由如下：
≌，
，
，
，
．
22.解：设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程所需天数是天，
依题意得：，
解得，
检验，当时，，
所以原方程的解为．
所以天．
答：乙队单独完成这项工程需天，甲队单独完成这项工程需天．
设甲、乙两队合作完成这项工程需要天，
则有，
解得，
需要施工的费用：万元，
，万元，
工程预算的费用不够用，需要追加预算万元．
23.
24.
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