4.4平行四边形的判定
一、填空题
1．如图，l是四边形的对称轴，如果，有下列结论：①；②；③；④． 其中错误的结论是 ．（把你认为错误的结论的序号都填上）
2．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合部分构成一个四边形，则判定这个四边形是平行四边形的理由是 ．
3．下列四个命题
①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
③一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；
④一组对边相等，另一组对边也相等的四边形是平行四边形．其中假命题的是 ．（只填序号）
4．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，再添加一个条件 （写出一个即可），可使四边形ABCD是平行四边形．（图形中不再添加辅助线）
5．已知：如图，四边形 中， ，要使四边形 为平行四边形，需添加一个条件是： .(只需填一个你认为正确的条件即可)
6．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，GH∥AB，EF、GH相交于点O，则图中共有 个平行四边形.
二、单选题
7．下面给出的四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．3∶4∶3∶4 B．3∶3∶4∶4 C．2∶3∶4∶5 D．3∶4∶4∶3
8．下面关于平行四边形的说法中，错误的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
9．如图，在 中， ， 是 上的点， ∥ 交 于点 ， ∥ 交 于点 ，那么四边形 的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
10．四边形的对角线相交于点O，，添加下列条件， 能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
11．A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC=AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
三、解答题
12．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，，E是CD的中点，连结 AE.
（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形.
（2）若AC=4，AD=4，求四边形 ABCE 的面积.
四、计算题
13．如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BD上，∠BAE＝∠DCF，连接AF，EC．
（1）求证：AE＝FC；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
五、作图题
14．下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A．
求作：直线AD，使得AD// l．
作法：如图2，
①在直线l 上任取两点B，C，连接AB；
②分别以点A，C 为圆心，线段BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D；
③作直线AD．
直线AD 就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接CD．
∵ AB ＝▲，BC ＝▲，
∴ 四边形ABCD 为平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∴ AD// l．
六、综合题
15．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
16．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，求证：
（1）AD∥BC，AB∥CD；
（2）AD=BC，AB=CD．
17．如图，四边形ABCD中， 于点E， 于点F， ， .求证：
（1） ；
（2）四边形ABCD是平行四边形.
答案解析部分
1．【答案】③
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定与性质；轴对称的性质
2．【答案】两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
3．【答案】②③
【知识点】平行四边形的判定；真命题与假命题
4．【答案】ABCD或AD=BC
【知识点】平行四边形的判定
5．【答案】BO=OD(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定
6．【答案】9
【知识点】平行四边形的判定
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
11．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
12．【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠ACD=90°
∴AB∥CE
∵AB=CD，点E是CD的中点
∴AB=CE
∴四边形ABCE是平行四边形
（2）解：∵∠ACD=90°，AC=4，AD=
∴CD==4
∴S△ACD=×4×4=8
∵点E是CD的中点
∴S△ACE=S△AED
∵四边形ABCE是平行四边形，AC是其对角线
∴S△ABC=S△ACE
∴S四边形ABCE=2S△ACE=S△ACD=8
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
13．【答案】（1）证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D．
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝FC．
（2）解：由（1）△ABE≌△CDF，得AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
∴180°－∠AEB＝180°－∠CFD，即∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF．
∵AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行线的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
14．【答案】（1）解：如图所示，
（2）证明：连接CD．
∵ AB ＝CD，BC ＝AD，
∴ 四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．
∴ AD// l．
故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；作图-平行线
15．【答案】（1）解：∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
∵∠AFD+∠DFE=180°，∠CEB+∠BEF=180°，
∴∠AFD=∠CEB．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）
（2）解：由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定
16．【答案】（1）证明：如图，∵在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
由“四边形ABCD是平行四边形”得到：AD∥BC，AB∥CD
（2）证明：由“四边形ABCD是平行四边形”得到：AD=BC，AB=CD
【知识点】平行四边形的判定与性质
17．【答案】（1）解：∵ ，
∴∠AEB=∠CFD=90°
又∵ ，
∴ （SAS）
（2）解：∵
∴∠ABE=∠CDF，AB=CD，
∴AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
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