专题三 平行线的性质与判定
平行线的性质与判定是学习几何证明的初步，培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力、图感意识，提高学生分析问题、解决问题的能力.本专题包括平行线的性质，平行线的判定及性质与判定的综合，意在厘清证明逻辑，是后续几何证明应有的思维基础.
类型一 平行线的性质
1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝2∠ABC，∠C＝∠ABC.
（1）求∠ADB的大小；
（2）线段BD与DC有怎样的位置关系？为什么？
2.已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系.
（1）如图1，AB∥CD，BE∥DF，则∠1与∠2的关系是 ；
（2）如图2，AB∥CD，BE∥DF，则∠1与∠2的关系是 ；
（3）经过上述证明，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角 ；
（4）若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？
类型二 平行线的判定
3.如图，AB⊥BC，∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3，求证：BE∥DF.
4.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠E.求证：AD∥BE.
5.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为点F.
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1＝∠2，且∠3＝120°，求∠ACB的度数.
6.如图，直线CD，EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE.
（1）若∠2∶∠3＝2∶5，求∠AOF的度数；
（2）在（1）的条件下，若∠1＝50°，AB∥CD吗？请说明理由.
类型三 平行线的性质与判定综合
7.如图，已知∠1＝∠BDC，∠1＝70°，∠2＋∠3＝180°，若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，求∠FAB的度数.
8.如图，点D，E，F分别在△ABC的三条边上，且DE∥AB，∠1＝∠2.
（1）求证：DF∥AC；
（2）若∠B＝40°，DF平分∠BDE，求∠C的度数.
9.【探究】（1）如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE，CE，试说明：∠BAE＋∠DCE＝∠AEC.请完成下面的解题过程.
解：如图1，过点E作EF∥AB，
∴∠1＝∠ （ ）.
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF（ ），
∴∠2＝∠ ，
∴∠BAE＋∠DCE＝∠1＋∠2，
∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC.
【应用】（2）如图2，AB∥CD，点F在AB，CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N.若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，求∠DNG的度数；
【拓展】（3）如图3，直线CD在直线AB，FE之间，且AB∥CD∥EF，点G，H分别在AB，FE上，Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连接QG，QH.若∠GQH＝70°，直接写出∠AGQ＋∠EHQ的度数.
专题三 平行线的性质与判定
平行线的性质与判定是学习几何证明的初步，培养学生的逻辑推理能力、抽象思维能力、图感意识，提高学生分析问题、解决问题的能力.本专题包括平行线的性质，平行线的判定及性质与判定的综合，意在厘清证明逻辑，是后续几何证明应有的思维基础.
类型一 平行线的性质
1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝2∠ABC，∠C＝∠ABC.
（1）求∠ADB的大小；
解：（1）因为AD∥BC，
所以∠A＋∠ABC＝180°.
因为∠A＝2∠ABC，
所以∠A＝120°，∠ABC＝60°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABD＝∠DBC＝30°.
因为AD∥BC，
所以∠ADB＝∠DBC＝30°.
（2）线段BD与DC有怎样的位置关系？为什么？
解：（2）BD⊥DC，理由如下：
因为∠C＝∠ABC＝60°，∠DBC＝30°，
所以∠BDC＝180°－30°－60°＝90°，
所以BD⊥DC.
2.已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图，探索这两个角之间的关系.
（1）如图1，AB∥CD，BE∥DF，则∠1与∠2的关系是 相等 ；
（2）如图2，AB∥CD，BE∥DF，则∠1与∠2的关系是 互补 ；
（3）经过上述证明，我们可得出结论，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角 相等或互补 ；
（4）若这两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，则这两个角分别是多少度？
解：（4）设一个角的度数为x，则另一个角的度数为3x－60°，
当x＝3x－60°时，x＝30°，则这两个角的度数分别为30°，30°；
当x＋3x－60°＝180°时，x＝60°，则这两个角的度数分别为60°，120°.
类型二 平行线的判定
3.如图，AB⊥BC，∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3，求证：BE∥DF.
证明：因为AB⊥BC，
所以∠3＋∠4＝90°.
又因为∠1＋∠2＝90° ，∠2＝∠3，
所以∠4＝∠1，所以BE∥DF.
4.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠E.求证：AD∥BE.
证明：方法一：如图，因为∠1＝∠2，∠3＝∠E，
所以∠1＋∠3＝∠2＋∠E.
因为∠2＋∠E＝∠5，
所以∠1＋∠3＝∠5，
所以∠ADC＝∠5，
所以AD∥BE.
方法二：因为∠1＝∠2，
所以BD∥EC，
所以∠4＝∠E.
因为∠3＝∠E，
所以∠3＝∠4，
所以AD∥BE.
5.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为点F.
（1）CD与EF平行吗？为什么？
解：（1）CD∥EF，理由：因为CD⊥AB，EF⊥AB，
所以∠EFB＝∠CDB＝90°，所以CD∥EF.
（2）如果∠1＝∠2，且∠3＝120°，求∠ACB的度数.
解：（2）因为CD∥EF，所以∠2＝∠DCB.
因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠DCB，
所以DG∥BC，所以∠ACB＝∠3.
因为∠3＝120°，所以∠ACB＝120°.
6.如图，直线CD，EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE.
（1）若∠2∶∠3＝2∶5，求∠AOF的度数；
解：（1）因为∠2∶∠3＝2∶5，∠2＝∠DOE，所以∠DOE∶∠3＝4∶5.
因为∠DOE＋∠3＝180°，所以∠DOE＝180°×＝80°，∠3＝180°×＝100°，所以∠COE＝∠3＝100°.
因为OA平分∠COE，所以∠AOC＝∠AOE＝∠COE＝50°，所以∠AOF＝180°－∠AOE＝130°，即∠AOF的度数为130°.
（2）在（1）的条件下，若∠1＝50°，AB∥CD吗？请说明理由.
解：（2）平行.
理由：由（1）可知∠AOC＝∠AOE＝50°.
因为∠1＝50°，所以∠AOC＝∠1，所以AB∥CD.
类型三 平行线的性质与判定综合
7.如图，已知∠1＝∠BDC，∠1＝70°，∠2＋∠3＝180°，若DA平分∠BDC，CE⊥AE于点E，求∠FAB的度数.
解：因为∠1＝∠BDC，∠1＝70°，所以AB∥CD，∠BDC＝∠1＝70°，
所以∠2＝∠ADC.
因为∠2＋∠3＝180°，所以∠ADC＋∠3＝180°，所以AD∥EC，所以∠FAD＝∠AEC.
因为CE⊥AE，所以∠AEC＝90°，∠FAD＝90°.
因为DA平分∠BDC，
所以∠ADC＝∠BDC＝35°，所以∠2＝35°，所以∠FAB＝∠FAD－∠2＝90°－35°＝55°.
8.如图，点D，E，F分别在△ABC的三条边上，且DE∥AB，∠1＝∠2.
（1）求证：DF∥AC；
解：证明：因为DE∥AB，所以∠A＝∠2.
因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠A，所以DF∥AC.
（2）若∠B＝40°，DF平分∠BDE，求∠C的度数.
解：因为DE∥AB，所以∠FDE＝∠1.
因为DF平分∠BDE，所以∠FDB＝∠FDE，
所以∠1＝∠FDB，所以∠FDB＝（180°－∠B）＝×（180°－40°）＝70°.
因为DF∥AC，所以∠C＝∠FDB＝70°.
9.【探究】（1）如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE，CE，试说明：∠BAE＋∠DCE＝∠AEC.请完成下面的解题过程.
解：如图1，过点E作EF∥AB，
∴∠1＝∠ BAE （ 两直线平行，内错角相等 ）.
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF（ 平行于同一条直线 ），
∴∠2＝∠ ECD ，
∴∠BAE＋∠DCE＝∠1＋∠2，
∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC.
【应用】（2）如图2，AB∥CD，点F在AB，CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N.若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，求∠DNG的度数；
解：由（1）中探究可知，∠MFN＝∠AMF＋∠CNF，
因为∠AMF＝∠EMB＝55°，且∠MFN＝115°，
所以∠CNF＝115°－55°＝60°，
所以∠DNG＝∠CNF＝60°.
【拓展】（3）如图3，直线CD在直线AB，FE之间，且AB∥CD∥EF，点G，H分别在AB，FE上，Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连接QG，QH.若∠GQH＝70°，直接写出∠AGQ＋∠EHQ的度数.
解：如图1，当∠AGQ为钝角时，
由（1）中结论可知，∠GQH＝∠BGQ＋∠FHQ＝70°，
所以∠AGQ＋∠EHQ＝360°－（∠BGQ＋∠FHQ）＝290°；
当∠AGQ为锐角时，如图2，
由（1）中结论可知，∠GQH＝∠AGQ＋∠EHQ，
即∠AGQ＋∠EHQ＝70°.
综上，∠AGQ＋∠EHQ＝70°或290°.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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