参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C D B C C B
9．2024
5
17
15
12
15．
16．15
17．(1)，；
(2)，
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，；-------------------------------------------------3分
（2）解：，，，
∵，
∴，
∴，．-------------------------------------------------3分
18．(1)见解析
(2)作图见解析，点C到点C2的路径长为
【详解】（1）关于原点O成中心对称的如图所示：---------------------3分
（2）将绕点A逆时针旋转得到如图所示：---------------------------------3分
，
∴点C到点的路径长为：．--------------------------------------3分
19．(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为；
(2)或；
(3)．
【详解】（1）解：∵反比例函数过点，
∴，
∴反比例函数的关系式为，-------------------------------------------------1分
∵，
∴B的纵坐标为，
当时，，
解得，
∴，-------------------------------------------------2分
∵，两点在上，
解得：-------------------------------------------------4分
∴一次函数的关系式为．-------------------------------------------------5分
（2）解：根据函数图象得，或．-------------------------------------------------7分
（3）解：设，
∵，
∴，-------------------------------------------------8分
∵，
∴，-------------------------------------------------9分
∴，即，
∴，-------------------------------------------------10分
∵点P为反比例函数在第一象限图象上的一点，
∴，
解得，-------------------------------------------------11分
∴．-------------------------------------------------12分
20．【详解】（1）①如图，点即为所求点；-------------------------------------------------2分
③如图所示，点C即为所求；
由网格的特点可得，
又∵是的半径
∴为的一条切线；-------------------------------------------------5分
（2）如图所示，连接交于点F即为所求；
由网格的特点可得，．-------------------------------------------------8分
21．(1)；
(2)．
【详解】（1）解：根据表格得：函数图象过点，
∴，-------------------------------------------------1分
∴，
∴，
解得：，
∴；-------------------------------------------------3分
故答案为：；；
（2）解：对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴米，
对于，
当时，，
解得：，（不合题意，舍去），
∴，
∵，
∴．-------------------------------------------------6分
22．【详解】（1）解：连接，
∵点是△ABC的内心，
∴平分，
∴，-------------------------------------------------1分
∴，
∴点是的中点，
∴，-------------------------------------------------2分
∵直线，
∴，-------------------------------------------------3分
∴直线与相切．-------------------------------------------------4分
（2）连接，
由（1）得，，
∵所对的圆周角为，，
∴，
∴，-------------------------------------------------5分
∵点是△ABC的内心，
∴平分，
∴，------------------------------------------------6分
∵，，-------------------------------------7分
∴，
∴；------------------------------------------------8分
23．(1)；
(2)，；
(3)．
【详解】（1）把，代入中得，
，
，
抛物线解析式为；------------------------2分
（2）在中，
当时，
，------------------------3分
，，
，
，
，轴，
，
又，
∴，
，
，
当最大时，最大．------------------------5分
设直线解析式为，
，
直线解析式为，
设，则，
．------------------------6分
当时，有最大值，即最大，此时；------------------------8分
（3）如图，设直线交轴于，
，，，
，------------------------9分
，
，
直线解析式为．------------------------10分
联立，
解得或（不符合题意舍去），
．------------------------12分
24．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)有最大值：，有最小值：，图形见解析
【详解】（1）证明：∵△绕点旋转得到△ADE，，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，-------------------------------------------------1分
∴------------------------------------2分
∵，
∴，
∴，
∴，
∴， ------------------------------------3分
∴，
∴，
∴是等腰三角形；------------------------------------4分
（2）证明：∵，，
∴，
又∵△ABC绕点旋转得到△ADE，
∴，------------------------5分
∴，
∵，
∴，
∴，------------------------6分
∵△ABC绕点旋转得到△ADE，
∴，，，
∴，，
又∵，
在和中，
，
∴，------------------------------------7分
∴，
∴点是的中点；------------------------------------8分
（3）解：∵，，
∴，
∵△ABC绕点旋转得到△ADE，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
如图，当、、三点共线且点在点上方时，此时点，点都与点重合，
有最大值：；------------------------10分
------------------------11分
如图，当、、三点共线且点在点下方时，此时点，点都与点重合，
有最小值：．------------------------13分
------------------------14分2024-2025-1莲华学园九年级数学学科期末质量检测
一、单选题
1．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．我们学习的文言文《木兰辞》中就有“对镜贴花黄”的诗句，这个花黄就是剪纸．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果关于的方程无实数根，则的取值范围是（ ） 第7 题图
A． B．且 C． D．且
3．如图，是的直径，是弦，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
第3题图 第4题图 第6题图 第8 题图
4．如图随机闭合开关中的两个，能让灯泡至少一盏发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ）
A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相切
C．与x轴相离，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离
6．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加（ ）
A． B． C． D．
7．若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（ ）
A．B．C． D．
8．已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有（ ）个． A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．若是方程的一个根，则（ ）
10．一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出_________个小分支．
11．若点，在反比例函数的图象上，，则与的大小关系是_______________．
12．如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点，若BH＝7，BC＝13，则DH＝_________ ．
第12题图 第13题图
13．如图，为的直径，点D是弧的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若．则的直径长为__________
14．如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为_________。
15．如图，五个半径为2的圆，圆心分别是点A，B，C，D，E，则图中阴影部分的面积和是________．
16．如图，点A的坐标是，点B的坐标是，C为的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转后得到．若反比例函数的图像恰好经过的中点D，则__________．
第14题图 第15题图 第16题图
三、解答题
17．用适当的方法解下列方程：
(1)； (2)．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上，请完成下列问题：
(1)在图中作出△ABC关于原点O成中心对称的；
(2)将绕点A逆时针旋转得到，请作出，并求出点C到点的路径长．
19．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，已知点的坐标是，．
(1)求反比例函数与一次函数的关系式；
(2)根据图象，直接写出不等式的解集；
(3)点为反比例函数在第一象限图象上的一点，若，请求出点的坐标．
20．如图，在边长为1的正方形网格纸上，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上，仅用无刻度的直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图1中，①作的中点M：
②取格点C，使为的一条切线．（做出符合题意的一点即可）
(2)在图2中，作直径，E为外任一点，过E作的垂线垂足为F．
21．2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得金牌，陈芋汐获得银牌，在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），如图2所示，建立平面直角坐标系，如果她从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系．
(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离x/m 3 h 4 4.5
竖直高度y/m 10 11.25 10 6.25
根据表中数据，直接写出h的值为 ，满足的二次函数关系式为： ；
(2)在（1）的条件下，记全红婵训练时入水点的水平距离为；比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足二次函数关系：，记比赛当天入水点的水平距离为，判断与的大小关系，并说明理由．
22．已知锐角△ABC内接于，点是△ABC的内心，连接交于点，过点作的平行线．
(1)求证：直线与相切；
(2)若半径为，．连接，求证：
23．如图①，抛物线与轴交于和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点。
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△PAC的面积是△ABC面积的时 ，求点的坐标；
(3)如图（2），点是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标．
24．在△ABC中，，，在平面内，把△ABC绕点旋转得到△ADE，垂直直线，垂足为，的延长线交于点．
(1)如图①，若，求证：是等腰三角形；
(2)如图②，若点在上，求证：点是的中点；
(3)连接，写出的最大值和最小值，并在图上画出对应的图形．
