2024年冬季学业水平监测
八 年 级 数 学 试 题
(本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟)
★ 祝 考 试 顺 利 ★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置;
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效;
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔;
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(共10小题，每小题3分，本大题满分30分. 每一道小题有A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项最符合题目要求，把最符合题目要求的选项的代号直接填涂在答题卡内相应题号下的方框中，不涂、涂错或一个方框内涂写的代号超过一个，一律得0分.)
1．下列是二次根式的是：
A． B． C． D．
2．刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，
5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为：
A．5×10－9 B．0.5×10－8 C．50×10－10 D．以上都可以
3．改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是：
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列计算错误的是：
A． B． C． D．
6．如图，已知，点B，E，C，F在同一条直线上，BE=5，EF=14．则CE长为：
A．3 B．4 C．5 D．9
7．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠A'O'B'＝∠AOB，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△OCD≌△O'C'D'的依据是：
A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
8．已知4x2－kx+1是一个完全平方式，则k的值为：
A．2 B．±2 C．4 D．±4
9．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米，其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”，问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，设可以换得的粝米为x升，则下列方程正确的是：
A． = B．= C． = D．=
10．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D作交AC于点E，交的平分线于点F，若BD=10，CE=7，则EF的长为：
A．4 B．3 C．2 D．无法求出
二、填空题（共5小题，每小题3分，本大题满分15分.将每小题的最后正确答案填在答题卡中对应题号的横线上.）
11．点 A (－2，5)关于 y 轴对称的点 B 的坐标为 ．
12．如果分式值为零，那么x＝ ．
13．计算：的结果为 ．
14．已知1＜x＜2，化简= ．
15．如图，△ABC中，AC=AB，∠CAB=30°，AD是高，P，Q分别是
AD，AB上的动点，若AC=12，则PB+PQ的最小值为 ．
三、解答题（应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果你觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.本大题共9小题，满分75分.）
16．(本题6分)计算：
17．(本题6分)分解因式：
(1)x2－9； （2）x2－x－6.
18．(本题6分)化简：．
19．(满分8分)综合与实践.某数学兴趣小组在校外开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量池塘两岸相对的两点A，B的距离
活动方案 方案一 方案二
方案 示意图
实施过程 1.池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD； 2.再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上； 3.测量出DE的长； 1.池塘外取AB的垂线BF上的点C； 2.再画出BF的垂线BD，使D与A，B在一条直线上,且∠ACB=∠BCD； 3.测量出BD的长；
测量数据 DE=500 m.； BD=500 m.；
备注 1.图上所有点均在同一平面内； 2.A为不可直接到达之地，B离池塘边有一定距离； 1.图上所有点均在同一平面内； 2.A为不可直接到达之地，B离池塘边有一定距离；
请你从以上两种方案中任选一种，并求出A，B间的距离.
20. (满分8分) 数形结合 是一种数学思想方法，通过将抽象的数学语言和数量关系与直观的几何
图形和位置关系结合起来，利用它们的相互转化来解决数学问题.这种方法可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，是优化解题过程的重要途径之一.主要包括两个方面： 以数解形 ：通过给图形赋值（如边长、角度等），利用数的精确性来阐明形的某些属性； 以形助数 ：通过几何图形的直观性来阐明数之间的关系.实际学习过程中若能亲自动手操作将“ 数形结合”演示一遍就会获得更直观的感受.请你体验：
如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
图1 图2
（1）自主探究：用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，从而发现一个等量关系是 ；
（2）知识迁移：若x﹣y＝4，xy＝1，则（x+y）2＝ ；
（3）变化延伸：(2025－a)2+(2024－a)2=25.求(2025－a)(2024－a)的值.
21．(满分8分)如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂
足为，延长交于点．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）已知，求的长．
22. (满分10分)如图，某小区有一块长为8a（a＞）米、宽为（8a－4）米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为（4a+2）米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将如图阴影部分进行绿化，对四个角的四个正方形采用A绿化方案，对正中间的长方形采用B绿化方案.
（1）A绿化方案的每个正方形边长是多少米？B绿化方案的长方形另一边长是多少米？(用含的代数式表示)；
（2）A、B两种绿化方案的面积有没有可能相等？若有可能，求出a值；若没有可能，说明理由；
（3）若采用A、B两种绿化方案的总造价相同,均为2700元，请你判断哪种方案单位面积造价高 并说明理由.
23.(本题满分11分)如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点E在AC边上，点D在直线BC上，连结CF．
（1）如图1，当点D在BC的延长线上时，延长AC到M，使CM=CD，连结MD，判断△CMD的形状，并说明理由；
（2）由（1）可容易得到∠EDM=∠FDC，从而可得△EDM≌△FDC，因而可得结论∠ACF=60°.如图2，当点D在BC边上时，这个结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）当点D在CB的延长线上，点F在BC下方时，∠ACF等于多少度？请在图3中补全图形，做出辅助线，直接写出结论．
24．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0），其中a，b满足，，连接AB，设D（m，0），且m≥0，以AD为腰作等腰三角形DAC，∠DAC=90 .
（1）点A的坐标为 ，B的坐标为 ；
（2）当 0≤m＜3时，求点C的坐标（用含m的式子表示）；
（3）当m＞0且m≠3 时，过点C作CF⊥AC交y轴于点F，过点D作DE⊥AD交直线AB于点E，连接EF，判断线段EF，CF，DE之间有何数量关系式，并予以证明.
参考答案
一、选择题(共10小题，每小题3分，本大题满分30分. 每一道小题有A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项最符合题目要求，把最符合题目要求的选项的代号直接填涂在答题卡内相应题号下的方框中，不涂、涂错或一个方框内涂写的代号超过一个，一律得0分.)
1．D．2．A．3．B． 4．A． 5．C． 6．D．7．C．8． D．
9．A． 10．B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，本大题满分15分.将每小题的最后正确答案填在答题卡中对应题号的横线上.）
11． (2，5)
12．1
13．2
14．1
15． 6
三、解答题（应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果你觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.本大题共9小题，满分75分.）
16．原式=…………………………………………2分
=…………………………………………4分
=2－3=－1.…………………………………………6分
17．（1）解：原式=（x+3）（x－3）；…………………………………………3分
（2）解：原式=（x+2）（x－3）.…………………………………………6分
18．原式=…………………………………………2分
=…………………………………………4分
=…………………………………………6分
19．选择方案一：…………………………………………………2分
如图，由方案可得，∠ABC=∠CDE=90°，…………………………3分
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC（ASA）…………………………………………………5分
∴AB=DE=500 m．…………………………………………………7分
∴ A，B间的距离是500 m.…………………………………………………8分
选择方案二：…………………………………………………2分
如图，由方案可得，∠ABC=∠CBD=90°，…………………………………………………3分
∴△ABC≌△DBC（ASA）……………………………5分
∴AB=BD=500 m．………………………………………7分
∴ A，B间的距离是500 m.……………………………8分
20．(1)图2中的阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，因此面积为（a﹣b）2，
图2的阴影部分也可以看作边长为（a+b）的大正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形的面
积，即为（a+b）2﹣4ab，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；…………………………………………2分
(2)由（1）得（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，
当x﹣y＝4，xy＝1，
则（x+y）2＝42+4×1＝20； …………………………………………5分
(3)设2025－a=x，2024－a=y，
则x﹣y＝1，x2+y2＝25 …………………………………………6分
∴（x﹣y）2＝x2＋y2﹣2xy＝1， …………………………………………7分
∴2xy＝x2＋y2﹣1=25﹣1=24，
∴xy=12，
即(2025－a)(2024－a)的值为12.…………………………………………8分
21．（1）证明：
∵的平分线交于点，
∴，…………………………………………1分
∵，
∴，
∴，
∴，…………………………………………2分
∴，…………………………………………3分
∴为等腰三角形；…………………………………………4分
（2）解：如图所示，连接，…………………………5分
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，…………………………………………6分
∴，…………………………………………7分
又∵．
∴．…………………………………………8分
方法二：证∴∴ED=EC=BD.
【不同方法，酌情评分】
22. (1)A绿化方案的四个正方形边长=米；…………………2分
B绿化方案的长方形的另一边长=米．…………………3分
(2)没有可能.理由如下：…………………………………………4分
记A绿化方案面积为SA，B绿化方案面积为SB，根据题意得：
SA=4（2a－1）2，SB=（4a+2）（4a﹣2）=4(2a+1)(2a－1)，
假设SA=SB，则4（2a－1）2=4(2a+1)(2a－1)…………………………………………5分
∵a＞ ∴2a－1＞0
∴2a－1=2a+1
所以－1=1，显然不成立…………………………………………6分
∴A、B两种绿化方案的面积没有可能相等
(3)由（2）可得，A绿化方案单价为：或，
B绿化方案单价为：或．……………………………7分
∵，∴2a+1＞2a－1＞0，
∴－…………………………………………8分
＝＝＞0，
∴＞或＞，………………………9分
∴A绿化方案单位面积造价高．…………………………………………10分
【不同方法，酌情评分】
23．(1)△CMD是等边三角形………………………………1分
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB=∠DCM=60°……………………………2分
∵CM=CD
∴△MDC是等边三角形……………………………3分
(2) 成立，…………………………………………………………4分
证明：在CA上截取点M，使CM=CD，连结MD，………………5分
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60°
∵CM=CD
∴△MDC是等边三角形 ………………………………6分
∴MD=CD ， ∠CDM=60°
∵△DEF都是等边三角形
∴ED=FD ， ∠EDF=60°
∴∠CDM－∠MDF=∠EDF－∠MDF
∴∠EDM=∠FDC
∴△EDM≌△FDC（SAS） …………………………………………7分
∴∠EMD=∠FCD=180°－60°=120°
∴∠ACF=120°－60°=60°……………………………………8分
(3)补全图形：如图，过D作DM∥AB，交CA延长线于M，连接CF， ……………………10分
仿照（1）（2）方法，证明△DMC为等边三角形，△EDM≌△FDC，
∴∠FCD=∠EMD=60°，
∴∠ACF=∠FCD+∠ACB=120°．………………………………………11分
【不同方法，酌情评分】
24．(1)A（0，3），B（3，0）；……………………………3分
(2)如图，过点C作CG⊥y轴于G，…………………………4分
∴∠AGC=∠AOB=90°，
∵A（0，3），D（m，0），0≤m＜3，
∴OA=3，OD=m，…………………………………………5分
∵∠ADO+∠DAO=90°，∠CAG+∠OAD=90°，
∴∠ADO=∠CAG，
又∴AC=AD，
∴△AOD≌△CGA（AAS），
∴AO=CG=3，AG=DO=m，
∴GO=3－m，…………………………………………6分
∵点C在第二象限，
∴点C（－3，3－m）；…………………………………………7分
(3)EF=CF－DE或EF=CF＋DE.理由如下：…………………………………………8分
①如图所示：当D在线段BO上时，过点A作HA⊥AB交CF于点H，
∵CA⊥AD，HA⊥AB，AD⊥DE，
∴∠CAH+∠HAD=∠HAD+∠DAE=90°，∠ACH=∠ADE=90°，
∴∠CAH=∠DAE，
∵△DAC为等腰直角三角形，
∴AC=AD，
在△ACH和△ADE中，
，
∴△ACH≌△ADE（ASA），
∴AH=AE，CH=DE，
∵HA⊥AB，∠OAB=45°，
∴∠HAF=45°=∠EAF，
在△AHF和△AEF中，
，
∴△AHF≌△AEF（SAS），
∴HF=EF，
∵HF=CF－CH=CF－DE，
∴EF=CF－DE；…………………………………………10分
②当D在线段OB的延长线上时，如图，过点A作HA⊥AB交FC的延长线于点H，
同理可得：△ACH≌△ADE，
∴CH=ED，
同理可得：△AHF≌△AEF，
∴HF=EF，
∴EF=HF=CF+HC=CF＋DE．………………………………11分
综上：EF=CF－DE或EF=CF＋DE.…………………………………12分
【不同方法，酌情评分】
