汕头市澄海区2024-2025学年九年级上学期期末质量监测
数学科试卷
说明：1．全卷共4页，考试用时120分钟，满分为120分；
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡信息栏填写自己的姓名、考生号和座位号，并用2B铅笔填涂考生号；
3．答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，且必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效；
4．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分,在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选选项的字母填涂在答题卡中对应题号的方格内）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
(
第2题图
)A．点A与点是对称点 B．
C．∥ D．
3．从2位男同学和2位女同学中任选2人参加志愿者活动，所选
2人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率是( )
A． B． C． D．
4．二次函数y = x2的图象向左平移2个单位后得到函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是( )
(
第6题图
)A．36 B．9 C．6 D．3
6．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AC＝CD，
若∠ABC＝26°，则∠DAB的度数为（ ）
A．64° B．52° C．38° D．26°
7．把一根长为4m的铁丝折成一个矩形，当矩形的一边长为xm时，它的面积为ym2，则下列结论正确的是（ ）
A．y有最大值为1 B．y有最大值为4 C．y有最小值为1 D．y有最小值为4
8．若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2016 B．2018 C．2022 D．2024
(
第9题图
)9．如图，在平面直角坐标系中有一等边△ABC，其坐标分别为A(0，0)，B(2，0)，将△ABC绕点B顺时针方向旋转，则旋转后C点的坐标为（ ）
A．(3，1) B．(3，)
C．(，) D．(，1)
10．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，点E、F分别为边AD、CD的中点，点O为正方形的中心，连接OE、OF，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接BP、PQ，△PBQ的面积为，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
(
B
．
) (
A
．
) (
第10题图
) (
D
．
) (
C
．
)
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上）
11．在平面直角坐标系中，点（5，a）关于原点对称的点为（b，-4），则 ．
(
第13题图
)12．二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ．
13．如图，当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为 cm．
(
A
B
C
D
第15题图
)14．若两个一元二次方程有一个相同的实数根，则称这两个方程为
“友好方程”，已知关于的一元二次方程与
为“友好方程”，则的值为 ．
15．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与D点重合．若，则的长为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．解方程：．
(
第17题图
)17．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线上，直角边OB在x 轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
边CD与该抛物线交于点P，求点P的坐标．
18．随着时代的发展，科技的进步，进入移动支付时代后，支付方式的转变不仅让大家生活更便捷，也改变着人们的消费观念．某超市为方便顾客购物付款，可供顾客选择的付款方式有以下四种：A．现金支付，B．刷卡支付，C．微信支付，D．支付宝支付．每种付款方式被选择的可能性是相同的．
（1）小明的妈妈去该超市购物，选择“C．微信支付”的概率为______________；
（2）若甲、乙两人在该超市购物，请你通过列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择不同付款方式的概率．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．某公司以每件40元价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量y（件）与每件的销售单价x（元）满足一次函数关系：．
（1）当x＝50时，利润为 元；
（2）若该公司要获得418元的利润，求每件的销售单价．
(
第20题图
)20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点O是AB的中点，将直角三角板的直角顶点绕点O旋转，三角板的两条直角边与AC、BC分别交于点M、N（不与端点重合），连接MN．
（1）判断在旋转过程中CM与BN的数量关系？并说明理由；
（2）求动态线段MN的最小值．
(
第21题图
A
B
C
D
O
E
)21．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，连接AO，并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延
长线交于点E．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD＝4，求线段CE的长．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标轴上，点B（8，8），P是射线OB上一点，将△AOP绕点A顺时针旋转90°后得到△ABQ．
（1）如图1，当时，求点的坐标；
（2）如图2，设点，△APQ的面积为S，求S与的函数关系式，并求出S取得最小值时的值；
（3）如图3，若点P在OB的延长线上，当时，求点的坐标．
(
第22题图3
A
B
C
O
P
Q
x
y
) (
第22题图2
A
B
C
O
P
Q
x
y
) (
第22题图1
A
B
C
O
P
Q
x
y
)
23．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．连接BC．点P是抛物线第一象限内的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交BC于点E．过点P作BC的平行线，交y轴于点M．
（1）求A，B，C三点的坐标，并求出直线BC的函数表达式；
（2）在点P的运动过程中，求使四边形CEPM为菱形时，m的值；
(
第23题备用图
) (
第23题图
)（3）点N为平面内任意一点，在（2）的条件下，直线PM上是否存在点Q使得以P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
42024-2025 学年度第一学期期末质量监测
九年级数学科试卷参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．B；2．D；3．B；4．C；5．B；6．C；7．A；8．D；9．B；10．D．
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11．-1；12．（3，0）和（-1，0）；13．5；14． 3或11；15．6．
2 2
三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
16．解：方程两边开平方得：
2x 1 3(x 2)，--------------------------------------------------------------2 分
∴ 2x 1 3(x 2)或 2x 1 3(x 2)，------------------------------------3 分
解得： x1 7， x2 1．-----------------------------------------------------7 分
17．解：（1）∵点 A（-2，4）在抛物线 y ax2上，
∴ 4a 4，
∴ a 1，--------------------------------------------------------------------------1 分
∴抛物线的解析式为 y x2．------------------------------------------------2 分
（2）∵点 A的坐标为（-2，4），
∴AB=4，OB=2，---------------------------------------------------------------3 分 第 17题图
∵Rt△OAB绕点 O顺时针旋转 90°得到△OCD，
∴OD=2，CD∥x轴，---------------------------------------------------------4 分
当 y 2时， x2 2，
∴ x 2（负值舍去），---------------------------------------------------6 分
∴点 P的坐标为（ 2，2）．-----------------------------------------------7 分
1
18．解：（1） ；-------------------------------------------------------------2 分
4
（2）列表如下：
A B C D
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
---------------------------------------------------------------------------------------5 分
由表可知，共有 16种等可能结果，其中甲、乙两人选择不同付款方式的结果有 12种，-------6 分
九年级数学科试卷参考答案及评分意见 （第 1 页 共 6 页）
{#{QQABaYIt5gowgBZACL4rUQWCCgkQsJCTLYgGxUCcqAwKSAFAFIA=}#}
12 3
∴甲、乙两人选择不同付款方式的概率为 ．-------------------------------7 分
16 4
四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
19．解：（1）利润为 400（元）．-----------------------------------------------------3 分
（2）由题意得： ( 2x 140)(x 40) 418，---------------------------------------5 分
整理得： x2 110x 3009 0，-------------------------------------------------------6 分
解得： x1 59， x2 51，--------------------------------------------------------------8 分
答：该公司要获得 418元的利润，每件的销售单价为 59元或 51元．------9 分
20．解：（1）CM=BN，理由如下：--------------------------------------------------1 分
连接OC，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵点 O为 AB的中点，
∴CO⊥AB，OC=OB，∠ACO=∠BCO＝45°，-------------------------------2 分
∴∠BON+∠CON＝90°，
∵∠COM+∠CON＝90°，
∴∠COM=∠BON，------------------------------------------------------------------3 分
在△COM和△BON中，
MCO B
∵ CO BO ，
COM BON
第 20题图
∴△COM≌△BON(ASA)，---------------------------------------------------------4 分
∴CM=BN．----------------------------------------------------------------------------5 分
（2）设CM BN x，则CN 4 x，-----------------------------------------6 分
在 Rt△MCN中，由勾股定理可得：
MN 2 CM 2 CN 2 x2 (4 x)2 -------------------------------------------------7 分
2(x 2)2 8 -------------------------------------------------8 分
当 x 2时，MN取得最小值为 2 2．------------------------------------------9 分
21．（1）证明：连接 OC，--------------------------------------------------------1 分
∵∠ABC＝45°，
∵∠AOC＝2∠ABC=90°，------------------------------------------------------2 分
∵CE是⊙O的切线，
∴∠ECO＝90°，
九年级数学科试卷参考答案及评分意见 （第 2 页 共 6 页）
{#{QQABaYIt5gowgBZACL4rUQWCCgkQsJCTLYgGxUCcqAwKSAFAFIA=}#}
∴∠AOC+∠ECO＝180°，---------------------------------------------3 分
∴AD∥EC．----------------------------------------------------------------4 分
（2）解：过点 A作 AG⊥CE于点 G，则∠AGC=90°，--------5 分
∴∠AOC=∠ECO=∠AGC＝90°，
∴四边形 AOCG是矩形，
∵OA=OC，
∴矩形 AOCG是正方形，
1
∴AG=CG=OA= AD=2，∠DAC＝45°，-------------------------6 分
2
∵∠BAC＝75°， B A E
∴∠BAD＝75°-45°＝30°， O
∵AD∥EC， D G
C
∴∠E＝∠BAD＝30°，------------------------------------------------7 分
第 21题图
∴在 Rt△AEG中，
∴ AE 2AG 4，
∴ EG 42 22 2 3，----------------------------------------------8 分
∴CE CG GE 2 2 3．-----------------------------------------9 分
五、解答题（三）（本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分）
22．（1）解：如图 1，过 P点作 PG x轴于点 G，
过Q点作QH x轴于点 H，----------------------------------------1 分 y
∵四边形OABC是正方形，∴∠AOB＝45°， C B
∵B（8，8），∴OA=8，
Q
在 Rt△POG中， P
∵OG=PG，PG2 OG2 OP2 18，
O G A H x
∴OG PG 3，------------------------------------------------------2分
第 22题图 1
∴ AG OA OG 5，
∵△AOP绕点 A顺时针旋转90 得△ABQ，
∴∠PAQ＝90°， AQ AP，
∴∠PAG+∠QAH＝90°，
∵∠PAG+∠APG＝90°，
∴∠APG=∠QAH，
∴△RtAQH≌△RtPAG(AAS)，-------------------------------------3 分
∴ AH PG 3，QH AG 5，
∴OH=OA+AH=8+3=11，
∴Q（11，5）．---------------------------------------------------------4 分
九年级数学科试卷参考答案及评分意见 （第 3 页 共 6 页）
{#{QQABaYIt5gowgBZACL4rUQWCCgkQsJCTLYgGxUCcqAwKSAFAFIA=}#}
（2）如图 2，过 P点作 PG x轴于点 G．
∵△AOP绕点 A顺时针旋转90 得△ABQ， y
∴∠PAQ＝90°， AQ AP，
B
∵P(x，y)，∠POG＝45°， C
∴ PG OG x， P
Q
∴ AG 8 x，--------------------------------------------------------------5 分
O G A H x
在 Rt△APG中，根据勾股定理得：
第 22题图 2
AP2 AG 2 PG 2 (8 x)2 x2 2x2 16x 64，-----------------6分
∵ AQ AP，
∴ S 1 1 2 2APQ AP AQ AP x 8x 32 ----------------------------7 分 2 2
(x 4)2 16，
∴当 x 4时，S取得最小值．-------------------------------------------8 分
y
（3）如图 3，∵△AOP绕点 A顺时针旋转90 得△ABQ， P
∴∠PAQ＝90°，OP=BQ， C B
∵ BP BQ 10 2，
∴ BP OP 10 2，---------------------------------------------------------9 分 G H
O A x
∵点 P在 OB的延长线上，且OB 8 2， Q
第 22题图 3
∴ OP BP 10 2 ，
OP BP 8 2
解得： OP 9 2 ，--------------------------------------------------------10分
BP 2
过 P点作 PG x轴于点 G，过Q点作QH x轴于点 H，
则OG PG 2 OP 9，-------------------------------------------------11分
2
∴ AG OG OA 1，
同（1）：可证△APG≌△QAH，
∴ AH PG 9，QH AG 1，
∴OH OA AH 8 9 17，------------------------------------------12分
∴Q（17，-1）．--------------------------------------------------------------13分
九年级数学科试卷参考答案及评分意见 （第 4 页 共 6 页）
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23．解：（1）由 y x2 2x 3，令 y 0得，
x2 2x 3 0，
解得： x1 1， x1 3，--------------------------------------------------1 分
令 x 0得，得： y 3，
∴A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)，---------------------------------------2分
设直线 BC的函数表达式为 y kx b，
把 B(3，0)，C(0，3)代入 y kx b得：
3k b 0 k 1
，解得： ，
b 3 b 3
∴直线 BC的函数表达式为 y x 3．------------------------------3 分
（2）如图 1，过点 C作 CH⊥PE于点 H，
∵B(3，0)，C(0，3)，，
∴OB=OC=3，--------------------------------------------------------------4 分
∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°，
∵PD⊥x轴，∴∠CEH＝∠BED＝45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∴CE 2CH，-----------------------------------------------------------5 分 第 23题图 1
∵点 P(m， m2 2m 3 )，点 E(m， m 3 )，
∴ PE m2 2m 3 ( m 3) m2 3m，CH m，
∴CE 2m，-------------------------------------------------------------6 分
∵四边形 CEPM为菱形，
∴CE=PE．
∴ m2 3m 2m，----------------------------------------------------7分
解得：m 3 2或m 0（舍去），
∴m的值为3 2．------------------------------------------------------8 分
（3）存在，理由如下：---------------------------------------------------9 分
由（2）得：点 P(3 2 ， 4 2 2 )，点 E(3 2 ， 2 )，
∴ PE 3 2 2，
根据题意可设直线 PM的解析式为 y x a，
九年级数学科试卷参考答案及评分意见 （第 5 页 共 6 页）
{#{QQABaYIt5gowgBZACL4rUQWCCgkQsJCTLYgGxUCcqAwKSAFAFIA=}#}
把点 P(3 2， 4 2 2 )代入，得：
(3 2) a 4 2 2，
解得： a 3 2 1，
∴直线 PM的解析式为 y x 3 2 1---------------------------------------10分
当 y 2时， 2 x 3 2 1，
第 23题图 2
解得： x 2 2 1，
如图 2，过点 E作 EQ⊥PE交直线 PM于点 Q，
∴点 Q( 2 2 1， 2 )，------------------------------------------------------------11分
∴ EQ 2 2 1 (3 2) 3 2 2，
∴PE=EQ，
此时点 Q( 2 2 1， 2 )使得以 P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形；-----------12分
如图 3，过点 E作 EQ⊥PM于点 Q，过点 Q作 SQ⊥y轴于点 S，
由（2）得：∠BED＝45°，
∵PM∥BC，
∴∠BED＝∠DPQ＝45°，
∴△PEQ和△PSQ都是等腰直角三角形，
∴此时点 Q使得以 P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形，
∴ PS 1 3 2 2 SE PE ， 第 23题图 3
2 2
S(3 2 5 2∴点 ， 1)，---------------------------------------------------------13分
2
对于 y x 3 2 1，
y 5 2 2当 1时， x 2，
2 2
Q( 2 5 2∴点 2， 1)，
2 2
综上所述，存在点 Q( 2 2 1 2 5 2， 2 )或 Q( 2， 1 )，
2 2
使得以 P，E，Q，N为顶点的四边形是正方形．-----------------------------14分
九年级数学科试卷参考答案及评分意见 （第 6 页 共 6 页）
{#{QQABaYIt5gowgBZACL4rUQWCCgkQsJCTLYgGxUCcqAwKSAFAFIA=}#}
