江苏省如皋市 2024-2025 学年八年级上学期期末数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.地铁作为一种高效、低碳、大容量的公共交通方式，已经成为许多国家和地区城市化进程中不可或缺的
基础设施．2023年12月27日，南通城市轨道交通2号线通车仪式在体育公园站举行，标志着南通地铁迈入
“双线换乘时代”.下列地铁标志中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.计算 6 ÷ 3的结果是( )
A. 3 B. 9 C. 18 D. 2
1
3.在√ 2，√ 0.5，√ ，√ 12中，是最简二次根式的是( )
3
1
A. √ 2 B. √ 0.5 C. √ D. √ 12
3
4.人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为( )
A. 1.56 × 10 5 B. 0.156 × 10 5 C. 1.56 × 10 6 D. 15.6 × 10 7
5.如图， ≌ ，∠ = 36 ，∠ = 84 ，则∠ 的度数为( )
A. 36 B. 60 C. 84 D. 120
6.下列由 、 、 组成的三角形中，是直角三角形的是( )
A. = 40, = 50, = 60 B. = 2, = 3, = 4
C. = = = 2 D. = = 1, = √ 2
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7.若 + = 1且 = 2，则代数式(1 )(1 )的值等于( )
A. 2 B. 0 C. 1 D. 2
8.雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨 = ，点 , 分别是 , 的中点， , 是支
架，且 = ，在将伞打开的过程中，总有△ ≌△ ，这里得到两个三角形全等的依据是( )
A. B. C. D.
9.如图，在4 × 4的网格中，每个小正方形的边长为1，点 , , , 均在格点上， 是 与网格线的交点，
则 的长是( )
3 √ 5
A. √ 3 B. C. √ 2 D.
2 2
10.如图， = = 12，∠ = 120 ， ⊥ 交 于点 ， 是 中点，过点 作 // 交 于点
． , 在线段 上，且 = 3√ 3，则 + 的最小值是( )
A. √ 39 B. 3 + √ 3 C. 3 + 3√ 3 D. 3√ 5
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。
1
11.若分式 有意义，则 的取值范围是 ．
4
12.计算：( 1)0 = ．
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13.若等腰三角形的一个底角的度数为40 ，则它的顶角度数为 °.
14.如图， 是 的角平分线， = 6， = 4.过点 作 ⊥ ，垂足为 ，若 = 2，则 的
面积为 ．
15.一个长方形的面积为√ 6 2，长为2√ 2 ，则该长方形的宽为 ．
16.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明
利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”.若图1中
的小正方形边长为1，则图中的大正方形 的边长为 ．
17.学校绿化养护原本采用漫灌的方式， 吨水可用 天．为了节约用水，现采用喷灌的方式， 吨水可多用10
天，则漫灌每天的用水量是喷灌每天用水量的 倍．
18.对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：
如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形 (边长为2和 )和长方形 ，并拼成图2.由面积相等得： (4 ) =
1
22 (2 )2，所以，当 = 2时，长方形面积取得最大值为4.据此可得，代数式( + 2) (8 )的最大值
2
为 ．
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三、计算题：本大题共 2 小题，共 12 分。
19.计算和分解因式
1
(1)计算：√ 12 3√ + √ 27；
3
(2)分解因式：3 2 3 2．
20.计算：
(1)(3 2 )2 (3 + )(3 )；
3 2 +4
(2) (2 ) ．
+2 1+
四、解答题：本题共 6 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
如图， 的顶点的坐标分别为 (0,2)， (3,3)， (1, 1)．
(1)判断 与 之间的数量关系，并说明理由；
(2)作出 关于 轴对称的图形 1 1 1．
22.(本小题8分)
如图，点 , , , 在同一条直线上， = , // , // ．
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(1)求证： ≌ ；
(2)若 = 8, = 2，求 的长．
23.(本小题8分)
近期，如皋的早茶文化深受广大人民的欢迎和喜爱，通过互联网的传播，吸引了不少外地游客前来品尝．小
严和小许商量一起来如皋体验，下面是两人的聊天记录．
请根据他们的对话，分别求出小严和小许的速度．
24.(本小题8分)
在 中，∠ = 90 ， = 12， = 9．
(1)求 的长；
(2)点 为 上的一点，将 沿直线 翻折，点 恰好落在 边上的点 处．请利用无刻度的直尺和圆
规作出点 (不写作法，保留作图痕迹)，并求出 的长．
25.(本小题8分)
如图， 是等边三角形，点 在边 上， // 交 于点 ．
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(1)求证： = ；
(2)如图2，点 在 上， 是等边三角形， 交 于点 ，连接 , ，求证： ≌ ；
(3)在(2)的条件下， 与 的面积之比是1: 2，求 : 的值．
26.(本小题8分)
综合实践：某数学学习小组认真研读教材，围绕“( + ) 的展开式”开展主题学习．
【阅读发现】
我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了( + ) 的展开式(按 的次数由大到小的
顺序)的系数规律，具体如图所示
(1)观察图1中的规律可知，图中“ ”表示的数是 ，( 1)3的展开式为 ；
( +2024)3 ( 2024)3
(2)【运用规律】判断代数式 2 的值是否会随着 的变化而变化，若不变，求这个值；若3 2+2024
变化，请说明理由．
(3)【拓展延伸】
如图是一个棋盘，由8 × 8个黑白交替的正方形方块组成， , 分别表示起点和终点，有一颗棋子在 方块处，
棋子走一步是指将棋子从所在方块移至下一行与之相接的同色方块中，若要求棋子从 方块出发7步走到 方
块，则共有 种不同的走法．(图中 表示的是其中的一种走法)
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】 ≠ 4
12.【答案】1
13.【答案】100
14.【答案】10
√ 3
15.【答案】
2
1
/ √ 3
2
16.【答案】√ 5
+10
17.【答案】
18.【答案】18
19.【答案】【小题1】
1
解：√ 12 3√ + √ 27
3
= 2√ 3 √ 3 + 3√ 3
= 4√ 3；
【小题2】
解：3 2 3 2
= 3 ( 2 2)
= 3 ( + )( )．
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20.【答案】【小题1】
解：(3 2 )2 (3 + )(3 )
= 9 2 12 + 4 2 (9 2 2)
= 9 2 12 + 4 2 9 2 + 2
= 12 + 5 2
【小题2】
3 2 + 4
(2 )
+ 2 1 +
(2 )( + 2) 3 2( + 2)
= [ ]
+ 2 + 2 1 +
(1 )(1 + ) 2( + 2)
=
+ 2 1 +
= 2(1 )
= 2 2
21.【答案】【小题1】
解： = ，理由如下，
∵ (0,2)， (3,3)， (1, 1)，
∴ = √ (3 2)2 + 32 = √ 10，
= √ (2 1)2 + 32 = √ 10，
∴ = ，
故答案为： = ；
【小题2】
解：如图， 1 1 1即为所求作的三角形；
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．
22.【答案】【小题1】
证明：∵ // , // ．
∴ ∠ = ∠ , ∠ = ∠
∵ = ,
∴ ≌ ( )；
【小题2】
∵ ≌ ，
∴ = ，
∴ = ，即 = ，
1 1
∴ = = ( ) = × (8 2) = 3．
2 2
23.【答案】解：设小许的速度为 公里/小时，则小严的速度为1.2 公里/小时，
90 90 15
根据题意得 = ，
1.2 60
解得 = 60，
经检验， = 60是原方程的解，
1.2 = 72，
答：小许的速度为60公里/小时，小严的速度为72公里/小时．
24.【答案】【小题1】
解：∵ ∠ = 90 ， = 12， = 9，
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∴ = √ 2 + 2 = √ 122 + 92 = 15；
【小题2】
解：如图，点 即为所求作，
∵将 沿直线 翻折，点 恰好落在 边上的点 处，
∴ = = 12， = ，
∴ = 15 12 = 3，
设 = = ，则 = 9 ，
在 中， 2 + 2 = 2，即 2 + 32 = (9 )2，
解得 = 4，
∴ = 4．
25.【答案】【小题1】
∵ 是等边三角形，
∴ = = , ∠ = ∠ = ∠ = 60 ，
∵ // ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = 60 ，
∴ 是等边三角形，
∴ = ，
∴ = ；
【小题2】
∵ 是等边三角形， 是等边三角形，
∴ = , = , ∠ = ∠ = 60 ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ≌ ( )；
【小题3】
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连接 ，
∵ 是等边三角形， 是等边三角形，
∴ = , = ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ≌ ( )，
∴ = ，
∵ 与 的面积之比是1: 2，
∴ : = 1: 2，
∴△ 与△ 的面积之比是1: 2，
设 的面积为 ，则 的面积为2 ，设△ 的面积为 ，则△ 的面积2 ，
∴ 的面积为 + ， 的面积为2( + )，
∴ 与 的面积之比是1: 2，
∴ 与 的面积之比是1: 2，
∴ : = 1: 2，即 = 2
∴ = + = 3
∴ : = 2: 3
26.【答案】【小题1】
4
3 3 2 + 3 1
【小题2】
不会随着 的变化而变化，值为4048，
( +2024)3 ( 2024)3 ( + )3 ( )3
设2024 = ，则 2 = 2 2 3 2+2024 3 +
3 + 3 2 + 3 2 + 3 ( 3 3 2 + 3 2 3)
=
3 2 + 2
3 + 3 2 + 3 2 + 3 3 + 3 2 3 2 + 3
=
3 2 + 2
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6 2 + 2 3
=
3 2 + 2
2 (3 2 + 2)
=
3 2 + 2
= 2 = 4048
( +2024)3 ( 2024)3
代数式 的值不会随着 的变化而变化，值为4048；
3 2+20242
【小题3】
31
第 13 页，共 13 页
