第四章平行四边形
一、单选题
1．如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是、中点，测量的长度为，那么的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一个正多边形的内角和是，则这个正多边形的一个外角等于( )
A． B． C． D．
4．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．图，在中，，、分别是、的中点，则的长度为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．12
6．如图所示，a∥b，直线a与直线b之间的距离是（ ）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段CD的长度
7．已知：如图，直线l和直线l外一点A，求作：过点A与直线l平行的直线．（尺规作图）
甲的作法是：
（1）在直线l上分别取B、C两点（点B在点C的左边）；
（2）以点A为圆心，以BC为半径画弧；再以点C为圆心，以AB为半径画弧，两弧交于点D（点B、点D在直线AC的两侧）
（3）作直线AD，则直线AD即为所求．
乙的作法：
（1）在直线l上分别取B、C两点（点B在点C的左边）；
（2）连接BA并延长，在射线BA上截取；
（3）连接DC，作线段DC的垂直平分线交DC于点E；
（4）作直线AE，则直线AE即为所求．则下列说法正确的是( )
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都错 D．甲乙都对
8．一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的每个外角都等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8
10．如图，在 ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是（ ）
A．BO=OH B．DF=CE C．DH=CG D．AB=AE
二、填空题
11．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图所示，是格点三角形，，与网格线分别交于，两点．若小正方形的边长为，则的长为 ．
12． 如图，在中，D，E分别是的中点，是上一点，且，若，则的长是 ．
13．在中，，则的度数为 ．
14．如图，在ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，O是对角线的交点.若OE=4cm，OF=3cm，则平行四边形ABCD的周长为
15．如图，平行四边形的周长为20，的周长比的周长多5，则为 .
16．如图，已知△ABC（AB > AC）中，∠BAC = 60°，AC = 4，D为BC边上的中点，过点D的直线DF将△ABC的周长平分且交AB于点F，则DF的长为 ．
三、计算题
17．如图所示，在四边形中，与的平分线相交P，且 ，，求的度数．
18．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×6的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求解决下列问题：
（1）通过计算判断△ABC的形状；
（2）在图中确定一个格点D，连接AD、CD，使四边形ABCD为平行四边形，并求出 ABCD的面积．
19．已知，在四边形中，点，位于线段的异侧，，，如图1．
（1）求的度数；
（2）以为边作平行四边形，如图2，求出的大小；
（3）在（2）的条件下，若，，直接写出的长度．
四、解答题
20．如图，在中，对角线相交于点，已知，的周长为，求的长．
21．已知一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角等于与它相邻的内角的，求这个多边形的边数及内角和．
22．如图，在中，平分交延长线于点E，作，垂足为点F．
（1）求证：；
（2）若，，求的周长．
23．如图，△ABC中，D为BC的中点。DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，P为AD与EF的交点。证明：EF=2PD．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
3．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
4．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
5．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
6．【答案】A
【知识点】平行线之间的距离
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
8．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
9．【答案】C
【知识点】多边形的对角线
10．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质
11．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
12．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
14．【答案】28cm
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
15．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形的中位线定理
17．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
18．【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）□ABCD的面积为10.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
20．【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，
的周长为26，
.
【知识点】平行四边形的性质
21．【答案】多边形的边数为18，内角和为
【知识点】多边形内角与外角
22．【答案】（1）证明：在中，有，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：在中，有，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
23．【答案】解：∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，∴∠EDF=90°，又∵BE⊥DE，∴∠BED=90°=∠EDF，∴BE∥DF，∠EBD=∠FDC，∵BE⊥DE，CF⊥DF，∴∠BED=∠DFC=90°，∵D为BC的中点，∴BD=DC，∴△BED≌△DFC，BE=DF，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD∥EF，∴∠BDE=∠FED，又DE平分∠ADB，∴∠BDE=∠PDE，∠PDE=∠FED，∴PE=PD，同理可得：PF=PD，∴EF=2PD。
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
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