江西省2024年初中学业水平考试数学模拟练习试卷
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1． 数字的倒数的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
“中国倡导的“一带一路”地区覆盖总人口约为4800000000人，
将4800000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3. 如图中几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
4 . 嘉淇在广场上玩无人机，他操控无人机先匀速上升到距水平地面15米的高度，
然后保持这个高度让无人机在广场上方飞行，察觉到无人机电量不足，
他又立刻操控无人机匀速下落到水平地面，
则无人机飞行的高度h（米）与飞行时间t（分）的大致函数图象为（ ）
A．B．C． D．
5. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图所示，根据此统计图，下列结论中错误的是（ ）
A．这组成绩的中位数是环 B．这组成绩的平均成绩是9环
C．这组成绩的最低成绩是环 D．这组成绩的众数是9环
二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．
已知抛物线的对称轴是直线，下列结论：
①， ②， ③， ④．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 计算：______.
8 .在平面直角坐标系中，把点向左平移2单位，再向下平移5个单位得到点，
则点的坐标为 .
9. 已知实数，满足，则的值为 ．
10 . 如图，正五边形的边长为2，以为边作正方形，以C为圆心，长度2为半径作弧，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
11. 如图，将半径为4的折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕的长 ．
如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝ ．
解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）化简：
（2）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
14. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
如图，过点作的垂线；
如图，点为线段的中点，过点作的平行线．
如图，有3张分别印有杭州亚运会的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲．
现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，
搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，
下列事件发生的概率．
第一次取出的卡片图案为“B琮琮”的概率为______；
(2) 用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的概率．
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数的图象上
（点A的纵坐标大于点B的纵坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，
过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，AB．
求k的值．
若CD＝2OD，求四边形OABC的面积．
如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，
连接，使．
求证：直线是的切线；
若，，求的长（结果保留）．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．
若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
19 . 实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，
安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．
已知试管， ，试管倾斜角为，
经测得：．
求点到的距离；
实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，
且（点，，，在同一条直线上），求线段的长度．
结果精确到，参考数据： ，，）
如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，
的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，
连接，．
(1)求证：点E是中点；
(2)若，，则的长为 ___．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 2024春节档电影《满江红》票房突破40亿，成为中国影史票房榜第八名．
之所以能大卖，除了出自著名导演张艺谋之外，一定还有其他亮点，
为了解观众对电影的喜爱缘由，一网友在某平台邀请部分给出好评的观众填写如下调查表
（要求每位观众只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
你喜欢电影《满江红》的主要原因是：A．题材．关涉岳飞、秦桧等历史人物，故事虽是虚构，但体现的精神无异．B．剧情．悬疑推理与喜剧相结合，极具观赏吸引力．C．配乐．河南豫剧与电子音乐相结合，分段呈现，层次感强．D．演技．全员演技在线，压抑、恐惧、愤怒完美呈现，拉动观众共情．E．其他．
观众对电影的喜爱缘由情况条形统计图 观众对电影的喜爱缘由情况扇形统计图
根据图中信息，完成下列问题：
共有__________位网友填写了调查表；
补全条形统计图；
计算扇形统计图中“C”所对应扇形的圆心角度数；
若约40亿的票房共售出电影票亿张，其中给出好评的观众约占一半，
请估计因为“其他”原因而给出好评的观众有多少；
请你结合调查结果，对电影策划方向提出一条建议．
有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图的直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示.
已知大棚在地面上的宽度OA为8米，距离O点2来处的棚高BC为米.
求该抛物线的函数关系式；
求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米
若借助横梁DE建一个门，要求门的高度不低于1.5米，则横梁DE的宽度最多是多少米
六、解答题（本大题共12分）
23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：
如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，
连接，与的数量关系是 ；
（2）变式探究：
如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，
使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：
如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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江西省2024年初中学业水平考试数学模拟练习试卷解答
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．的倒数的相反数是（ ）
A． B．2024 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是2024，
∵2024的相反数是，
∴的倒数的相反数是，
故选：A．
“中国倡导的“一带一路”地区覆盖总人口约为4800000000人，
将4800000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
【详解】解：4800000000用科学记数法表示为．
故选：B．
3. 如图中几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左面看到图形，可得左视图中间有一条虚线，即可解答．熟练掌握简单组合体的三视图是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，题中几何体的左视图为 ，
故选：C．
4 . 嘉淇在广场上玩无人机，他操控无人机先匀速上升到距水平地面15米的高度，
然后保持这个高度让无人机在广场上方飞行，察觉到无人机电量不足，
他又立刻操控无人机匀速下落到水平地面，
则无人机飞行的高度h（米）与飞行时间t（分）的大致函数图象为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查函数图象，根据题中描述的语句逐项分析可得结论
【详解】解：A.无人机先升高15米，再以15米的高度飞行一段距离后，无人机电量不足，无人机匀速下落到水平地面，故选项A符合题意；
B. 无人机先升高15米，又匀速下落到水平地面，与题意不符合，故选项B不符合题意；
C.先由一定高度下降到15米，与题意不符合，故选项C不符合题意；
D.首先由15米降落到地面，与题意不符合，故选项D不符合题意；
故选：A
5. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图所示，根据此统计图，下列结论中错误的是（ ）
A．这组成绩的中位数是环 B．这组成绩的平均成绩是9环
C．这组成绩的最低成绩是环 D．这组成绩的众数是9环
【答案】A
【分析】根据统计图可求出中位数，即可判断选项A，根据统计图即可判断选项C，
根据统计图可求出平均成绩，即可判断选项B，根据所给数据即可判断选项D．
【详解】解：A、按从小到大排序为：，中位数为9环，选项说法错误，符合题意；
B、平均成绩：，选项说法正确，符合题意；
C、由统计图得，最低成绩是环，选项说法正确，不符合题意；
D、由统计图得，9出现了3次，出现的次数最多，这组成绩的众数是9环，选项说法正确，不符合题意；
故选A．
二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．
已知抛物线的对称轴是直线，下列结论：
①， ②， ③， ④．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
根据二次函数的图象与系数的关系，以及反比例函数的图象即可求出答案．
【详解】解：由图象可知：，，
∵，
∴，
∴，故①正确；
由对称轴可知：，
∴，
∴，故②正确；
当时，，故③正确；
∵当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，故④正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 计算：______.
【答案】
【分析】根据平方差公式进行运算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
8 .在平面直角坐标系中，把点向左平移2单位，再向下平移5个单位得到点，
则点的坐标为 .
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移方式可知，横坐标，纵坐标，即可得到答案．
【详解】解：把点向左平移2单位，再向下平移5个单位得到点，
则点的坐标为，即，
故答案为：．
9. 已知实数，满足，则的值为 ．
【答案】72
【分析】本题考查了求代数式的值，将变形为，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
故答案为：．
10 .如图，正五边形的边长为2，以为边作正方形，以C为圆心，长度2为半径作弧，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
【答案】
【分析】题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键．
【详解】解：∵是正五边形，
∴，
又∵是正方形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11. 如图，将半径为4的折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点，则折痕的长 ．
【答案】
【分析】如图，由折叠知，,，于是．．垂径定理，得．中，，得．
【详解】解：如图，由折叠知，,
∵
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
中，．
∴．
故答案为：．
如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝ ．
【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）化简：
（2）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【答案】（1）；（2）且
【分析】此题考查了分式的化简和一元二次方程根的判别式，熟练掌握分式的运算法则和一元二次方程根的判别式的求法是解题的关键．
（1）先计算括号内的减法，再计算除法即可；
（2）根据根的情况列出关于k的不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）
（2）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
∴，
解得且
14. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
如图，过点作的垂线；
如图，点为线段的中点，过点作的平行线．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线；
（）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即；
本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
如图，有3张分别印有杭州亚运会的吉祥物的卡片：A宸宸、B琮琮、C莲莲．
现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，
搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片，
下列事件发生的概率．
(1)第一次取出的卡片图案为“B琮琮”的概率为______；
(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有1张图案为“A宸宸”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是：
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，第一次取出的卡片图案为“琮琮”的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的结果有：，，，，，共5种，
取出的2张卡片中至少有1张图案为“宸宸”的概率为．
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数的图象上
（点A的纵坐标大于点B的纵坐标），点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，
过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，AB．
(1)求k的值．
(2)若CD＝2OD，求四边形OABC的面积．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）将点A的坐标（2，4）代入，可得结果；
（2）利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．
【详解】（1）解：将点A的坐标（2，4）代入，
可得k＝xy＝2×4＝8，
∴k的值为8；
（2）∵k的值为8，
∴函数的解析式为，
∵CD＝2OD，OD＝2，
∴CD＝4，
∴OC＝6，
∴点B的横坐标为6，
将x＝6代入，得，
∴点B的坐标为（6，），
∴S四边形OABC＝S△AOD＋S梯形ABCD＝×2×4＋×(＋4)×4＝．
如图，在中，是直径，点C是圆上一点，在的延长线上取一点D，
连接，使．
求证：直线是的切线；
若，，求的长（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，得到，圆周角定理得到，得到，进而得到，即可；
（2）根据，得到，进而得到，进而得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，求出半径的长，根据弧长公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，则：，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．
(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
解：（1）设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
19 . 实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，
安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．
已知试管， ，试管倾斜角为，
经测得：．
(1)求点到的距离；
(2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在同一条直线上），求线段的长度．（结果精确到，参考数据： ，，）
【答案】(1)点到的距离
(2)线段的长度为
【分析】本题考查三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，
（1）过点作于点，利用三角函数可解得的值，即可求得的值；（2）过点作于点，再证明为等腰三角形，并解得，然后由求解即可．
【详解】（1）解：过点作于点，如图：
由题可得： 在中，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：过点作于点，如上图：
∴四边形为矩形，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长度为：．
如图，在平行四边形中，的角平分线交于点F，
的角平分线交于点G，两条角平分线在平行四边形内部交于点P，
连接，．
(1)求证：点E是中点；
(2)若，，则的长为 ___．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据等腰三角形的性质得出，根据余角的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，即可证明结论；
（2）证明四边形为平行四边形，得出，求出，证明，，得出，，最后求出结果即可．
【详解】（1）证：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵、分别平分和，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点；
（2）解：根据解析（1）可知：，，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：4．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 2024春节档电影《满江红》票房突破40亿，成为中国影史票房榜第八名．
之所以能大卖，除了出自著名导演张艺谋之外，一定还有其他亮点，
为了解观众对电影的喜爱缘由，一网友在某平台邀请部分给出好评的观众填写如下调查表
（要求每位观众只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
你喜欢电影《满江红》的主要原因是：A．题材．关涉岳飞、秦桧等历史人物，故事虽是虚构，但体现的精神无异．B．剧情．悬疑推理与喜剧相结合，极具观赏吸引力．C．配乐．河南豫剧与电子音乐相结合，分段呈现，层次感强．D．演技．全员演技在线，压抑、恐惧、愤怒完美呈现，拉动观众共情．E．其他．
观众对电影的喜爱缘由情况条形统计图 观众对电影的喜爱缘由情况扇形统计图
根据图中信息，完成下列问题：
共有__________位网友填写了调查表；
补全条形统计图；
计算扇形统计图中“C”所对应扇形的圆心角度数；
若约40亿的票房共售出电影票亿张，其中给出好评的观众约占一半，
请估计因为“其他”原因而给出好评的观众有多少；
请你结合调查结果，对电影策划方向提出一条建议．
【答案】(1)300；
(2)补全条形图见解析
(3)
(4)亿人
(5)见解析
【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，理解信息关联是解本题的关键．
（1）由D的人数除以其百分比即可得到总人数；
（2）先求解B的人数，再补全条形图即可；
（3）由乘以C的百分比即可；
（4）由亿乘以E的百分比，再除以2即可．
（5）建议合理即可．
【详解】（1）解：填写了调查表的人数为：（人）；
故答案为：300；
（2）根据题意可知：
“B”的人数为：（人）；
补全条形图如下；
．
（3）根据题意可知：
“C”所对应扇形的圆心角度数：；
（4）因为“其他”原因而给出好评的观众有：（亿人）
（5）建议：可以在创作上更富有创意，同时加大影片放映前的宣传．
有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图的直角坐标系中，抛物线可以用函数来表示.
已知大棚在地面上的宽度OA为8米，距离O点2来处的棚高BC为米.
求该抛物线的函数关系式；
求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米
若借助横梁DE建一个门，要求门的高度不低于1.5米，则横梁DE的宽度最多是多少米
【答案】(1)
(2)3米
(3)横梁DE的宽度最多是米
【分析】（1）先求出A、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求解析式求解即可；
（3）求出当y=1.5时x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（2，），
∴，
∴，
∴该抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为（4，3），
∵，即抛物线开口向下，
∴抛物线的函数值有最大值3，
∴蔬菜大棚离地面的最大高度是3米；
（3）解：当时，即，
∴，
解得，，
∴，
∴横梁DE的宽度最多是米．
六、解答题（本大题共12分）
23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题发现：
如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，
连接，与的数量关系是 ；
（2）变式探究：
如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，
使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：
如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)4
【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：如图3，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵Q是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则 ，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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