2024-2025学年广东省大湾区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
2.过点，倾斜角为的直线方程是( )
A. B. C. D.
3.圆：与圆：的位置关系为( )
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离
4.已知数列的各项均不为，，，则( )
A. B. C. D.
5.方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是( )
A. 关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 关于对称 D. 关于原点中心对称
7.已知椭圆的两个焦点为，，过的直线与交于，两点若，，且的面积为，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
8.古典吉他的示意图如图所示，分别是上弦枕、下弦枕，是第品丝记为与的距离，为与的距离，且满足，，，，，其中为弦长与的距离，为大于的常数，并规定则( )
A. 数列，，，是等差数列，且公差为
B. 数列，，，是等比数列，且公比为
C. 数列，，，是等比数列，且公比为
D. 数列，，，是等差数列，且公差为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 抛物线的焦点坐标为 B. 的最小值为
C. 对任意的直线， D. 以为直径的圆与抛物线的准线相切
10.如图，在平行六面体中，，，底面为菱形，，与，所成的角均为( )
A.
B. 四边形为矩形
C.
D. 如果，那么点在平面内
11.已知数列：，，，，，现在对该数列进行一种变换，规则：每个都变为“，，”，每个都变为“，，”，得到一个新数列，记数列，，，，且的所有项的和为，则以下判断正确的是( )
A. 的项数为 B.
C. 中的个数为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点为圆上的动点，则的取值范围为______．
13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率的值为______．
14.正方形的边长为，其内有两点，，点到边，的距离分别为和，点到边，的距离也分别为和现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合如图，则此时，两点间的距离为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：，直线：．
求直线恒过定点的坐标；
求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长．
16.本小题分
已知等比数列的各项均为正数，前项和为，且满足，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若数列满足，求数列的前项和．
17.本小题分
如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面且，为中点．
求证：；
求二面角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
在空间直角坐标系中，已知向量，点若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为．
证明：向量是平面：的法向量；
若平面：，平面：，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量写出一个即可；
若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面：，平面：，求实数的值．
19.本小题分
已知双曲线：，上顶点为直线与双曲线的两支分别交于，两点在第一象限，与轴交于点设直线，的倾斜角分别为，．
若，
若，求；
求证：为定值；
若，直线与轴交于点，求与的外接圆半径之比的最大值．
参考答案
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15.解：直线：，
可化为，
联立解得故直线恒过定点．
由，配方得，
所以圆心，半径为，直线恒过定点，
当直线时，直线被圆截得的弦长最短．
因为直线的斜率为，
故直线的斜率为，解得．
此时圆心到直线的距离为，
所以最短弦长为．
16.解：Ⅰ设数列的公比为，，
，，
，
即，舍去，
，即，
；
Ⅱ，，
，
．
17.证明：取中点，连接，由，得，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，过作，由，得，，
而，平面，则，，
以为原点，直线，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，如图：
由，，
得，
中点，则，
因此，即，
所以；
解：由知，，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，
令，得，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，
令，得，
设二面角的大小为，
则，
所以二面角的正弦值为．
解：由知，，
平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
18.解：证明：取平面内的任意两点，，
则两式相减得，，
即，所以，从而，
故是平面的法向量．
记平面，的法向量为，，
设直线的方向向量，
因为直线为平面和平面的交线，所以，，
即，取，则，
所以直线的单位方向向量为．
设： ，
由平面经过点，，，
所以，得，即：，
所以记平面、、的法向量为，，，
与同理，与确定的交线方向向量为，
所以，
得．
19.解：，所以，
与联立可得，解得或，所以．
所以，所以；
证明：直线斜率存在时，可设直线的方程为，
设，
由，得，
所以．
当时，由可得；
当时，设，的斜率分别为，．
．
所以，．
所以．
因为在第一象限，所以，
所以，
所以．
直线斜率不存在时，可得，
可得，
所以，同理可得．
综上可得，为定值，得证．
由可得时，．
不存在，则，由可得，所以，所以．
不存在，则，则，此时，由图可得．
若和均存在，设，则
与双曲线联立可得．
所以．
所以，
所以．
设与的外接圆半径分别为，，
从而等号当且仅当时取到．
所以与的外接圆半径之比的最大值为．
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