2024年冬季学业水平监测
七 年 级 数 学 试 题
(本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟)
★ 祝 考 试 顺 利 ★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置;
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效;
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B 铅笔或黑色签字笔;
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(共10小题，每小题3分，本大题满分30分. 每一道小题有A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项最符合题目要求，把最符合题目要求的选项的代号直接填涂在答题卡内相应题号下的方框中，不涂、涂错或一个方框内涂写的代号超过一个，一律得0分.)
1．中国是最早用正负数表示相反意义的量的国家．若将节约20度电记作度，则浪费16度电记作：
A．20 B．－20 C．－16 D．16
2．下列几何图形中，不是立体图形的是：
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是：
A． B．
C． D．
4．毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，
天堑变通途”．正如从黄果树风景区（A点）到关岭县
城（B点）的坝陵河（直线L）大桥建成后，从黄果树
风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用
所学数学知识解释这一现象恰当的是：
A．过一点可以画多条直线 B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短 D．连接两点间线段的长度是两点间的距离
5．下列方程变形正确的是：
A．由，得
B．由去括号得：
C．由，得
D．由，去分母得：
6．如果∣a∣=a，那么a是（ ）
A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数
7．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得：
A． B．
C． D．
8．进位制是人们在计数和运算时约定的计数系统，十进制就是逢十进一，逢二进一就是二进制，为了区分不同基数的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制通常不标基数），例如：十进制数
；又如：二进制数和其中；，把十进制数转换成二进制等于：
A． B． C． D．
9．如图，把一块三角板的直角顶点放在直线上，若
，则
A． B． C． D．
10．如图，已知线段，延长至C，使得．若D是的中点，E是的
中点，则的长为：
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（共5小题，每小题3分，本大题满分15分.将每小题的最后正确答案填在答题卡中对应题号的横线上.）
11．－1的绝对值是★★★★．
12．某公司一年的销售利润是150亿元．150亿用科学记数法表示为★★★★．
13．某中学为每个学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生．如果表示“2015
年入学的班号的同学，是位女生”，那么2024年入学的班号男生的编号是★★★★．
14．已知，A，B，C三点在一条直线上，且AB=9，AC=3，则BC长为★★★★．
15．如图，OC⊥AB于点O，OD是∠AOB内的一条射线，OE是同一平面
内的一条射线，且与互余，若=60°，则=
★★★★°，的度数为★★★★．
三、解答题（应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果你觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.本大题共9小题，满分75分.）
16．(满分6分)计算：
17．(满分6分)先化简，再求值：，其中．
18．(满分6分) 解方程：．
19．(满分8分)如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OF平分
∠AOC，已知，∠BOF=156°，求∠DOE的度数.
20．(满分8分) 若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形．图中“△”的个数为，
“★”的个数为；图中“△”的个数为，“★”的个数为；
图中“△”的个数为，“★”的个数为，…，
......
(1)按上图所示规律，图6中有_________个“△”，图6中有_________个“★”；
(2)按上图所示规律，图n中有_________个“△”，图n中有_________个“★”；
(3)设图中有个“△”，个“★”．
①当=28时，的值是多少？
②试求与之间的数量关系．
21．(满分8分) 当地时间10月30日，国家地区奥委会协会（间称“国际奥协”第27届全体大会在葡萄牙卡斯凯什开幕，在当次的颁奖典礼上，中国乒乓球运动员马龙获得杰出运动生涯奖，乒乓球一直是中国的“国球”，这个称号不仅源于中国在乒乓球国际竞技赛场上的卓越表现，还与中国深厚的乒乓球文化和广泛的群众基础密切相关，某班准备购买一些乒乓球拍和乒乓球，市场调查情况如下：甲、乙两家体育用品商店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，两家商店乒乓球拍标价均为每副80元，乒乓球的标价均为每盒20元，甲商店每卖一副球拍免费赠送一盒乒乓球，乙商店全部按标价打9折出售，现该班需购买球拍5副，乒乓球盒（不少于5盒）．
(1)去甲商店购买总费用为 元；去乙商店购买总费用为 元．（请用含的代数式表示）
(2)当购买多少盒乒乓球时，甲、乙两家商店所需费用一样？
(3)当购买40盒乒乓球时，怎样购买最划算？
22．(满分10分) 综合与实践.从以下项目任务中任选一个项目，完成探索任务．
项目 设计合适的盒子
材料 一个长为90 cm，宽为60 cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计）．
项目1：设计无盖长方体盒子 项目2：设计有盖长方体盒子
方案一 把这块长方形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的周长是220 cm． 方案二 把这块长方形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样大小的长方形（如图3），然后折叠成一个有盖盒子（如图4），使得该长方体盒子底面的长是宽的4倍．
示意图 示意图
任务1 确定无盖盒子的高. 根据项目1的方案，求出该长方体盒子的高． 任务2 研究有盖盒子的体积. 根据项目2方案，求出减掉的小正方形的边长，并求出此长方体盒子的体积．
23．(满分11分)探究题：如图①，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D、E分别是和的中点．
(1)若AC=4 cm，求的长；
(2)试利用“字母代替数”的方法，设AC=a cm（a≤），试说明不论a取何值，DE的长不变；
(3）知识探究，如图②，已知，过角的内部任一点C画射线．若、分别平分和，试说明与射线的位置无关．
24．(满分12分)如图1，已知，有公共顶点O的两个角∠AOB=α°，∠COD=β°，且α，β满足α+β=180，
α＞β.
(1)若α，β满足，则∠AOB= ，∠COD= ， ∠BOC与∠AOD的特殊关系是 ；
(2)将图1中的∠COD绕点O逆时针旋转至图2与图3时，∠BOC与∠AOD是否还具有(1)中的特殊关系？请分别予以说明理由；
(3)在(1)的条件下，在旋转过程中，当∠AOC与∠BOD互余时，请求出∠AOC的度数，并画出相对应的示意图.
参考答案
一、选择题(共10小题，每小题3分，本大题满分30分. 每一道小题有A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项最符合题目要求，把最符合题目要求的选项的代号直接填涂在答题卡内相应题号下的方框中，不涂、涂错或一个方框内涂写的代号超过一个，一律得0分.)
1．C 2 D．3．B．4．C．5．C．6．B．7．B．8．A．9．B．10．A．
二、填空题（共5小题，每小题3分，本大题满分15分.将每小题的最后正确答案填在答题卡中对应题号的横线上.）
11、1；12、1.5×1010；13、202401371；14、6或12；15、60°，30°或150°.
三、解答题（应写出文字说明、证明过程或推演步骤.如果你觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.本大题共9小题，满分75分.）
16．解原式=－1－18×+18×－8÷4…………………………………………2分
=－1－6+15－2…………………………………………4分
=6.…………………………………………6分
17．原式=…………………………………………1分
=…………………………………………3分
=－2ab2.…………………………………………4分
将代入2ab2得，－2×（）×12=1×1=1.………………………………………6分
18．解：去分母，得2（x+1）+3（x－2）=6，…………………………………………2分
去括号，得2x+2+3x－6=6，…………………………………………3分
移项，得2x+3x=6－2+6，…………………………………………4分
合并同类项，得5x=10…………………………………………5分
系数化为1，得x=2.…………………………………………6分
19．∵∠BOF=156°（已知），
∴∠AOF=180°－156°=24°（邻补角的性质），……………………………………1分
∵OF平分∠AOC（已知），
∴∠AOC=2∠AOF=48°（角平分线的定义），………………………………………………3分
∴∠BOD=∠AOC=48°(对顶角相等），…………………………………………4分
∵OE⊥AB（已知），
∴∠BOE=90°（垂直的定义），……………………………………………………6分
∴∠DOE=90°－∠BOD=90°－48°=42°（余角的定义）.…………………………………8分
【特别说明】每步的分值含说理，若没有说理蓝色依据每一个扣0.5分.
20．(1)，；………………………………………………………2分
(2)，，………………………………………………………6分
(3)①当=28时，=28，
解得，=10，
此时，==×10=57，………………………………………………………7分
②∵，，
∴22（）=+4=1，
∴．………………………………………………………8分
21．(1)（20x+300），（18x+360）；………………………………………………………2分
(2)根据题意，得20x+300=18x+360，
解得x=30．………………………………………………………4分
答：当购买30盒乒乓球时，甲、乙两家商店所需费用一样；…………………………………5分
(3)当x=40时，方案1：去甲商店购买，需要20x+300=20×40+300=1100元钱；
方案:2：去乙商店购买，需要18x+360=18×40+360=1080元钱；………………………………6分
方案:3：在甲商店购买5副球拍，在乙商店购买35盒乒乓球，需费80×5+20×0.9×35=1030元钱，
∵1030＜1080＜1100，
∴方案3最划算. ………………………………………………………7分
答：在甲店购买5副球拍，乙店购买35盒乒乓球，最划算，所需费用为1030元．………8分
22．项目任务1：
长方体盒子的高为a，则底面长为，则底面宽为，……………………2分
，…………………………………………………7分
∴．…………………………………………………9分
故长方体盒子的高为．…………………………………………………10分
项目任务2：
设减掉的正方形的边长xcm，即盒子的高为xcm，则盒子的宽为（30－x）cm，长为（90－2x）cm．……………………………………2分
由素材3可得方程，90－2x=4（30－x），…………………………………………………6分
解得，x=15，．……………………………………………………………………7分
∴盒子的高为15cm，盒子的宽为30－x=15cm，长为90－2x=60cm．………………9分
故盒子的体积=15×15×60=13500cm3．…………………………………………………10分
23．(1)∵ ，，，
∴ ，……………………………………1分
∵E、F分别是的中点，
∴，，（中点的定义）……………………………2分
∴ ，
即的长为；……………………………………3分
(2)∵E、F分别是的中点，
∴=a，=(AB－AC)=(16－a)=8－a，（中点的定义）…………5分
∴ a+8－a=8，
∴不论a取何值（a不超过），EF的长不变；……………………………………6分
(3)∵、分别平分和，
∴∠COD=∠AOC，∠COE=∠BOC，（角平分线的定义）………………………………8分
∴∠DOE=∠COD+∠COE……………………………………9分
=∠AOC+∠BOC
=(∠AOC+∠BOC)
=∠AOB……………………………………10分
=×120°=60°.
∴与射线的位置无关．……………………………………11分
24．(1)120°，60°，互补；…………………………………………3分
(2)仍具有.理由如下：…………………………………………4分
当旋转至图2时，∠BOC+∠AOD=∠COD－∠BOD+∠AOB+∠BOD=α°+β°=180°；………6分
当旋转至图3时，∠BOC+∠AOD=∠COD+∠BOD+∠AOB－∠BOD=α°+β°=180°；………7分
(3)设∠AOC=x°，
①当旋转至图①时，…………………………………………8分
∠BOD=∠COD－∠BOC=∠COD－(∠AOB－∠AOC)=60°－(120°－x°)，
由题意得，x+60－(120－x)=90°，
解得，x=75，
此时，∠AOC=75°；………………………………10分
②当旋转至时，………………………………………11分
∠BOD=∠AOB－∠AOD=∠AOB－(∠COD－∠AOC)=120°－(60°－x°)，
解得，x=15，
此时，∠AOC=15°，
综上，∠AOC=75°或15°.…………………………12分
